袁國方　陳近

摘 要：住房反向抵押貸款是我國創(chuàng)新以房養(yǎng)老模式的重要金融工具，而其產(chǎn)品定價(jià)則是金融機(jī)構(gòu)能否成功開展該項(xiàng)業(yè)務(wù)的關(guān)鍵?；陲L(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思路構(gòu)建住房反向抵押貸款定價(jià)模型并設(shè)計(jì)MATLAB程序，對(duì)我國住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)問題進(jìn)行理論探索和實(shí)證模擬。研究結(jié)果顯示，在一次躉領(lǐng)和終身年金方式下，借款人獲得的貸款額均隨其年齡增長而穩(wěn)定增長；在浮動(dòng)利率計(jì)息方式下借款人可獲得貸款額大于其在固定利率計(jì)息方式下可獲得的貸款額；借款人所獲貸款額與貸款利率負(fù)相關(guān)，與房產(chǎn)價(jià)值正相關(guān)且對(duì)貸款利率的敏感性最強(qiáng)。

關(guān)鍵詞：住房反向抵押貸款；風(fēng)險(xiǎn)中性模型；產(chǎn)品定價(jià)；蒙特卡洛模擬

中圖分類號(hào)：F831.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-3890（2017）04-0054-09

一、引言

隨著我國步入老齡化社會(huì)，現(xiàn)行養(yǎng)老理念及模式的局限性日益凸顯，養(yǎng)老市場(chǎng)供需缺口也不斷加大，探索和開發(fā)適合我國國情的新型養(yǎng)老模式及產(chǎn)品勢(shì)在必行。受傳統(tǒng)消費(fèi)理念的約束，我國老年人將大部分積蓄都優(yōu)先投資于自住房產(chǎn)，退休后由于其收入來源相對(duì)單一、收入水平相對(duì)下降而成為典型的“房子富翁，現(xiàn)金窮人”，這導(dǎo)致其養(yǎng)老需求難以得到充分的滿足。因此，盤活老年人擁有的房產(chǎn)使其獲得穩(wěn)定收入，以滿足其養(yǎng)老需求并緩解社會(huì)養(yǎng)老壓力，理應(yīng)作為我國養(yǎng)老模式創(chuàng)新的突破點(diǎn)。其中，發(fā)展住房反向抵押市場(chǎng)，開展住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)，在歐美發(fā)達(dá)國家已經(jīng)是被實(shí)踐證明行之有效的以房養(yǎng)老模式。

Venti et al.（1991）將住房反向抵押貸款定義為，具有養(yǎng)老需求的老年人以其擁有產(chǎn)權(quán)的住房向金融機(jī)構(gòu)抵押貸款用于養(yǎng)老，同時(shí)保留房屋居住權(quán)直至其離世的一種與傳統(tǒng)抵押貸款現(xiàn)金流流向相反的金融產(chǎn)品[1]。住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)能否取得成功，很大程度上取決于該業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)是否合理[2]。Chinloy et al.（1994）認(rèn)為，借款人在將自有產(chǎn)權(quán)的住房抵押給金融機(jī)構(gòu)之后，其在有生之年內(nèi)一次性（躉領(lǐng)）或定期定額（年金）獲取的貸款額度，在很大程度上決定了住房反向抵押業(yè)務(wù)的市場(chǎng)供求關(guān)系及其業(yè)務(wù)前景[3]。如定價(jià)過低，住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)會(huì)由于貸款數(shù)額達(dá)不到申請(qǐng)人以房養(yǎng)老的要求而面臨需求不足的狀況；如定價(jià)過高，住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)又會(huì)面臨由于虧損概率較大而導(dǎo)致的供給不足狀況。

早在20世紀(jì)90年代，國內(nèi)學(xué)者就開始關(guān)注國外住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)并期待將之引入我國。近年來，我國政府已經(jīng)認(rèn)識(shí)到住房反向抵押貸款的潛在社會(huì)效用及其重大社會(huì)意義，并開始鼓勵(lì)和支持某些金融機(jī)構(gòu)試點(diǎn)開展該業(yè)務(wù)，但迄今為止業(yè)務(wù)開展情況并不理想，市場(chǎng)反響也不熱烈，其直接原因就在于我國金融機(jī)構(gòu)在住房反向抵押貸款定價(jià)方面缺乏經(jīng)驗(yàn)與依據(jù)。作為一項(xiàng)重大的金融服務(wù)創(chuàng)新，住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)具有周期長、不確定性高等風(fēng)險(xiǎn)特征，這導(dǎo)致其產(chǎn)品設(shè)計(jì)及定價(jià)的難度較大。因此，我國金融機(jī)構(gòu)在住房反向抵押貸款產(chǎn)品設(shè)計(jì)中附加了很多價(jià)格以外的限制性條件以規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，這又進(jìn)一步限制了產(chǎn)品定價(jià)對(duì)市場(chǎng)供求本應(yīng)發(fā)揮的具有決定性的積極作用?？梢?，產(chǎn)品定價(jià)問題已經(jīng)成為住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)開展乃至其社會(huì)效用發(fā)揮的瓶頸。

因此，研究構(gòu)建適合我國國情的住房反向抵押貸款定價(jià)模型并檢驗(yàn)其合理性，可以為該業(yè)務(wù)在我國的加速推廣提供實(shí)用工具，進(jìn)而通過盤活老年人特別是那些急需改善養(yǎng)老狀況的貧困老年人的自有房產(chǎn)加快緩解社會(huì)保障壓力，促進(jìn)社會(huì)整體效用，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[4]；同時(shí)，作為豐富和深化養(yǎng)老保障、住房金融等相關(guān)理論和方法的嶄新視角，進(jìn)行住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)研究也具有重要的理論價(jià)值。

二、文獻(xiàn)回顧與研究路徑

（一）文獻(xiàn)回顧

1. 影響住房反向抵押貸款定價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)因素。對(duì)影響住房反向抵押貸款定價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行識(shí)別，是其產(chǎn)品定價(jià)及業(yè)務(wù)開展的前提。相對(duì)于其他貸款業(yè)務(wù)，住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)較高，因此金融機(jī)構(gòu)介入該業(yè)務(wù)的積極性并不很高。Wang等（2007）的研究表明，即使在反向抵押貸款業(yè)務(wù)較為普及的美國，90%以上的業(yè)務(wù)也是由政府指定的金融機(jī)構(gòu)開展的[5]。也正因如此，住房反向抵押貸款也表現(xiàn)出比其他貸款業(yè)務(wù)高的利潤率。Davidoff et al.（2007）指出，住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)盡管蘊(yùn)含風(fēng)險(xiǎn)問題，但貸款機(jī)構(gòu)可以收回本息和的時(shí)間一般都要早于預(yù)期[6]。

Phillips et al.（1993）首先將住房反向抵押貸款定價(jià)面臨的風(fēng)險(xiǎn)界定為長壽風(fēng)險(xiǎn)、利率風(fēng)險(xiǎn)、整體住房價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)、個(gè)體住房價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)和費(fèi)用風(fēng)險(xiǎn)[7]。基于此，Szymanoski（1994）、Chinloy et al.（1994）進(jìn)一步將風(fēng)險(xiǎn)因素概括為壽命風(fēng)險(xiǎn)、利率風(fēng)險(xiǎn)和住房價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)。總體而言，利率波動(dòng)、房價(jià)波動(dòng)、預(yù)期余命是研究者較為認(rèn)同的影響住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)產(chǎn)品定價(jià)的重要因素[8，3]。Wang等（2007）認(rèn)為，相對(duì)于其他風(fēng)險(xiǎn)因素，這三大因素均為系統(tǒng)性、補(bǔ)償性風(fēng)險(xiǎn)并且貸款機(jī)構(gòu)可以通過承擔(dān)這些風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)獲益[5]。

首先，住房反向抵押貸款定價(jià)將面臨比普通抵押貸款更大的利率風(fēng)險(xiǎn)[7，9]。Boehm et al.（1994）發(fā)現(xiàn)，反向抵押貸款的利率風(fēng)險(xiǎn)遠(yuǎn)大于給定相同初始條件的普通住房抵押貸款和國債[9]。柴效武 等（2008）指出，只有將住房反向抵押貸款的貸款利率定得比較高并且給予貸款機(jī)構(gòu)一定的貼息優(yōu)惠，才能充分規(guī)避業(yè)務(wù)開辦過程中的利率風(fēng)險(xiǎn)[10]。

其次，房價(jià)波動(dòng)可能會(huì)造成住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)中的房產(chǎn)價(jià)值，在貸款機(jī)構(gòu)收回房產(chǎn)變現(xiàn)時(shí)因達(dá)不到的初始預(yù)期價(jià)值而使其蒙受損失[10]。Chen et al.（2010）進(jìn)一步指出，在住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)中，貸款機(jī)構(gòu)必須要考慮自然損耗、經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、交易行情等造成的房產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)性，否則住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)會(huì)因房價(jià)波動(dòng)而偏離合理區(qū)間[11]。

最后，預(yù)期余命（即貸款機(jī)構(gòu)預(yù)期借款人申請(qǐng)住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)后的生存期）存在短于實(shí)際壽命的可能性，這同樣是住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)產(chǎn)品定價(jià)必須納入的重要風(fēng)險(xiǎn)因素[3]。住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)允許借款人保留對(duì)房屋的使用、支配權(quán)直至其死亡，而貸款機(jī)構(gòu)則通過基于大數(shù)定律的生命表估算貸款期[8]，若借款人壽命超過估算的貸款期，貸款機(jī)構(gòu)將遭受因累計(jì)貸款本利超過房產(chǎn)價(jià)值的損失。預(yù)期余命風(fēng)險(xiǎn)主要通過借款人在各年齡段的死亡概率反映[12]。

2. 住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)模型。住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)模型均源于金融資產(chǎn)定價(jià)理論。由于金融資產(chǎn)定價(jià)必須充分考慮由未來現(xiàn)金流不確定性造成的資產(chǎn)持有風(fēng)險(xiǎn)[13]，因此金融資產(chǎn)定價(jià)理論給出三種基本思路：一是風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整折現(xiàn)率法。該方法基于對(duì)未來現(xiàn)金流的合理預(yù)測(cè)，設(shè)定一個(gè)可以反映資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)水平的折現(xiàn)率或必要回報(bào)率進(jìn)行金融資產(chǎn)定價(jià)[14]；二是確定性等價(jià)法，該方法使用經(jīng)過風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的未來現(xiàn)金流預(yù)測(cè)值進(jìn)行金融資產(chǎn)定價(jià)[15]；三是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法，該方法不對(duì)未來現(xiàn)金流數(shù)值和必要回報(bào)率進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整，而是對(duì)金融資產(chǎn)未來現(xiàn)金流的數(shù)學(xué)期望運(yùn)用無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率進(jìn)行折現(xiàn)以實(shí)現(xiàn)定價(jià)[16]。Cox et al.（1976）推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)公式時(shí)演繹得出該方法，其假設(shè)投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度是中性的，所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率均為無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此可以用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)求得資產(chǎn)價(jià)格[17]。

現(xiàn)有住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)模型，主要是基于上述三種定價(jià)思路中的前兩種而建立的，而關(guān)于金融資產(chǎn)定價(jià)理論中的第三種定價(jià)思路——風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，目前還沒有引起住房反向抵押貸款定價(jià)研究的關(guān)注。支付因子定價(jià)模型是基于第一種思路發(fā)展而來的，保險(xiǎn)精算定價(jià)模型則是第二種思路的運(yùn)用，由此形成了較為主流的兩種以風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)或調(diào)整為設(shè)計(jì)導(dǎo)向的定價(jià)模型：支付因子和保險(xiǎn)精算。Chinloy et al.（1994）設(shè)計(jì)的支付因子模型通過調(diào)整精算系數(shù)對(duì)住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的必要回報(bào)率進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整[3]。美國現(xiàn)有的主要反向抵押貸款產(chǎn)品——HECM（Home Equity Conversion Mortgage），其定價(jià)依據(jù)的就是基于調(diào)整精算系數(shù)以及房價(jià)波動(dòng)率和貸款期限確定的支付因子[8]。而Mitchell et al.（2003）提出的保險(xiǎn)精算定價(jià)模型根據(jù)期望收支平衡（即貸款機(jī)構(gòu)未來可能發(fā)生收付的精算現(xiàn)值之和為零）原則，對(duì)未來現(xiàn)金流直接進(jìn)行數(shù)值上的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整，進(jìn)而推導(dǎo)出基于利率、房價(jià)增長率和死亡率的一次性支付和年金支付的住房反向抵押貸款價(jià)格[18]。

關(guān)于上述兩類定價(jià)模型，由于我國缺乏支付因子定價(jià)所依賴的大量歷史數(shù)據(jù)，支付因子定價(jià)模型不適于直接引入中國情境；相對(duì)而言，保險(xiǎn)精算定價(jià)模型由于對(duì)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的依賴較少，因而更適合應(yīng)用于缺乏定價(jià)經(jīng)驗(yàn)的國家，更多國內(nèi)學(xué)者在建立住房反向抵押貸款定價(jià)模型時(shí)也更傾向于對(duì)保險(xiǎn)精算模型進(jìn)行修正和拓展，如在保險(xiǎn)精算模型中修正或加入適合我國國情的房屋折舊因子、平均預(yù)期余命、預(yù)測(cè)房產(chǎn)價(jià)值等因素[10]。但在上述兩種模型中，無論是通過事先設(shè)定與貸款發(fā)放機(jī)構(gòu)所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)相適應(yīng)的必要回報(bào)率來調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)，還是基于預(yù)期收支平衡原則預(yù)測(cè)未來現(xiàn)金流數(shù)值來調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)，未來風(fēng)險(xiǎn)均被視為由風(fēng)險(xiǎn)偏好決定的主觀靜態(tài)估計(jì)數(shù)值，在反映未來風(fēng)險(xiǎn)因素的動(dòng)態(tài)性方面存在固有缺陷，當(dāng)然更不能反映各種風(fēng)險(xiǎn)因素同時(shí)變化對(duì)定價(jià)的影響。

（二）研究路徑

當(dāng)前，在我國市場(chǎng)機(jī)制仍不完善且經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的狀況下，那些對(duì)定價(jià)模型具有重要意義的參數(shù)如房價(jià)、利率等較國外市場(chǎng)具有更高的不確定性。然而，國內(nèi)金融機(jī)構(gòu)現(xiàn)有的定價(jià)模型較多采用固定參數(shù)如預(yù)先設(shè)定的貸款年利率和房價(jià)增長率，這些參數(shù)的設(shè)定反映了貸款機(jī)構(gòu)的特定風(fēng)險(xiǎn)偏好因而具有較強(qiáng)的主觀性，進(jìn)而導(dǎo)致定價(jià)模型對(duì)真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)狀況的考量和調(diào)整也帶有較強(qiáng)的主觀性，其定價(jià)合理性值得商榷。而基于風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的定價(jià)思路恰好能夠較好地規(guī)避現(xiàn)有反向抵押貸款定價(jià)模型進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)或調(diào)整時(shí)帶有主觀性的缺陷。相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者，風(fēng)險(xiǎn)中性投資者不要求對(duì)自身承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行補(bǔ)償。

在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，所有證券的預(yù)期收益率均為無風(fēng)險(xiǎn)利率[19]。當(dāng)市場(chǎng)無任何套利空間時(shí)，衍生證券價(jià)格若仍依賴于可交易的基礎(chǔ)證券，則該衍生證券價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度無關(guān)[16]。因此，體現(xiàn)投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的變量不包含在衍生證券定價(jià)微分方程中。更值得注意的是，風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下的衍生物估值同樣可用于非風(fēng)險(xiǎn)中性世界，這種定價(jià)原理與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)，可以作為任何衍生證券定價(jià)的前提條件。Cox et al.（1976）證實(shí)，盡管現(xiàn)實(shí)中的投資者具有風(fēng)險(xiǎn)偏好差異，但當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)都會(huì)采取套利行為，套利機(jī)會(huì)消除后的均衡價(jià)格與其風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)[17]。

可見，風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下的住房反向抵押貸款定價(jià)，既不用對(duì)必要回報(bào)率進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整，也無需對(duì)未來現(xiàn)金流數(shù)值進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整，一方面可以將復(fù)雜的定價(jià)問題簡(jiǎn)單化，另一方面也可以通過納入重要風(fēng)險(xiǎn)因素而使定價(jià)模型更加系統(tǒng)和全面。因此，與現(xiàn)有主流定價(jià)模型相比，“風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)”更適應(yīng)尚未規(guī)范化、標(biāo)準(zhǔn)化的中國交易市場(chǎng)，并且，由于影響住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)產(chǎn)品定價(jià)的主要風(fēng)險(xiǎn)因素在中國較易識(shí)別和表征，使得該方法的使用具有可行性。

在已有研究的基礎(chǔ)上，本文基于住房反向抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思路，并綜合考慮貸款利率、房價(jià)和預(yù)期余命三大風(fēng)險(xiǎn)因素，分別構(gòu)建單生命狀態(tài)下不具有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款在一次性支付與年金式支付、固定利率計(jì)息與浮動(dòng)利率計(jì)息方式下的定價(jià)模型，運(yùn)用Matlab程序進(jìn)行蒙特卡洛模擬并得出三大風(fēng)險(xiǎn)因素同時(shí)變化時(shí)的定價(jià)結(jié)果。

三、定價(jià)模型與方法構(gòu)建

為實(shí)證模擬的可操作性，本文假定參與住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的借款人沒有其他以住房為抵押的貸款；房產(chǎn)在借款人離世后隨即以市場(chǎng)價(jià)格出售；貸款的成本費(fèi)用為房產(chǎn)價(jià)值的一個(gè)固定比例數(shù)；借款人為單生命狀態(tài)并且貸款不可提前贖回；借款人于生日當(dāng)天投保并且離世時(shí)間也為其生日。

（一）基本參數(shù)界定

x為借款人年齡，r為年折現(xiàn)率，g為房屋資產(chǎn)年增值率，m為住房反向抵押貸款年利率，HEQ為抵押房屋資產(chǎn)現(xiàn)值（即參加住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)時(shí)市場(chǎng)評(píng)估價(jià)值），L為借款人的預(yù)期余命，α為費(fèi)率（即住房反向抵押貸款申請(qǐng)過程中的各項(xiàng)費(fèi)用占期初房屋評(píng)估價(jià)值的比例，主要包括房屋的評(píng)估費(fèi)用、辦理住房保險(xiǎn)發(fā)生的費(fèi)用、房屋的修繕費(fèi)用，等等），β為房屋的年折舊率，LS為一次躉領(lǐng)金額，PMT為年金領(lǐng)取金額（期初領(lǐng)?。琇|qX為x歲的借款人在住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)正式開始之后第L年內(nèi)死亡的概率，T為假設(shè)借款人最多能活至生命表中人可能生存最大年齡時(shí)借款人可能的最長剩余壽命（我國現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)生命表中最大的生存年齡為105，即T=105-x+1）。

（二）基準(zhǔn)定價(jià)模型

一次躉領(lǐng)和終生年金是住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的兩種主要支付方式，基于“貸款機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)利潤為零”的原則，本文分別構(gòu)建一次躉領(lǐng)基準(zhǔn)定價(jià)模型和終身年金基準(zhǔn)定價(jià)模型，前述三大風(fēng)險(xiǎn)因素在基準(zhǔn)模型中均作為常量考慮。

1. 一次躉領(lǐng)基準(zhǔn)定價(jià)模型。一次躉領(lǐng)即一次性支付，是指申請(qǐng)人與貸款機(jī)構(gòu)簽訂住房反向抵押貸款合同后，貸款機(jī)構(gòu)將貸款總額進(jìn)行一次性支付，貸款機(jī)構(gòu)在申請(qǐng)人離世后將房產(chǎn)收回并拍賣變現(xiàn)。其基本定價(jià)公式可以描述為：

貸款機(jī)構(gòu)期初發(fā)放的一次性支付額累積到貸款結(jié)束時(shí)期的貸款余額=貸款結(jié)束時(shí)的房屋資產(chǎn)價(jià)值+貸款初始費(fèi)用按貼現(xiàn)率累積到貸款結(jié)束時(shí)的數(shù)額。等式左邊可表達(dá)為LS×（1+m）L；等式右邊為HEQ×（1+g）L×（1-β）L+HEQ×α×（1+r）L，求解后可得到住房反向抵押貸款一次躉領(lǐng)基準(zhǔn)定價(jià)模型：

2. 終身年金基準(zhǔn)定價(jià)模型。終生年金是指借貸雙方簽訂住房反向抵押貸款合同后，貸款機(jī)構(gòu)按照固定時(shí)間間隔（年或月），將特定數(shù)額款項(xiàng)支付給申請(qǐng)人，直至借款人離世或遷離該住房為止。其基本的定價(jià)公式可以描述為：

各期支付的年金數(shù)額按照貸款利率累積到貸款結(jié)束時(shí)的貸款余額=貸款結(jié)束時(shí)的房屋資產(chǎn)價(jià)值+貸款初始費(fèi)用按貼現(xiàn)率累積到貸款結(jié)束時(shí)的數(shù)額。等式左邊為PMT×（1+m）L，等式右邊為HEQ×（1+g）L+HEQ×α×（1+r）L，求解即得到住房反向抵押貸款終身年金形式支付的基準(zhǔn)定價(jià)模型：

（三）住房反向抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型

基于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思路，本文將利率（區(qū)分為固定利率計(jì)息方式和浮動(dòng)利率計(jì)息方式）變動(dòng)、房價(jià)波動(dòng)和預(yù)期余命等風(fēng)險(xiǎn)因素納入基準(zhǔn)定價(jià)模型，分別構(gòu)建一次躉領(lǐng)和終身年金支付方式下的住房反向抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型。

1. 一次躉領(lǐng)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型。固定利率計(jì)息方式下的定價(jià)模型為：

浮動(dòng)利率計(jì)息方式下的定價(jià)模型為：

2. 終身年金風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型。固定利率計(jì)息方式下的定價(jià)模型為：

浮動(dòng)利率計(jì)息方式下的定價(jià)模型為：

四、數(shù)值模擬與結(jié)果分析

本文以60歲至80歲的男性借款人為例，設(shè)計(jì)MATLAB程序進(jìn)行蒙特卡洛模擬定價(jià)，并以65歲的男性借款人為例對(duì)定價(jià)結(jié)果進(jìn)行敏感性分析。模擬定價(jià)所用的時(shí)點(diǎn)數(shù)據(jù)均為2014年初的數(shù)據(jù)，歷史數(shù)據(jù)均為2013年以前年度的數(shù)據(jù)。

（一）參數(shù)設(shè)定

1. 預(yù)期余命不確定性L|qx。L|qx雖然不能從生命表中直接查出，但可以利用生命表中給出的死亡率計(jì)算得出。預(yù)期余命不確定性所涉及變量：px為生存率（x歲的人到x+1歲時(shí)仍生存的概率），qx為死亡率（x歲的人在1年內(nèi)死亡的概率），Lqx為x歲的人在L年內(nèi)死亡的概率，Lqx為歲的人在L年后仍生存的概率，L|qx為x歲的人在申請(qǐng)住房反向抵押貸款后第L年內(nèi)死亡的概率。

以上變量遵循三個(gè)等式關(guān)系：px+qx=1，Lqx+Lpx=1，L|qx=Lpx-L+Lpx。據(jù)L|px定義，由Lpx=px×px+1×px+2×px+L-1=（1-qx）×（1-qx+1）×…×（1-qx+L-1）得出：

L|qx=（1-qx）×（1-qx+1）×…×（1-qx+L-1）×qx+L（7）

據(jù)（7）式及《中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000—2003）》中的CL3、CL4（養(yǎng)老金業(yè)務(wù)表），可計(jì)算得出定價(jià)模型中所需的L|qx。以年齡為60、65、70、75、80的男性借款人為例，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

2. 年折現(xiàn)率r。根據(jù)宋?。?005）的研究結(jié)論[20]，本文選取2014年初的金融機(jī)構(gòu)人民幣5年期存款基準(zhǔn)利率為年折現(xiàn)率r并作為無風(fēng)險(xiǎn)利率，取值為4.75%。

3. 房屋資產(chǎn)年增值率gt。以上海為例，假定房產(chǎn)初值HV0為100萬元人民幣，根據(jù)陳近（2010）建立的房產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)模型[21]，上海房產(chǎn)價(jià)值遵循隨機(jī)游走過程：HVt=HV0exp（0.010 578 98×t+Bt），其中Bt～N（0，0.016 053 455×），該模型為月度游走模型，可計(jì)算轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的年度房產(chǎn)增值率：gt=（HVt*12-HV（t-1）*12）/HV（t-1）*12。

4. 住房反向抵押貸款年利率m。將初始值m0設(shè)為2014年初金融機(jī)構(gòu)人民幣5年以上貸款基準(zhǔn)利率，取值6.55%。根據(jù)陳近（2010）的研究結(jié)論[21]，貸款利率在未來服從以下單純跳躍過程：dmt=Kt*dp，其中，Kt服從正態(tài)分布N（0，11.57%*mt），dp服從參數(shù)為0.118的泊松分布。此游走過程也是月度游走過程，如果當(dāng)年內(nèi)金融機(jī)構(gòu)人民幣5年以上貸款基準(zhǔn)利率發(fā)生調(diào)整，則下一年采取浮動(dòng)利率計(jì)息方式的住房反向抵押貸款將按新的貸款利率計(jì)息。

5. 費(fèi)率α。參照美國HECM的標(biāo)準(zhǔn)，將α設(shè)為6%。

6. 房屋的年折舊率β。我國住宅使用壽命以70年計(jì)，按直線折舊法則每年折舊率為1.43%。在我國，住宅價(jià)格既包括地上建筑物的價(jià)格也包括土地使用權(quán)的價(jià)格，土地稀缺性導(dǎo)致土地價(jià)格通常只升不降，據(jù)此將房屋年折舊率β適當(dāng)調(diào)低為1.2%[21]。

（二）一次躉領(lǐng)實(shí)證模擬定價(jià)結(jié)果

1. 固定利率計(jì)息定價(jià)結(jié)果。首先，借款人所能獲得的一次性支付額及其變化趨勢(shì)如表2和圖1所示。隨年齡增長，借款人獲得的一次性支付額也相應(yīng)增長且增長趨勢(shì)較平穩(wěn)，符合借款人年齡越大剩余壽命越短則合同結(jié)束時(shí)房屋價(jià)值的貼現(xiàn)值越大的要求。如：同樣擁有價(jià)值100萬元房產(chǎn)的男性借款人，60歲的人一次性可獲得約35萬元，70歲的人可獲得約52萬元，80歲的人可獲得約68萬元。按近年來我國城鎮(zhèn)居民生活成本測(cè)算，在不失去原住所的前提下，借款人獲得的金額能在改善其生活質(zhì)量方面發(fā)揮較大作用。

其次，本文以65歲的男性借款人為例，對(duì)初始貸款利率、貸款費(fèi)用率、房屋折舊率等參數(shù)適當(dāng)調(diào)整后，通過對(duì)照各參照組進(jìn)行敏感性分析（表3）。研究結(jié)果表明，定價(jià)結(jié)果對(duì)貸款利率的敏感性顯著高于其對(duì)貸款初始費(fèi)率和房屋折舊率的敏感性；定價(jià)結(jié)果與貸款利率負(fù)相關(guān)，這表明貸款利率越高，貸款成本就越高，借款人可獲得的貸款金額就越少；定價(jià)結(jié)果與房屋評(píng)估值正相關(guān)，表明房屋價(jià)值越高可獲得的貸款金額越多；定價(jià)結(jié)果與貸款初始費(fèi)率正相關(guān)，表明扣減的初始費(fèi)用越多可獲得的貸款金額越多；定價(jià)結(jié)果與房屋折舊率負(fù)相關(guān)，表明房屋折舊率越高可獲得貸款金額越少。

2. 浮動(dòng)利率計(jì)息定價(jià)結(jié)果。為簡(jiǎn)化模擬過程，浮動(dòng)利率計(jì)息方式定價(jià)結(jié)果以60、65、70、75、80歲的男性借款人為例。借款人所能獲得的一次性支付額如表2所示。圖2則直觀反映出隨著年齡的增長借款人所能獲得的一次性支付額也隨之相應(yīng)增長且增長趨勢(shì)平穩(wěn)。值得注意的是，由于浮動(dòng)利率計(jì)息方式下借款人與貸款機(jī)構(gòu)一起分擔(dān)了利率風(fēng)險(xiǎn)，借款人所能獲得的貸款額度均大于固定利率計(jì)息方式下的額度。而通過對(duì)65歲男性借款人定價(jià)結(jié)果進(jìn)行的敏感性分析（表3）可知，定價(jià)結(jié)果與房屋評(píng)估值成正比，與貸款初始費(fèi)率成正比，與貸款利率成反比，與房屋折舊率成反比，定價(jià)結(jié)果對(duì)貸款利率的敏感性顯著高于其對(duì)貸款初始費(fèi)率以及房屋折舊率的敏感性。

（三）終身年金實(shí)證模擬定價(jià)結(jié)果

1. 固定利率計(jì)息定價(jià)結(jié)果。首先，借款人所能獲得的年金支付額及變化趨勢(shì)如表2和圖3所示。研究結(jié)果顯示，隨著年齡的增長借款人所能獲得的年金支付額也隨之相應(yīng)的增長且增長趨勢(shì)平穩(wěn)，如：同樣是擁有100萬元房產(chǎn)的男性借款申請(qǐng)人，60歲的人可年領(lǐng)約4.7萬元，70歲年領(lǐng)約9.4萬元，80歲則可年領(lǐng)約18.5萬元。按照近年來我國城鎮(zhèn)居民生活成本測(cè)算，借款人通過抵押房產(chǎn)在不失去原住所的前提下每年度可領(lǐng)取的貸款金額相當(dāng)大，這將在很大程度上提高老年人的生活、醫(yī)療水平。

其次，以65歲的男性借款人為例，分別對(duì)初始貸款利率、貸款費(fèi)用率、房屋折舊率等參數(shù)調(diào)整后，通過對(duì)照參照組進(jìn)行敏感性分析，結(jié)果見表3。可見，定價(jià)結(jié)果對(duì)貸款利率的敏感性顯著高于其對(duì)貸款初始費(fèi)率和房屋折舊率的敏感性，定價(jià)結(jié)果與房屋評(píng)估值成正比，與貸款初始費(fèi)率成正比，與貸款利率成反比，與房屋折舊率成反比。

2. 浮動(dòng)利率計(jì)息定價(jià)結(jié)果。為簡(jiǎn)化模擬過程，浮動(dòng)利率計(jì)息方式定價(jià)結(jié)果以60、65、70、75、80歲的男性借款人為例。借款人所能獲得的年金支付額及變化趨勢(shì)如表2和圖4所示。研究結(jié)果顯示，隨年齡增長，借款人可獲得的年金支付額也隨之增長且增長趨勢(shì)平穩(wěn)。并且，同樣由于借款人與貸款機(jī)構(gòu)在浮動(dòng)利率計(jì)息方式下共擔(dān)利率風(fēng)險(xiǎn)，浮動(dòng)利率計(jì)息方式下借款人所能獲得的貸款額度均大于固定利率計(jì)息方式下的額度。通過對(duì)65歲男性借款人定價(jià)結(jié)果的敏感性分析（表3）可知，定價(jià)結(jié)果與房屋評(píng)估值成正比，與貸款初始費(fèi)率成正比，與貸款利率成反比，與房屋折舊率成反比，并且對(duì)貸款利率的敏感性要顯著高于其對(duì)貸款初始費(fèi)率以及房屋折舊率的敏感性。

五、結(jié)論與展望

住房反向抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型克服了以往定價(jià)模型使用靜態(tài)參數(shù)的缺陷，模擬定價(jià)結(jié)果對(duì)住房反向抵押貸款供求雙方都具有一定的吸引力，既可以使老年人的收入增加以滿足其晚年養(yǎng)老需求，又可以使金融機(jī)構(gòu)在充分考慮重大風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上提升盈利水平，具體表現(xiàn)為：

一方面，無論是住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的一次躉領(lǐng)還是終身年金支付方式，借款人所能獲得的貸款額都隨年齡增長而相應(yīng)增長且增長趨勢(shì)較為平穩(wěn)，但由于在浮動(dòng)利率支付方式下借款人與貸款機(jī)構(gòu)共擔(dān)利率風(fēng)險(xiǎn)，借款人可獲得貸款額比其在固定利率支付方式下可獲得貸款額要多一些。這表明，擁有住房且具有養(yǎng)老需求的老年人，在不失去原住所的前提下可以通過住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)獲取額外現(xiàn)金，通過合理定價(jià)獲得的資金能在很大程度上改善和提高老年人的生活保障水平。并且，積極開展住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)，鼓勵(lì)老年人以房養(yǎng)老，既可以減少其晚年生活的后顧之憂，也能增強(qiáng)老年人的經(jīng)濟(jì)能力，刺激“銀發(fā)”市場(chǎng)的消費(fèi)潛力，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，同時(shí)也能通過提高房產(chǎn)的流動(dòng)性起到平抑房價(jià)緩解社會(huì)矛盾的作用。

另一方面，住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)在一次躉領(lǐng)和終身年金支付方式下的敏感性分析結(jié)果基本一致，即住房反向抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)結(jié)果對(duì)貸款利率的敏感性最高，定價(jià)結(jié)果與貸款利率負(fù)相關(guān)，與房屋評(píng)估值正相關(guān)，與貸款初始費(fèi)率成正比，與房屋折舊率成反比。這表明，本文建立的住房反向抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型能夠較好地反映利率波動(dòng)、房價(jià)波動(dòng)等重大風(fēng)險(xiǎn)對(duì)定價(jià)結(jié)果的影響，貸款機(jī)構(gòu)可以在綜合考慮重大風(fēng)險(xiǎn)的前提下進(jìn)行產(chǎn)品定價(jià)并達(dá)到預(yù)期的利潤水平；同時(shí)，住房反向抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型也揭示了其他一些風(fēng)險(xiǎn)因素如貸款初始費(fèi)率、房屋折舊率等與定價(jià)結(jié)果之間的影響關(guān)系，這反映出該模型如能納入其他重要風(fēng)險(xiǎn)因素，定價(jià)結(jié)果可能會(huì)得到進(jìn)一步優(yōu)化。

綜上所述，住房反向抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型對(duì)我國住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)具有一定的參考意義。但住房反向抵押貸款定價(jià)作為反向抵押貸款研究領(lǐng)域的難點(diǎn)，仍有待在中國情境下繼續(xù)深化和完善。首先，由于住房反向抵押貸款定價(jià)所涉及風(fēng)險(xiǎn)因素復(fù)雜多變，本文在構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型時(shí)僅考慮了利率變動(dòng)、房價(jià)波動(dòng)和預(yù)期余命三大風(fēng)險(xiǎn)因素，不能全面反映真實(shí)世界中對(duì)定價(jià)產(chǎn)生影響的各類風(fēng)險(xiǎn)，諸如借款人獲得貸款后無足夠動(dòng)力去維護(hù)、修繕住房而使房產(chǎn)價(jià)值貶損的道德風(fēng)險(xiǎn)，涉及住宅、土地相關(guān)法律的法規(guī)風(fēng)險(xiǎn)，以及金融保險(xiǎn)、社會(huì)保障等政策風(fēng)險(xiǎn)，都會(huì)對(duì)反向抵押貸款的產(chǎn)品定價(jià)產(chǎn)生重要影響。因此，后續(xù)研究可以在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型中進(jìn)一步納入其他風(fēng)險(xiǎn)因素，從而使定價(jià)模型趨于完善，定價(jià)結(jié)果更加合理。其次，由于政府在金融機(jī)構(gòu)開展住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)中也發(fā)揮重要作用，與住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的產(chǎn)品定價(jià)相關(guān)的政策要求和實(shí)施標(biāo)準(zhǔn)，如貸款機(jī)構(gòu)必須披露的包括利率、費(fèi)用等的定價(jià)信息，均需政府出臺(tái)政策規(guī)范統(tǒng)一。因此，關(guān)于住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)產(chǎn)品定價(jià)的政策研究也是下一步需要關(guān)注的重點(diǎn)。

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責(zé)任編輯：高鐘庭