四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

李秀萍 趙思林 余小芬

高考函數(shù)單調(diào)性試題蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想*

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

李秀萍 趙思林 余小芬

“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂”(克萊因語)．[1]函數(shù)單調(diào)性是每年高考都青睞的考點(diǎn)，它作為函數(shù)的一個重要性質(zhì)，反映了函數(shù)增減變化的規(guī)律，是解決方程、不等式、最值、含有實(shí)際背景的最優(yōu)化問題的工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)．

邵光華教授認(rèn)為：“從數(shù)學(xué)教育方面來講，數(shù)學(xué)思想應(yīng)被理解為更高層次的理性認(rèn)識，那就是對于數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法進(jìn)一步的抽象和概括．”[2]數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性概括性的認(rèn)識．[3]數(shù)學(xué)思想是在解決某些數(shù)學(xué)問題時通過概括而獲得的認(rèn)識成果，在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用并證明其具有指導(dǎo)性、適用性和正確性，在數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動中起著重要作用．?dāng)?shù)學(xué)知識和方法是數(shù)學(xué)思想的主要載體，正如英國數(shù)學(xué)家哈代說過“沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想，也沒有拋棄數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)知識．”[4]數(shù)學(xué)思想孕育在概念的產(chǎn)生、抽象、定義、應(yīng)用等過程之中，也常常孕育在命題的發(fā)現(xiàn)、探索、證明、應(yīng)用、推廣等過程之中，還孕育在數(shù)學(xué)問題的分析、探究、解決、反思、總結(jié)等過程之中．

函數(shù)單調(diào)性作為函數(shù)的核心知識，飽含數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、不等式同解思想、方程同解思想、函數(shù)思想、最優(yōu)化思想等．高考數(shù)學(xué)試題重視以數(shù)學(xué)思想方法立意，而函數(shù)單調(diào)性是考查數(shù)學(xué)思想方法的有效載體．基于此，本文對近年來高考中函數(shù)單調(diào)性試題所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法作了分析，供教學(xué)和復(fù)習(xí)備考時參考．

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是將“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系聯(lián)系起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)輔形”，探究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，化“復(fù)雜”為“簡單”，化“抽象”為“直觀”，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題，思路直觀、簡單易懂．?dāng)?shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)解題的一條基本策略，受到著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生的特別關(guān)注，曾賦詩贊頌：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微．?dāng)?shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非．”

(1)若a=0，則f(x)的最大值為 ；

(2)若f(x)無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

圖1

在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x3-3x與函數(shù)y=-2x的圖像,如圖1．

由圖像易知，當(dāng)x=-1時，f(x)取得最大值，且

f(x)max=f(-1)=2.

當(dāng)x≤a時，令f′(x)=0，解得x=±1．故當(dāng)x>1或x<-1時，f′(x)>0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)-1

評注:本題涉及分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查同學(xué)們函數(shù)單調(diào)性的數(shù)形結(jié)合的思想．(1)問已知a=0時，觀察函數(shù)圖像的增減性易得當(dāng)x=-1時，f(x)有最大值．(2)建立在(1)的基礎(chǔ)之上，要使f(x)無最大值的關(guān)鍵在于y=x3-3x取不到x=-1這個點(diǎn)的函數(shù)值，從而得到關(guān)于a的兩個不等式組，解不等式取其交集可得．此題也可用二次函數(shù)在指定區(qū)間上的取值條件列式求解.

二、分類討論思想

分類討論是在研究有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)問題的不同特性，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)把問題分為不同的情形，再將各種不同的情形逐一進(jìn)行討論(探討)，從而得到問題的解決，分類討論思想體現(xiàn)了“化整為零，積零為整”的解題策略．

例2 (2015山東理)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0]，則a+b= ．

評注:本題以指數(shù)函數(shù)為載體考查了單調(diào)性的分類討論思想．本題對a分成a>1和0

三、不等式同解思想

設(shè)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則由x1

設(shè)f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則由x1f(x2)；由f(x1)>f(x2)可推出x1

四、函數(shù)思想

在解三角形、立體幾何、解析幾何等實(shí)際數(shù)學(xué)問題中運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)思想，一方面也用運(yùn)動變化、聯(lián)系制約的觀點(diǎn)看待函數(shù)，另一方面是對函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性、凹凸性等的運(yùn)用．

(1)求∠B的大?。?/p>

五、最優(yōu)化思想

圖2

最優(yōu)化思想的落實(shí)常常需要研究函數(shù)的最大(小)值，而利用函數(shù)單調(diào)性知識是求解函數(shù)最大(小)值的通性通法．

例5 (2015年四川卷理)如圖2，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點(diǎn)M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為 ．

函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生熟悉高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)特點(diǎn)、變化規(guī)律，培養(yǎng)其在圖形與符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化能力，[4]養(yǎng)成從局部與整體的角度來思考問題．通過分析函數(shù)單調(diào)性所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，包括數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、不等式(或方程)的同解思想、函數(shù)思想等，可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想．

[1]卡茨．?dāng)?shù)學(xué)史通論[M]．第2版．李文林,鄒建成，胥鳴偉，譯．北京:高等教育出版社，2004:252，442．

[2]邵光華．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M]．上海：上海教育出版社，2009：138-139．

[3]哈代．一個數(shù)學(xué)家的辯白[M]．南京：江蘇教育出版社，1996：77．

[4]涂榮豹，王光明，寧連華．新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2006：144．

[5]黎棟材,龍正武,王尚志．站在系統(tǒng)的高度，整體把握函數(shù)單調(diào)性教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2015，(12)：11．

*項(xiàng)目來源：教育部“本科教學(xué)工程”四川省地方屬高校本科專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目——內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目(ZG0464)；四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目(ZY16001)，內(nèi)江師范學(xué)院2016年度校級學(xué)科建設(shè)特色培育項(xiàng)目(T160009，T160010，T160011)．趙思林系本文通訊作者．