廣東省深圳市深圳中學(xué) (518001)

黃文輝

冪、指、對函數(shù)圖像增長差異的探究及應(yīng)用

廣東省深圳市深圳中學(xué) (518001)

黃文輝

冪、指、對函數(shù)圖像增長差異在高考題中作為處理函數(shù)不等式問題的重要模型，高中數(shù)學(xué)人教A版必修1第101頁對其進(jìn)行了定性描述，在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)工具后，我們可對其進(jìn)行定量研究．原問題即等價于問題1：證明：當(dāng)α>0,a1,a2>1時，存在x0>0，當(dāng)x>x0時，有ax1>xα>loga2x．

把問題1分為兩部分：問題1(1)：證明：當(dāng)α>0,a>1時，存在x0>0，當(dāng)x>x0時，有xα>logax；問題1(2)：證明：當(dāng)α>0,a>1時，存在x0>0，當(dāng)x>x0時，有ax>xα．

為證明問題1(1)，采取由特殊到一般的策略：首先，證明引理1：證明：當(dāng)x>0時，有x>lnx．

引理2存在x0>0，當(dāng)x>x0時，有xα>lnx．

問題1(1)得證．

問題1(2)證明：當(dāng)α>0,a>1時，存在x0>0，當(dāng)x>x0時，有ax>xα．

所以，課本上定性描述的一個結(jié)論，通過導(dǎo)數(shù)工具得到了定量的證明．此結(jié)論成為我們思考函數(shù)不等問題的依據(jù)．

例1 (2014福建理科數(shù)學(xué)壓軸題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖像與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1．

(Ⅰ)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)證明：當(dāng)x>0時，x2

(Ⅲ)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈(x0，+∞)，恒有x2

(Ⅱ)對于任意給定的正實數(shù)λ、a，證明：存在實數(shù)x0，當(dāng)x>x0時，f(x)>0．