安徽省蚌埠市教育科學(xué)研究所 陳耀忠 (郵編:233000)

安徽省蚌埠市第六中學(xué) 仲立群 (郵編:233000)

黃金分割圖形薈萃 數(shù)學(xué)文化日漸風(fēng)流
——2017年安徽中考第23題賞析與研究

安徽省蚌埠市教育科學(xué)研究所 陳耀忠 (郵編:233000)

安徽省蚌埠市第六中學(xué) 仲立群 (郵編:233000)

2017年安徽初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷第23題作為壓軸題,梯度明顯、難度適宜、解法多樣,源于教材基本圖形,嫁接經(jīng)典的黃金分割圖形,立意高妙,蘊含豐富,啟示一線教師從更深層次關(guān)注初中平面幾何教學(xué),思考初中數(shù)學(xué)教學(xué).

解法研究;弦圖、黃金分割;數(shù)學(xué)文化;教學(xué)啟示

2017年中考落下帷幕,我們看到安徽省壓軸題與前兩年相比難度有所下降,風(fēng)格也由前兩年動態(tài)幾何(雙等腰三角形旋轉(zhuǎn)變換)回歸為確定性圖形性質(zhì)的研究,小題之間梯度明顯,設(shè)問方式各不相同,問題難度層層遞進(jìn),很好地落實課標(biāo)精神、反映考綱要求,體現(xiàn)了學(xué)業(yè)水平考試的定位以及兼顧高中選拔的需求,是一道經(jīng)典的平面幾何好題.賞析如下:

圖1

1 試題與解法研究

試題 (2017年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷第23題)已知正方形ABCD,點M為邊AB的中點.

(1)如圖1,點G為線段CM上一點,且∠AGB＝90°,延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點E、F.

①求證:BE＝CF;

圖2

②求證:BE2＝BC ·CE.

(2)如圖2,在邊BC上取一點E,滿足BE2＝BC· CE,連接AE交CM于點G,連接BG并延長延長交CD于點F,求tan∠CBF的值.

本題以正方形為背景,因此解析法是比較容易想到的證法,限于篇幅,解析法和官方答案不再贅述!

下面重點研究第(1)小題第②問和第(2)小

圖15

定理2 點E、F、G、H分別在正方形ABCD的四條邊BC、CD、DA、AB上(如圖16),若EG⊥FH,則EG＝FH.

圖16

圖16 中E、F、G、H若為正方形四邊中點,所得圖形即為古埃及三角形(據(jù)傳為古埃及構(gòu)造3∶4∶5的直角三角形的圖形,如圖17),有以下性質(zhì):

圖17

定理3 已知E、F、G、H分別是正方形ABCD的邊BC、CD、DA、AB的中點,AE、BF交于點P,則PF∶PA∶AF＝3∶4∶5.

本題證明不難,可以通過勾股定理計算得到,也可以通過建立直角坐標(biāo)系運用解析法實現(xiàn)證明,還可以通過先證明PD＝PA,再延長DP交BE于點M進(jìn)行證明(略).另外圖18其實給出了一個無字證明(Without wordproof).

圖18

由于圖17具有對稱性,內(nèi)含極其豐富的性質(zhì),深受廣大幾何愛好者和命題專家的青睞,如下面例1.

圖19

例1 (全國初中競賽試題)在△ABC中,AB＝AC,AB⊥AC,D為AC中點,AE⊥BD交BC于E,交BD于H,求證:∠ADB＝∠CDE.

圖20

本題證法多樣,圖形簡潔,性質(zhì)豐富.

本人結(jié)合自己的研究,根據(jù)此圖曾在一些初中教師群中提出:

定理4 如圖20,在△ABC中,AB＝AC,AB⊥AC.

①AD＝DC;②BE＝2EC;③AE⊥BD;④∠ADB＝∠CDE;⑤∠AEB＝∠CED;⑥∠BHC＝135°.

以其中任意兩個作為條件均可證明其余四個結(jié)論都正確!

本圖還有以下結(jié)論:

①∠DHC＝∠EHC;②∠ACH＝∠HBC;③∠BHC＝∠HAC;

④∠HBC＋∠HCB＝∠HAC＋∠HCA＝45°;

⑤△ABE∽△DCE;⑥△ACH∽△BHE;⑦BH∶HC＝

有興趣的讀者請自行研究,這也是初中平面幾何練習(xí)很好的素材.

2 關(guān)于黃金分割點作圖及圖形性質(zhì)研究

在本題中,其實給出了兩種關(guān)于黃金分割點的作圖:

方法一 (在直角邊為1∶2的直角三角形中的作圖)在直角△MBC中,MB∶BC＝1∶2,在MC上截取MG＝MB,則點G是線段MC的一個黃金分割點(如圖1所示),即CG2＝CM ·GM.

方法二 (依托正方形作圖,即本題第(1)問)在正方形ABCD中,取AB邊的中點M,連接MC,并在MC上截取MG＝MB,延長AG交邊BC于點E,則點E為線段BC的一個黃金分割點,即BE2＝BC·CE.

在幾何原本中還有一種作法,介紹如下:

圖21

方法三 在正方形ABCD中取邊AB的中點M,以M為圓心,MC為半徑做圓弧,交AB的延長線于E,以BE為邊作正方形BEFG(如圖21所示),點G在邊BC上,則點G為線段BC的一個黃金分割點,即BG2＝BC·CG.

圖22

其實,本題圖形就源于方法三的作圖,隱去輔助正方形,并以另一種方式呈現(xiàn)出來.上面的論述也證明了此作圖的正確性.

圖23

最近流行的折紙幾何中也給出了另一種黃金分割點的給出方式:

圖24

方法四 將正方形ABCD對折,得到折痕EF,再次對折,得到折痕AF,鋪平后折疊,使得點B落在折痕AF上(如圖22),得到折痕AG(點G在BC上),則點G為線段BC的一個黃金分割點,即BG2＝BC·CG.(延長AF交BC延長線于M,利用AG平分∠FAB即可證明).

關(guān)于黃金分割點的產(chǎn)生有多種方式,如利用黃金矩形、黃金三角形等等都可以,在各種教材及各級考試中都有見到,在此不再整理,請各位同仁見諒!

3 問題延伸

從兩個角度進(jìn)行延伸:

3.1 正方形中BE∶EC與AM∶MB的數(shù)量關(guān)系研究

如圖23,M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(與A、B不重合),以AB為直徑的圓交CM于點G,AG、BG交BC、CD于E、F,若＝k,求的值.

延長AE、DC交于點N,不妨假設(shè)MB＝1,則AM＝k,AB＝BC＝k＋1,且設(shè)所求,則

當(dāng)M為AB中點即k＝1時,是上述問題的特例.

3.2 將正方形一般化為矩形

如圖24,M為長方形ABCD的邊AB的中點,以AB為直徑的圓交CM于點G,AG、BG交 BC、CD于E、F,則

證明比較簡單,不再贅述!

4 教學(xué)啟示

4.1 立足《課程課標(biāo)》,重視挖掘教材,在教材中尋找教學(xué)素材和教學(xué)的衍生問題

教材是為了實現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求編寫的,為“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)”,是“實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源”.

應(yīng)該說,目前各版本的數(shù)學(xué)教材質(zhì)量均是上乘的,內(nèi)容清晰準(zhǔn)確,素材豐富多樣,過程符合教學(xué)需求,情景提供比較恰當(dāng),問題探究、例題示范、變式思考、練習(xí)反饋、課外延伸等欄目豐富.

教材中的例題、習(xí)題,以及公式、定理,其實都可以適度“變臉”或深度“改造”,甚至還可以進(jìn)一步探究,其蘊含內(nèi)容往往深刻而豐富.教學(xué)時,老師們要養(yǎng)成根據(jù)教學(xué)需要,不斷從學(xué)生認(rèn)知角度出發(fā),挖掘服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)、有利于目標(biāo)達(dá)成、立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)素材,尤其是學(xué)生的反饋練習(xí)選擇,不必完全照抄教輔資料上自認(rèn)為很好的習(xí)題而忽視教材中的例習(xí)題.應(yīng)該說,教材上的習(xí)題能很好地承接相關(guān)概念和典型例題,難度適宜,目的明確,寓意深刻,他們才是踐行《課程標(biāo)準(zhǔn)》的真正意義上的好題.

近幾年安徽都是以幾何綜合問題壓軸,對廣大考生和一線教師提出了挑戰(zhàn).但有趣的是,近幾年壓軸題都源于教材,高于教材,不僅給教學(xué)提供了豐富的教學(xué)素材,也指引我們一線教師如何跳出題海.在教材中多角度、多維度挖掘,立足基本圖形的性質(zhì)研究,揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系,對經(jīng)典數(shù)學(xué)名題深入思考,精心捕捉教材中的經(jīng)典圖形,對其衍生問題進(jìn)行整合,抓核心素養(yǎng),真正落實能力培養(yǎng)目標(biāo).

因此,讀懂教材是教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點,吃透教材是有效教學(xué)的支撐點,深入挖掘教材是保證教學(xué)的根本.日常教學(xué)不能舍本逐末,應(yīng)該充分領(lǐng)會教材意圖、深度研究整合教材素材,創(chuàng)造性地使用教材.

4.2 關(guān)注數(shù)學(xué)文化,傳播數(shù)學(xué)之美,在經(jīng)典中落實立德樹人和核心素養(yǎng)目標(biāo)

2014年4月,教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》,如何體現(xiàn)國家關(guān)于立德樹人的要求,不僅在教材編寫上做出積極探索,也在各級命題中做出有益嘗試.

近幾年,安徽初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)命題在這方面進(jìn)行了有益的探索和嘗試,如2016年第10題“布洛卡點”弱化在直角三角形中,第22題“阿基米德窮竭法”的再現(xiàn),第23題“費馬點”構(gòu)圖在問題解決中應(yīng)用等.

今年安徽初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題的命制延續(xù)了這種風(fēng)格,本題就是一個典型代表,將“弦圖”、“古埃及三角形”、“黃金分割”等融為一體.在數(shù)學(xué)史上,“黃金分割”與“勾股定理”被稱為“幾何雙寶”,黃金分割這個數(shù)字一直被后人奉為科學(xué)和美學(xué)的金科玉律.本題的出現(xiàn)也為廣大一線教師研究黃金分割提供了新的素材,也彰顯了命題專家對數(shù)學(xué)文化的傳承以及數(shù)學(xué)美學(xué)教育的關(guān)心.

無獨有偶,今年安徽卷第16題選自中國古代《九章算術(shù)》的“盈不足”問題也備受矚目,在弘揚中國傳統(tǒng)文化做了有益嘗試,也與全國高考命題思想達(dá)成一致.

為此,我們一線教師應(yīng)在日常教學(xué)素材的選取上,挖掘教材時還應(yīng)在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中尋求為人類文化發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)名題,致敬經(jīng)典,研究基本圖,以此提高教學(xué)效果,提升教學(xué)品味,規(guī)避題海戰(zhàn)術(shù),將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實在數(shù)學(xué)文化中,根植于歷史命題中.

4.3 注重問題意識,著力問題聯(lián)系,著力在幾何教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究的基本過程

從近幾年安徽初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷來看,試卷的第10題(選擇題壓軸題)、第14題(填空題壓軸題)、第23題(解答題壓軸題)基本都是以平面幾何為命題點,可見命題老師對初中平面幾何的教學(xué)現(xiàn)狀有一定的思考.

實事求是的講,作為邏輯推理能力培養(yǎng)的重要支柱——平面幾何,在現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革中是被弱化的,從中考閱卷以及高中老師的反饋以及部分高校研究人員的研究中都對這種現(xiàn)象提出了質(zhì)疑.如何在有限的平面幾何教學(xué)內(nèi)容和課時中保證數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo),幫助初中學(xué)生能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供保障也就成為我們初中數(shù)學(xué)教師不可回避的課題,今年的安徽命題老師在這方面也做了積極回應(yīng):

從問題呈現(xiàn)上看,解答題第20題、第23題都是平面幾何試題,問題的呈現(xiàn)極其嚴(yán)謹(jǐn)講究:嚴(yán)格按照題目條件就可以做出相應(yīng)幾何圖形,為研究試題提供保證,兩道試題都與命題的逆命題有關(guān):第20題回答了“一組對邊相等、一組對角相等得四邊形是不是平行四邊形”,并給出一種可能的反例構(gòu)圖方式,事實上是從性質(zhì)走向判定經(jīng)常需要研究的話題;第23題(1)、(2)兩問有著內(nèi)在互逆的成分,聯(lián)系2013年安徽第23題,反思教材關(guān)于數(shù)學(xué)研究對象的研究過程,都在不同程度展示了數(shù)學(xué)研究的基本過程:確定(認(rèn)識)研究對象——研究對象性質(zhì)——研究對象的判定(或運用性質(zhì)解決問題),這些嘗試或許透漏著命題老師對教學(xué)的思考、對數(shù)學(xué)研究的思考,更是對我們一線教師提出了一些希望!

總之,2017年安徽第23題是一道圖形簡潔、立意高妙、內(nèi)涵豐富、梯度合適、難度貼切的一道經(jīng)典試題.限于個人水平,掛一漏萬,期待同仁批評指正!

2017-07-06)

本文系廣東省教育科學(xué)“十三五”課題(課題批準(zhǔn)號:2017YQJK134)《運用“問題串”開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐研究》的研究成果.