湖南省會同縣第一中學(xué) 于先金 黃為公 (郵編:418300)

一個(gè)經(jīng)典不等式的證法探究

湖南省會同縣第一中學(xué) 于先金 黃為公 (郵編:418300)

已知a、b、c＞0,那么a3＋b3＋c3≥3abc①

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí),等號成立.

這是人教版選修4－5《不等式選講》第8頁中的一個(gè)經(jīng)典不等式,教材中所給出的證明是比差法,即作差——變形——定號.但為了達(dá)到定號的目的而進(jìn)行因式分解時(shí),在恒等變形過程中用到了公式(x＋y)3＝x3＋3x2y＋3xy2＋y3與x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2),并且把a(bǔ)2＋b2＋c2－ab－bc－ca配湊成了三個(gè)平方和整個(gè)證明過程確實(shí)難度大,技巧要求高,學(xué)生不易成功.筆者通過探究和教學(xué)實(shí)踐,得到了一些思路自然.學(xué)生易于接受的證法,供參考.

為便于比較,現(xiàn)將教材中的證明作為證法1抄錄如下:

證法1 作差比較,恒等變形

因?yàn)閍3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)(a2＋＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0,

所以a3＋b3＋c3≥3abc.

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí),等號成立(等號成立的條件以下略).對不等式①的證明,關(guān)鍵是應(yīng)該以二元均值不等式(a、b＞0)為基礎(chǔ),所以現(xiàn)在面臨以下三個(gè)問題:第一,把三元轉(zhuǎn)化為二元,所以需添加一項(xiàng);第二,添加怎樣一項(xiàng)?根據(jù)不等式①的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),首先考慮的應(yīng)為ka3、kb3、kc3、kabc(k∈N?);第三,由不等式取等號時(shí)各項(xiàng)相等,因此所添項(xiàng)系數(shù)必須為1.經(jīng)驗(yàn)證,添加a3、b3、c3都不行,而添加abc后,用兩次二元均值不等式,正數(shù)abc的系數(shù)為4,移項(xiàng)后就是要證的不等式①.這樣,因?yàn)樘砑右豁?xiàng)abc,使不等式①的證明變得出乎意料的簡單.

證法2 添加一項(xiàng),奇異突變

因?yàn)閍3＋b3＋c3＋abc≥2＋4abc,所以a3＋b3＋c3≥3abc.

教材第21頁用作差法很容易證明了這樣一個(gè)例題:已知a、b、c都是正數(shù),且a≠b,求證

a3＋b3＞a2b＋ab2②

于是,我們自然會考慮是否能用不等式②來證明不等式①,事實(shí)上是可行的,而且很簡單.

證法3 應(yīng)用例題,精彩紛呈

因?yàn)閍3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)－(ab2－b3)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0,所以a3＋b3≥a2b＋ab2.

同理b3＋c3≥b2c＋bc2,c3＋a3≥c2a＋ca2.

三個(gè)不等式相加得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ac＋c·2ab＝6abc,

所以a3＋b3＋c3≥3abc.證法4 作差比較,均值放縮因?yàn)?a3＋b3＋c3－3abc＝a(a2－bc)＋2b3＋2c3－ab2－ac2－ba2－bc2－ca2－cb2),以下同證法3.

證法5 二元入手,展開成功

因?yàn)?a2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc,c2＋a2≥2ca,三個(gè)不等式相加并除以2得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③

因?yàn)閍、b、c＞0,所以a＋b＋c＞0,不等式③兩邊同乘以a＋b＋c得

(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca).

兩邊展開并整理即可得

《中國造紙學(xué)報(bào)》是由中國造紙學(xué)會主辦、中國制漿造紙研究院承辦的造紙專業(yè)學(xué)術(shù)性期刊，創(chuàng)刊于1986年。主要刊登造紙專業(yè)研究論文、學(xué)術(shù)報(bào)告及綜合性學(xué)術(shù)評述，反映我國造紙工業(yè)在原材料、制漿、造紙、廢液綜合利用及污染防治、機(jī)械設(shè)備、分析檢驗(yàn)、工藝和質(zhì)量控制自動化以及制漿造紙專業(yè)基礎(chǔ)理論等方面的新進(jìn)展和新成果，是我國造紙工業(yè)理論性強(qiáng)、水平高的學(xué)術(shù)性期刊。它為我國造紙工業(yè)提供了一個(gè)極好的學(xué)術(shù)交流平臺，對國內(nèi)造紙工業(yè)的技術(shù)進(jìn)步做出了較大貢獻(xiàn)。本刊的固定欄目有：研究論文與綜述等。

a3＋b3＋c3≥3abc.

在證法1中,為何a3＋b3＋c3－3abc中含有a＋b＋c這一因子,如果從行列式的角度來看,一切都顯然了.

證法6 借行列式,一目了然

以下同證法1.

分析法是證明不等式的一種既自然又重要的方法,不等式①可否用分析法來證呢?

證法7 增量換元,柳暗花明

由對稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,令b＝a＋x, c＝a＋y,則x≥0,y≥0.

所以要證a3＋b3＋c3≥3abc,

只需證a3＋(a＋x)3＋(a＋y)3≥3a(a＋x)(a＋y),

因?yàn)閤3≥0,y3≥0,a＞0,x2＋y2≥xy,所以不等式④是成立的,故不等式①成立.

不等式①是一個(gè)左、右兩邊都關(guān)于a、b、c對稱的三元齊次不等式,由對稱性,若視其中一個(gè)字母(如a)為變量,另兩個(gè)字母(如b、c)視為常量,則可考慮函數(shù)f(a)＝a3＋b3＋c3－3abc,這樣將不等式①的證明轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)f(a)的最小值大于或等于零.

證法8 函數(shù)搭臺,導(dǎo)數(shù)唱戲

令函數(shù)f(a)＝a3＋b3＋c3－3abc,a∈(0,＋∞),其中b、c為常數(shù).由于f′(a)＝3a2－3bc＝3(a＋＝0,得舍去).所以當(dāng)時(shí),f′(a)＜0;當(dāng),＋∞)時(shí),f′(a)＞0,由函數(shù)的單調(diào)性可知,

故a3＋b3＋c3≥3abc.

證法9 構(gòu)造向量,耳目一新

兩邊平方并整理,得

不等式③兩邊同加上2(ab＋bc＋ca)并整理,得(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)⑥

由不等式⑤、⑥即得

a3＋b3＋c3≥3abc.

證法10 排序原理,神奇優(yōu)美

由對稱性,不妨設(shè)a≥b≥c,

所以a2≥b2≥c2,

由順序和大于或等于亂序和,得

a·a2＋b·b2＋c·c2≥a·b2＋b·c2＋c· a2,即

a3＋b3＋c3≥ab2＋bc2＋ca2⑦

又由a≥b≥c,得ab≥ac≥bc,

由亂序和大于或等于反序和,得

a·ac＋b·ba＋c·bc≥a·bc＋b·ac＋c· ab,即a2c＋b2a＋c2b≥3abc⑧

由不等式⑦、⑧即得

a3＋b3＋c3≥3abc.

下面證法11、12,新穎、神奇、簡單,都是通過巧妙構(gòu)造,并多次運(yùn)用二元均值不等式給出不等式①的證明,雖然不易想到,出乎意料,但又在情理之中.

證法11 整體換元,巧妙構(gòu)造

令M＝a3＋b3＋c3＞0,所以兩邊四次方并整理可得M3≥(3abc)3,即M≥3abc,所以a3＋b3＋c3≥3abc.

證法12 均值換元,馬到成功

8A＝a3＋b3＋c3＋5A＝(a3＋A)＋(b3＋A)＋(c3＋A)＋2A≥2＋2＋2A≥4≥,即A≥≥(abc)3A5,即A3≥(abc)3,A≥abc.

故a3＋b3＋c3≥3abc.

不等式①簡潔明了、結(jié)構(gòu)和諧、對稱優(yōu)美,如何使對不等式①的證明來得自然,學(xué)生易于接受,是一個(gè)值得認(rèn)真思考的問題.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,應(yīng)注重結(jié)論的推導(dǎo)(即證明),切莫囫圇吞棗,直接給出結(jié)論,然后布置大量習(xí)題,把學(xué)生趕進(jìn)題海,將學(xué)生變成做題的機(jī)器;應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想發(fā)現(xiàn)較自然的解法的良機(jī),為學(xué)生提供自主探究、合作交流、觀察發(fā)現(xiàn)、拓展智力、形成數(shù)學(xué)能力的機(jī)會,這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界.

2017-05-16)