江西省臨川第二中學(xué) (344100)

游武波

一道高考?jí)狠S題的多種解法

江西省臨川第二中學(xué) (344100)

游武波

題目 (2017年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

考試中心提供的標(biāo)準(zhǔn)答案為：

綜上，a的取值范圍為(0,1).

從以上解答可以看出，試題重在考查分類討論思想，解法雖常規(guī)，但第(2)問在使用零點(diǎn)存在性定理時(shí)，所選取的兩個(gè)函數(shù)值有一定難度，特別是n0的選取.下面就第(2)問給出幾種其他的解答方法：

解法一：由(1)知，若a≤0，則f(x)在R上遞減，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合條件；

若a>0，則當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞.∵f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),

又當(dāng)x→-∞時(shí)，g(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→0；當(dāng)x>0時(shí)，g(x)恒大于0.

圖1

于是函數(shù)y=g(x)的大致圖像如圖1所示，要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，a的取值范圍為(0,1).

圖2

圖3

解法四：令ex=t，則x=lnt,t>0，于是f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)g(t)=at2+(a-2)t-lnt在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)?方程at2+(a-2)t-lnt=0在(0,+∞)上有兩個(gè)實(shí)根?方程a(t2+t)=2t+lnt在(0,+∞)上有兩個(gè)實(shí)根?函數(shù)y=a(t2+t)圖像與函數(shù)y=2t+lnt圖像在(0,+∞)上有兩個(gè)交點(diǎn).

圖4

分別作出以上兩個(gè)函數(shù)圖像如圖3，圖4所示，由圖可知:

若a=0，則顯然兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，不合條件；若a<0，則拋物線y=a(t2+t)開口向下，與y=2t+lnt圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，不合條件；若a>0，則可設(shè)拋物線y=a0(t2+t)與y=2t+lnt圖像相切，要使函數(shù)y=a(t2+t)圖像與函數(shù)y=2t+lnt圖像在(0,+∞)上有兩個(gè)交點(diǎn)，只需0

設(shè)拋物線y=a0(t2+t)與y=2t+lnt圖像的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為t0，則

0?t0=1?a0=1,∴a的取值范圍為(0,1).

圖5