浙江省金華市第六中學(xué) 虞 懿 (郵編:321000)

2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷第21題的探究歷程

浙江省金華市第六中學(xué) 虞 懿 (郵編:321000)

解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何量(性質(zhì)),核心思想是“數(shù)形結(jié)合”.2017年高考浙江卷第21題,保持了浙江卷背景熟悉、入口寬泛、解法多樣的一貫風(fēng)格,細(xì)細(xì)品讀深感底蘊(yùn)純厚,緊扣解析幾何的思想精髓.本文從解決解析幾何問題的核心方法思想出發(fā),著重探究本題第(Ⅱ)問的求解策略.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

如圖1,已知拋物線x2＝y(tǒng),點(diǎn),拋物線上的點(diǎn).過點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.

(I)求直線AP斜率的取值范圍;

(II)求PA·PQ 的最大值.

品讀 本題以拋物線為載體,主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、斜率與弦長等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.設(shè)計(jì)新穎,構(gòu)思巧妙,耐人尋味,令人賞心悅目,體現(xiàn)了“能力立意”的指導(dǎo)思想,凸顯了數(shù)學(xué)試題的選拔功能.

2 解法探究

(II)策略1 選擇恰當(dāng)形式,實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示.

“幾何量的代數(shù)表示”是解決解析幾何問題的關(guān)鍵,在本題中的幾何量是“PA·PQ ”,用什么樣的代數(shù)形式來表示這個幾何量?對于弦長問題,很自然地聯(lián)想到圓錐曲線的距離和弦長公式.而在解析幾何中描述弦長的代數(shù)形式就是點(diǎn)或斜率,由此可想到用點(diǎn)坐標(biāo)或斜率來表示幾何量“PA·PQ ”.

評析 聯(lián)立兩相交直線方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,以斜率為參變量來表示弦長,建立目標(biāo)函數(shù).

解法2 由(I)可設(shè)直線AP方程:y＝k(x

依題意知AQ⊥BQ,即點(diǎn)Q是以AB為直徑的圓與直線AP的另一個交點(diǎn),

評析 涉及弦長的問題,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系,通過設(shè)而不求計(jì)算弦長,以求達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.

策略2 借助參數(shù)方程,實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

則直線AP的參數(shù)方程為

整理得

評析 利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,避免了繁瑣的計(jì)算,使得方程的聯(lián)立簡便易得.

策略3 回歸向量知識本質(zhì),實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

向量具有代數(shù)、幾何雙重身份,融數(shù)形于一體,是溝通代數(shù)和幾何的橋梁.它可以將幾何問題坐標(biāo)化、數(shù)量化,因此它是解決解析幾何問題的重要工具.

評析 本解法構(gòu)建平面向量,利用數(shù)量積的定義求PA·PQ ,簡潔明了.在探究解題思路時(shí),要善于從不同的角度分析、挖掘它與其他知識的聯(lián)系,在平面解析幾何中有關(guān)長度、角度的計(jì)算及有關(guān)平行、三點(diǎn)共線、垂直等位置關(guān)系問題都可以用向量知識解決.

策略4 妙用極化恒等式,實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

評析 極化恒等式的應(yīng)用,由一般的直接運(yùn)用到結(jié)合具體問題的巧用,需要學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,注意化動為定,特別是要結(jié)合題中的隱性特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理,才能達(dá)到事半功倍的效果.

策略5 利用圓冪定理,實(shí)現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

圓冪定理是平面幾何中的一個定理,是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)的統(tǒng)一.例如,如果交點(diǎn)為P的兩條相交直線與圓O相交于A、B與C、D,則PA·PB＝PC ·PD.

圖2

解法6 依題意知AQ⊥BQ,則點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上,AB的中點(diǎn)為),如圖2所示,設(shè)直線CP交圓于點(diǎn)E,F,則由圓冪定理知PA · PQ ＝PE·PF ＝(R－PC )(R＋PC )＝R2下同解法4.

評析 巧妙利用圓冪定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,得PA·PQ ＝R2－PC2,避開求點(diǎn)Q的坐標(biāo),從而大大簡化運(yùn)算,并且后續(xù)化簡也比較方便.

3 探究感悟

解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題,在解題過程中,首先要將文字信息、圖形條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換,通過代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系,將待求的幾何量表示成代數(shù)式,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算得出代數(shù)結(jié)果,最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題.在這個過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉(zhuǎn)換,因此,我們必須重視對幾何量(關(guān)系)的深入研究,探究用何種代數(shù)形式能恰當(dāng)表示題目中的幾何量(關(guān)系),同時(shí)有利于代數(shù)運(yùn)算,從而形成正確的解題策略.

2017-07-04)