■萬志建

追根溯源承前啟后
——以蘇科版七上“4.1從問題到方程”課時解讀與設計為例

■萬志建

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系。筆者結合江蘇省特級教師浦敘德主持的江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃課題“初中數(shù)學教材“點全·線聯(lián)·面融式”課時解讀的實踐研究——以“蘇科版（國標）教材為例”，摭談“4.1從問題到方程”課時解讀與設計。

一、從課時內容結構分析

本課時由五個部分構成：第一部分是情境素材，天平平衡所表示的數(shù)量關系，讓學生通過動手動腦，感受相等所對應的生活模型；第二部分是實際問題，讓學生通過假設未知數(shù)，描述數(shù)量的相等關系；第三部分是古代問題，讓學生嘗試尋找等量關系，體驗尋找等量關系的方法，即找到一個合適的量，用兩種方式加以表達，等號連接便得方程；第四部分是收集方程，歸納特征，提煉概念；最后是配套練習與習題。

二、從“點全·線聯(lián)·面融”視角解讀

1.“點全”視角解讀：梳理來龍去脈，讓知識點水落石出。

“點全”即對“4.1從問題到方程”課時的知識點進行全面解讀，梳理“一元一次方程”的概念從哪里來。一元一次方程的概念有三個維度，一是等式，教材通過天平的平衡過渡到實際問題中數(shù)量關系的相等，從而產生等式；二是含有未知數(shù)，建立在小學已學過方程的基礎上順水推舟即可，但要通過具體問題讓學生感悟學一元一次方程的意義，體會到通過設未知數(shù)來解決實際問題的簡便性、優(yōu)越性；三是“次數(shù)”是一次，“次數(shù)”怎么看？學生在前一章剛學過代數(shù)式，懂得如何觀察單項式及多項式的“次數(shù)”，相對于觀察方程的次數(shù)，看未知數(shù)的次數(shù)尤為淺顯易懂。

2.“線聯(lián)”視角解讀：串聯(lián)前后知識，讓知識線水到渠成。

“線聯(lián)”即要關注知識的“生長點”與“延伸點”，追求知識的前后連貫，自然生成，把散落的珍珠串成美麗的項鏈，體現(xiàn)知識的整體性。對于有些可在生活數(shù)學、知識關聯(lián)視角兩方面解讀的課時，則應把隱含在知識背后的數(shù)學思想方法予以揭示，使數(shù)學知識與思想方法的明暗兩條線組成設計與教學的雙翼。本課時解讀如下，若按照代數(shù)概念產生的一般方法和規(guī)律，可以按照“列舉問題——得出式子——歸納特征——提煉概念——靈活運用”構成知識的關聯(lián)線；若按本課素材明線來看，是由“兩個情境”引出知識，一是觀察平衡模型，二是尋找數(shù)量相等，體現(xiàn)了數(shù)學中從具體到抽象的基本思想方法；接著通過古代問題及“試一試”等問題，共得出5個方程，讓學生歸納這類方程的特點，體現(xiàn)了數(shù)學從一般到特殊的基本思想方法；最后是練習與習題。在本課結束時，教師可以布置一些發(fā)展性的問題，如今天我們通過設未知數(shù)來解決相關問題，但事情只做了一半，我們只得到了方程，如何解這些方程呢？你們能否結合天平平衡的原理，化繁為簡，找到解方程的方法呢？方程從未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)而言，有一元一次方程，你認為還有什么方程？等等，讓課堂余音繞梁，讓生成源源不斷。

3.“面融”視角解讀：提升“四基、四能”，讓知識面水漲船高。

“面融”即把本課時從“四基、四能”的整體層面進行解讀，它包括顯性知識板塊層面，即本課知識處于什么知識線上？處在什么知識板塊下？與相近知識板塊之間有什么內在聯(lián)系，及時進行類比和對比；還包括隱性能力層面，需要注重哪些能力的培養(yǎng)？形成哪些數(shù)學觀念？本課時“面融”解讀如下：縱觀小學、初中各個學段的學習內容，發(fā)現(xiàn)“方程”的知識是呈螺旋式上升的，先是小學教學中根據(jù)實際問題，初涉簡單的一元一次方程，讓學生有一個朦朧的概念，但不涉及具體解法和應用，到七年級上學期，面對較為復雜的實際問題，僅憑小學的算術方法很難直接表達其中的數(shù)量關系，而通過假設未知數(shù)，一方面可以更為直接地表述數(shù)量關系，思維較為順暢，另一方面，在表述數(shù)量關系時，實際上是兵分兩路，各表同量，難度降半，事半功倍，即設法從兩個不同的角度通過未知數(shù)來表示一個恰當?shù)闹虚g量，從而構建等量關系，得到一元一次方程。若依此類推，舉一反三，有一元一次方程便有二元一次方程、三元一次方程、一元二次方程等等，也為學生后繼學習更為復雜的方程提供了方法和依據(jù)。若追根溯源，方程在生活中的原型是天平的平衡，平衡中的天平兩邊同時加減相同的量，天平仍然平衡，類似地，也為化簡方程找到了思路。

三、基于教材解讀的教學設計

基于以上的教材解讀與分析，筆者進行了如下的教學設計：

1.創(chuàng)設情境，難則思變。

師：有一根鐵絲，第一次用了它的一半少1米，第二次用去了剩余的一半多1米，結果還剩2.5米，問這根鐵絲原有多長？

很多學生感覺較難下手，部分學優(yōu)生嘗試用算術方法解答。

師：如果用小學里的算術方法解答，的確比較難下手，知識的發(fā)展源于問題，今天我們嘗試換一個角度，來一次革命。

2.開放問題，玩味平衡。

師：如圖，天平的左盤中有兩個相同的小球和一個質量為1g的小球，右盤中有一個5g的砝碼。怎樣描述天平平衡時所表示的數(shù)量之間的相等關系？你還可以怎樣改變條件并描述天平平衡時所表示的數(shù)量之間的相等關系？

學生嘗試改變條件，體驗等量關系，初步感知方程。

3.方法比較，體會價值。

師：籃球聯(lián)賽規(guī)則規(guī)定：勝一場得2分，負一場得1分。某籃球隊賽了12場，共得20分。你能提出什么問題？怎樣解決？

學生提出問題，并思考解決之道，有的用算術方法，有的開始嘗試用方程解決。學生初步體驗實際問題中已知量和未知量之間的相等關系，可以用多種不同的方式描述。并通過比較可以看出，用方程描述這種相等關系最簡明。

4.提煉特征，理解新知。

教師再出示例題：甲、乙兩同學學習計算機打字，甲打一篇3000字的文章與乙打一篇2400字的文章所用的時間相同。已知甲每分鐘比乙每分鐘多打12個字，問甲每分鐘打多少個字？

教師引導學生通過對實際問題中數(shù)量關系的分析，體會如何用方程描述實際問題中的等量關系。讓學生概括這類方程的特點，引出一元一次方程的概念。

接著教師介紹方程史話：人類對方程的研究可以追溯到遠古時代，大約3600年前，古代埃及人寫在紙草書上的數(shù)學問題中就涉及了含有未知數(shù)的等式，中國對方程的研究也有悠久的歷史，著名的中國古代數(shù)學著作《九章算術》中，就有專門用“方程”命名的一章。

5.現(xiàn)學現(xiàn)用，鞏固新知。

（1）概念辨析，加深理解。

師：下列各式中，是方程的有幾個？是一元一次方程的有幾個？你能否再舉一些例子？

①2x+3；②2+5＝7；③-2x＝3x+2；④-3+ 0.4y＝8；⑤x+1＞3。

（2）抓住等量，建立方程。

設某數(shù)為x，根據(jù)下列條件列方程：

①某數(shù)的65%與-2的差等于它的一半；

（3）我國古代問題。

以繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺。繩長、井深各幾何？

學生解釋：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺。繩長、井深各幾尺？

教師引導學生總結尋找等量關系的一些關鍵字。

6.回顧懸念，柳暗花明。

教師引導學生解決課首提出的問題，再次體驗用方程解決實際問題的優(yōu)越性，即兵分二路，同表一量，難度降半。

7.議議生慧，明道悟理。

師：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？你還想了解一元一次方程的什么知識？你認為方程還會怎樣發(fā)展？

學生從數(shù)學知識、數(shù)學思想、生活哲理等方面總結。

結語：從“點全、線聯(lián)、面融”三個視角進行課時解讀與教學設計，一方面為教師提供了一個要求規(guī)范、起點較高、操作性強的分析教材、理解教材、吃透教材的方法和工具，讓教師站在系統(tǒng)的高度，俯瞰課堂，整體分析，追根溯源，承前啟后；另一方面，為培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)另辟蹊徑，教材的解讀不僅停留在尋找知識之間的邏輯順序及知識之間的實質性聯(lián)系，而且透過現(xiàn)象看本質，把隱含在知識背后的數(shù)學思想方法予以揭示，使數(shù)學知識與思想方法的明暗兩條線比翼雙飛，讓學生逐步學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)；用數(shù)學的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)；用數(shù)學的語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

（作者為江蘇省無錫市張涇中學教師）