江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) (213000)

徐 穎

老樹(shù)開(kāi)新花
——一道解析幾何題的變式探究

江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) (213000)

徐 穎

數(shù)學(xué)探究式高中數(shù)學(xué)新課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方法，通過(guò)探究，有助于實(shí)現(xiàn)知識(shí)的再創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.所謂的習(xí)題變式研究，就是在不改變?cè)}本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，教師有目的，有計(jì)劃地對(duì)習(xí)題進(jìn)行合理化的轉(zhuǎn)化，即不斷變換原題的條件和結(jié)論，轉(zhuǎn)換原題的內(nèi)容和形式.在高三圓錐曲線復(fù)習(xí)章節(jié)遇到這樣一道題：

圖1

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)點(diǎn)P在橢圓C的“類(lèi)準(zhǔn)線”上(但不在y軸上)，過(guò)點(diǎn)P作圓O：x2+y2=3的切線l，過(guò)點(diǎn)O且垂直于OP的直線與l交于點(diǎn)A，問(wèn)點(diǎn)A是否在橢圓C上？證明你的結(jié)論.

本題是2016年常州高三數(shù)學(xué)期末解析幾何大題，考查了橢圓的方程與性質(zhì)，直線與圓的關(guān)系；第一問(wèn)學(xué)生容易上手，第二問(wèn)稍難，題中給出3個(gè)條件：①點(diǎn)P在類(lèi)準(zhǔn)線上；②PA與圓O相切；③OA⊥OP；要證明④A在橢圓上.思路有幾種：設(shè)點(diǎn)(點(diǎn)P,點(diǎn)M,點(diǎn)A,)；設(shè)斜率(kOA,kOP).這里不再一一贅述.

這道解析幾何題的第二問(wèn)看似常規(guī)，細(xì)細(xì)品味，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它有很大的研究空間和教學(xué)價(jià)值.本文是對(duì)一道解析幾何題求解后的幾點(diǎn)思考，希望對(duì)讀者有所啟發(fā).

思考1 對(duì)原題的條件和結(jié)論進(jìn)行一般化推廣.

分子=x0b2+a2(y0-2bey0+b2e2)=b2(b2-y0)+a2y0+b2c2-2a2bey0

=b4+y0(a2-b2)+b2c2-2a2bey0=b2a2+c2y0-2a2bey0=(b2-2bey0+e2y0)a2=分母,故(*)值為1，即A在橢圓上.

一個(gè)問(wèn)題的結(jié)束，恰是新問(wèn)題的開(kāi)始.變式1創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題思維和原題基本一致，“跳一跳，夠得著”，這種富有創(chuàng)造意義的主動(dòng)探索、拓展能夠使自己的思維得到鍛煉和提高.

思考2 如果將條件①②③和結(jié)論④進(jìn)行輪換呢，是否依舊成立？

要學(xué)好解析幾何，首先必須夯實(shí)代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)樵S多幾何問(wèn)題我們都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)推理，計(jì)算使問(wèn)題得到解決，這一點(diǎn)，通過(guò)上面的幾種解法，我們應(yīng)該有深刻的認(rèn)識(shí).許多解析幾何題的思路是很容易想到的，甚至是程序化的，但是卻做不出來(lái)，可能就是計(jì)算不過(guò)關(guān)，因此在學(xué)習(xí)的過(guò)程中必須不斷提高運(yùn)算能力.另外，我們要不斷積累，掌握常見(jiàn)題型與方法.盡管解析幾何題的變化很多，但是在認(rèn)真分析題目，看到問(wèn)題的本質(zhì)，并充分聯(lián)想，逐步轉(zhuǎn)化之后就會(huì)出現(xiàn)我們熟悉的影子，或許就可以用模型解題，解析幾何中有許多常見(jiàn)的結(jié)論與方法，在解題時(shí)要靈活運(yùn)用.

可以看到，此題是橢圓部分的一道經(jīng)典題，解題的方法也不難想到，就題論題，我們會(huì)錯(cuò)過(guò)解題的重要而又有教益的方面，它很快就會(huì)淹沒(méi)在我們的記憶里. 但是如果我們做到解題后的反思，拓展，那么就會(huì)給我們留下深刻的印象，我們的視野也會(huì)更開(kāi)闊，對(duì)知識(shí)的掌握會(huì)更牢固，解決問(wèn)題的能力會(huì)顯著增強(qiáng).

[1]劉亞平.“數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)模型”理論指導(dǎo)下的解題活動(dòng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016(11)29-31,43.