河北昌黎第一中學(xué) 田衛(wèi)東 (郵編:066600)

一道三角形最值問(wèn)題的解法賞析和思考

河北昌黎第一中學(xué) 田衛(wèi)東 (郵編:066600)

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5》(人教社A版)第一章中明確指出:一般地,把三角形的三個(gè)內(nèi)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.解三角形問(wèn)題一般分為兩類.第一類,求三角形的邊長(zhǎng)或內(nèi)角的大小;第二類,求三角形的邊長(zhǎng)或內(nèi)角的取值范圍(包括最值),一般第二類問(wèn)題難度往往更大些.2017年第二次模擬考試中就出現(xiàn)了這樣一道題,下面將此題及其解答過(guò)程與各位讀者分享一下,希望在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)大家有所啟示.

1 試題呈現(xiàn)與簡(jiǎn)要分析

圖1

這是2017年河北省唐山市第二次模擬考試第16題,也是填空題的壓軸題,本題主要考查在三角形中運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化及三角函數(shù)的有關(guān)公式的運(yùn)用,利用求函數(shù)最值的各種方法求解三角形邊長(zhǎng)的最大值,同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算求解、邏輯推理能力,數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.試題言簡(jiǎn)意賅,內(nèi)涵豐富,對(duì)學(xué)生能力要求較高,有較大的難度,是一道值得研究的優(yōu)秀模擬試題.從學(xué)生答題結(jié)果看,正確率僅為2%左右,根據(jù)學(xué)生考后反饋情況,一部分同學(xué)沒(méi)有思路,放棄作答,大部分學(xué)生運(yùn)用正、余弦定理做到一半時(shí),無(wú)法繼續(xù)求解,然后考慮特殊三角形,即△ABC為正三角形時(shí),得到的錯(cuò)誤結(jié)果.另有極少數(shù)學(xué)生考慮到借助三角形的外接圓,運(yùn)用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問(wèn)題,只可惜計(jì)算有誤,著實(shí)令人可惜.下面,我們從不同的角度對(duì)此題進(jìn)行分析和求解.

2 思路分析及解法點(diǎn)評(píng)

2.1 “兩個(gè)定理”相得益彰 “三角函數(shù)”水到渠成

思路1 欲求三角形邊長(zhǎng)的最值,可以考慮用正、余弦定理將邊長(zhǎng)用某個(gè)內(nèi)角的正弦或余弦值表示,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題.為此,要選擇一個(gè)角作為變量.

為說(shuō)明問(wèn)題方便,令A(yù)D＝t,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.

解 如圖1,在△ACD中,由余弦定理得

將②代入①得

整理得t2＝4＋23sin2C,顯然當(dāng)sin2C＝1,即時(shí),t2的最大值為,所以AD的最大值是

點(diǎn)評(píng) 在三角形中將邊長(zhǎng)用角的正、余弦表示,應(yīng)屬通性通法,這種方法的特點(diǎn)是將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運(yùn)算,減少了思維量,降低問(wèn)題的求解難度,是解題者比較喜歡的方式之一.題中所給的,BC＝3為對(duì)角和對(duì)邊的關(guān)系,為進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化提供了有力保障.此方法的難點(diǎn)在于③式的化簡(jiǎn)需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力,稍有不慎,便會(huì)前功盡棄,所以此解法對(duì)學(xué)生的三角函數(shù)運(yùn)算能力往往有比較高的要求.

2.2 “余弦定理”一枝獨(dú)秀 “三角換元”助力求解

思路2 可借助∠ADB與∠ADC互補(bǔ),在△ABD和△ACD中分別運(yùn)用余弦定理建立邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,將b2－bc＋c2＝9進(jìn)行配方處理,借助圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元,從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問(wèn)題.

解 如圖1,在△ABC中,由余弦定理得

同理,在△ABD中,得c2＝t2＋4－4tcos∠ADB②

在△ACD中,得

由②③得3t2＝2b2＋c2－6④

由b2－bc＋c2＝9可得

則3t2＝2b2＋c2－6＝212sin2θ－612,當(dāng)sin2θ＝1時(shí),等號(hào)成立,所以即AD的最大值是3＋1.

點(diǎn)評(píng) 雖然此解法最終也是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解,但它與思路1相比,存在明顯不同.首先,本解法在三個(gè)三角形中分別利用余弦定理得到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,而思路1則是通過(guò)正弦定理和余弦定理直接得到了三角函數(shù)關(guān)系式;其次,本解法的難點(diǎn)也是亮點(diǎn)在于對(duì)b2－bc＋c2＝9進(jìn)行配方換元,它不同于普通的三角換元,讀者可以仔細(xì)加以比較,這種變形技巧在求解二元函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)比較常見(jiàn).

2.3 “平面向量”當(dāng)仁不讓“均值定理”彰顯威力

在△ABC中,由余弦定理得b2－bc＋c2＝9

點(diǎn)評(píng) 向量,是溝通代數(shù)與幾何的橋梁,其中以數(shù)量積公式最為重要,平面向量的數(shù)量積公式包含了長(zhǎng)度和角度的運(yùn)算關(guān)系,在三角形中,經(jīng)常會(huì)運(yùn)用數(shù)量積公式進(jìn)行邊角之間的相互表示,題中D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)是聯(lián)想到用向量求解的重要條件.本解法的另一個(gè)難點(diǎn)在于等式b2－bc＋c2＝9,常規(guī)想法是一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示,將t2轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)變量的函數(shù)式,顯然運(yùn)算量較大,考場(chǎng)上不宜實(shí)施.將①、②相結(jié)合,考慮到“齊二次”的結(jié)構(gòu),令,使得t2成為u的函數(shù)值,是本解法最大的亮點(diǎn),這種替換在求解二元函數(shù)最值時(shí)經(jīng)常用到,但需要存在“齊次”結(jié)構(gòu)這樣的特殊條件.若令v＝u＋1,運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)運(yùn)算量會(huì)更小些.

2.4 “解析幾何”錦上添花 “參數(shù)方程”化難為易

容易聯(lián)想到△ABC的外接圓,即BC為圓的一條定弦,點(diǎn)A是該圓一段優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn).為此,可建立平面直角坐標(biāo)系,求得外接圓方程后,再利用它的參數(shù)方程可建立t2的三角函數(shù)關(guān)系式,從而問(wèn)題可解.

圖2

如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則☉O的方程為x2＋y2＝3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為,D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn),且BC3,所以＝

點(diǎn)評(píng) 解三角形問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)將已知一邊的長(zhǎng)度及其對(duì)角大小作為條件,若與正弦定理結(jié)合,很容易知道該三角形與其外接圓之間的關(guān)系,并可求得外接圓半徑,點(diǎn)A在圓弧上運(yùn)動(dòng)為圓的參數(shù)方程的使用創(chuàng)造了條件.經(jīng)了解,在本次考試中有幾個(gè)同學(xué)正是利用了這種辦法成功地破解此題,展示了較高的思維水平和解題能力.毋庸置疑,解析法在求解三角形問(wèn)題中應(yīng)該占有一席之地,在平時(shí)的訓(xùn)練考試中,應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力.

2.5 “平面幾何”揭示本質(zhì) “三點(diǎn)共線”方得始終

圖3

思路5 見(jiàn)圖3,由于點(diǎn)D是定點(diǎn),而點(diǎn)A在圓周上運(yùn)動(dòng),可以多畫(huà)幾條線段,得到不同長(zhǎng)度的“AD”,直覺(jué)告訴我們,當(dāng)AD經(jīng)過(guò)圓心時(shí),AD或許最長(zhǎng),于是“兩邊之和大于第三邊”便成為此猜想正確的堅(jiān)實(shí)后盾.

解 如圖3,由思路4可知,點(diǎn)A在☉O的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng),由正弦定理計(jì)算出AO＝R＝3,由勾股定理可得＝1,顯然＋1,所以當(dāng)A、O、D三點(diǎn)共線,即圖中A與A′重合時(shí),AD取得最大值

點(diǎn)評(píng) 這“神來(lái)之筆”的解法令人嘆為觀止,可謂巧妙至極.原來(lái),這題的“老巢”在這里,既然如此,D點(diǎn)可以為四等分點(diǎn)、五等分點(diǎn)……所以,若將條件改為依思路5,問(wèn)題照樣輕松求解,所以點(diǎn)D的位置并不是最重要的,關(guān)鍵在于A、O、D共線會(huì)使得AD取得最大值.由此,只從單純的解題角度來(lái)說(shuō),學(xué)生掌握一定的平面幾何技能是非常有必要的,若從培養(yǎng)人的角度來(lái)說(shuō),向量的引入,本來(lái)就已經(jīng)淡化了學(xué)生邏輯推理和空間想象能力的培養(yǎng),而2017年考綱又刪掉了選修4－1平面幾何選講的內(nèi)容,這對(duì)于學(xué)生上述能力的培養(yǎng)來(lái)講是否也算得上一個(gè)小小的損失呢?

圖4

3 一點(diǎn)思考和感悟

從整個(gè)分析及求解過(guò)程看,涉及到了解三角形的有關(guān)定理、三角函數(shù)公式、均值不等式、圓的方程及其參數(shù)方程、平面幾何知識(shí)等知識(shí)運(yùn)用,不僅體現(xiàn)了各種數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,也體現(xiàn)了配方法、換元法、構(gòu)造法、解析法及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)方法、思想的運(yùn)用和滲透,雖然是一道模擬試題,但如果在試卷講評(píng)時(shí)處理得當(dāng),它的作用和價(jià)值會(huì)體現(xiàn)得更有意義,對(duì)于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)、靈活解題能力的加強(qiáng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高會(huì)起到非常大的作用.當(dāng)下,各種教輔資料鋪天蓋地,數(shù)學(xué)題目五花八門,多做題、多刷題依舊充斥著整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程,學(xué)生和老師往往會(huì)陷入題目的泥塘之中不能自拔.因此,怎樣解題,解什么樣的題,其實(shí)應(yīng)該成為教師認(rèn)真思考的主要問(wèn)題.眾所周知,在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,知識(shí)是基礎(chǔ),方法是關(guān)鍵,能力是核心.高三的復(fù)習(xí)就必須在課堂教學(xué)中以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為主陣地,應(yīng)該讓每一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)試題發(fā)揮其最大的價(jià)值,讓每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都滲透著重要的數(shù)學(xué)思想方法,只有對(duì)典型問(wèn)題多分析、多總結(jié)解題規(guī)律,做到一題多解、多題一解、一題多變,甚至要做到自己動(dòng)手編題,才能體現(xiàn)出高效的學(xué)習(xí)效率和生活的意義.

在此并不否認(rèn)做題的重要性,但堅(jiān)決反對(duì)通過(guò)大量做題作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法,多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們,作為學(xué)生,當(dāng)他們考入了大學(xué),乃至參加工作后,回憶起高中最難忘的事情時(shí),沒(méi)有任何一位同學(xué)會(huì)想起有哪些數(shù)學(xué)題目讓他記憶猶新,但是他們往往會(huì)記得老師教給他們?yōu)槿说牡览?做事的方法.愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“所謂的教育,就是把在學(xué)校學(xué)到的知識(shí)忘掉,剩下的那部分才是教育”.數(shù)學(xué)教育作為教育的組成部分,在發(fā)展和完善人類的教育活動(dòng)中、在形成人們認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用.而數(shù)學(xué)學(xué)科在形成人類理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用.它是讓學(xué)生學(xué)會(huì)終身發(fā)展、終身學(xué)習(xí)的重要學(xué)科,它的抽象,會(huì)讓我們提高理解能力,它的嚴(yán)謹(jǐn),會(huì)讓我們做事情滴水不漏,細(xì)致入微,它的解法多樣,會(huì)讓我們從多個(gè)角度審視問(wèn)題,理解人生和社會(huì),數(shù)學(xué)的魅力,大概就在于此.

2017-06-08)