福建省古田縣第一中學 蘭詩全 (郵編:352200)

變式視角 例談“任意”

福建省古田縣第一中學 蘭詩全 (郵編:352200)

高中數(shù)學中的“任意”一詞在函數(shù)解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等問題中常見常用,變式多樣,豐富多彩,內(nèi)含深刻.由于許多同學在數(shù)學解題中對“任意”一詞理解不深,掌握不透,應用不活,從而嚴重影響解題思路與正確率.本文結(jié)合例子,從變式出發(fā),多視角例談數(shù)學中“任意”一詞廣泛而靈活的應用.

1 因為“任意”所以可以取“特殊”

例1 已知數(shù)列{an}中,對任意m、n∈都有,若,求a.4

解 由已知在am·an＝am＋n中,因為對任意m、n∈N＋都成立,所以可取特殊值m＝1,n＝1.

例2 證明:函數(shù)f(x)＝sinx2不是周期函數(shù).

證明 假設函數(shù)f(x)＝sinx2是周期函數(shù), T是它的一個正周期.

即對任意x∈R,都有

所以當x＝0時,sinT2＝0,得T2＝kπ,T＝kπ(k∈N＋),代入①式,得

因此f(x)＝sinx2不是周期函數(shù).

反思 “任意”一詞含有所有、一切的意思,具有一般性.在一般情況下都成立,那么在特殊(含在一般中)情況下也一定成立.這就極大方便于解題,只要有利于解題的特殊值都可以取,以上二例說明取什么特殊值這往往還很靈活,要有解題思維的全面性、前瞻性、邏輯性、嚴密性,方能取到有利于解題的特殊值.

2 因為“任意”所以圖象有“對稱”

例3 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x都有f(3＋x)＝f(3－x),如果方程f(x)＝0恰有6個不同的實數(shù)根,求這些實數(shù)根之和.

解 因為函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x都有f(3＋x)＝f(3－x),所以函數(shù)f(x)的圖象是關于直線x＝3對稱的,因而每兩個關于直線x＝3對稱的根的和為6,于是這6個根的和為3×6＝18.

例4 證明:若函數(shù)y＝f(x)在R上的圖象關于點A(a,y0)和直線x＝b(b＞a)皆對稱,則函數(shù)f(x)是R上的周期函數(shù).

證明 已知函數(shù)y＝f(x)在R上的圖象關于點A(a,y0)和直線x＝b(b＞a)皆對稱,所以對任意x∈R,有

因為對任意x∈R,③,④都成立,所以可用R上的任何值替代x,反復利用③,④可得f[x＋4(b－a)]＝f[b＋(x＋3b－4a)]

＝f[b－(x＋3b－4a)]

＝f[a＋(3a－2b－x)]

＝2y0－f[a－(3a－2b－x)]

＝2y0－f[b＋(b－2a＋x)]

＝2y0－f[b－(b－2a＋x)]

＝2y0－f[a＋(a－x)]

＝2y0－2y0＋f[a－(a－x)]

＝f(x).

即f[x＋4(b－a)]＝f(x),對任意x∈R恒成立.

所以4(b－a)是函數(shù)f(x)在R上的一個周期,即f(x)是周期函數(shù).

反思:(1)若對?x∈R,都有f(x＋a)＝ f(b－x),則函數(shù)f(x)圖象關于直線對稱,反之也成立.

(2)若對?x∈R,都有f(x＋a)＋f(bx)＝2c,則函數(shù)f(x)圖象關于點對稱,反之也成立.

以上二點在解題中要靈活應用.其實,函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性有其內(nèi)在的聯(lián)系,往往與“任意”一詞密切相關.可以說,函數(shù)學習深不深透不透,很關鍵一點取決于對“任意”一詞的理解與應用程度如何.

3 因為“任意”所以恒成立

x,試求出f(x)值域以外的唯一實數(shù).

又f(19)＝19,f(97)＝97,即19,97是方程的兩個根,

所以19,97是方程cx2＋(d－a)x－b＝0的兩個根,故由韋達定理得,且1843.又由上d＝－a,得a＝58c,b＝－1843c,d＝－58c.

于是f(x)取不到58這個數(shù),即58是f(x)值域外的唯一數(shù).

(1)求實數(shù)a的值所組成的集合A,

解 (1)過程略,結(jié)果A＝{a－1≤a≤1};

x1＋x2＝a,x1x2＝－2,所以x1－x2＝

因為a∈[－1,1],所以x1－x2＝

由于不等式m2＋tm＋1≥x1－x2對任意a∈A及t∈[－1,1]恒成立.

所以m2＋tm＋1≥x1－x2max,即m2＋tm＋1≥3恒成立.

記g(t)＝mt＋m2－2,則有g(t)≥0對任意t∈[－1,1]恒成立.

所以m≥2或m≤－2.

所以存在實數(shù)m,使得不等式m2＋tm＋1≥x1－x2,對任意a∈A及t∈[－1,1]恒成立,其取值范圍是{m m≥2或m≤－2}.

反思 (1)例5中,對于任意實數(shù)x,均有f[f(x)]＝x,即(a＋d)cx2＋(d2－a2)x－b(a＋d)＝0對任意恒成立,

(2)“任意”常與“恒”“都”“一切”“所有”等聯(lián)系在一起,解題中要善于等價轉(zhuǎn)化,如例6,請讀者深刻領會,靈活解題.

4 因為“任意”所以可代換

解 因為函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的一切實數(shù)x都有

例8 證明:任何定義域關于原點對稱的函數(shù)都可以表示為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和.

證明 設定義域關于原點對稱的函數(shù)為f(x),則f(x)與f(－x)(x∈D)同時有意義.

設存在一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x),使

則f(－x)＝g(－x)＋h(－x),即

例9 已知f(x)是定義在R上的函數(shù), f(1)＝1,且對任意x∈R,都有f(x＋5)≥ f(x)＋5,f(x＋1)≤f(x)＋1.若g(x)＝f(x)＋1－x,求g(2002)的值.

解 由已知

g(x＋5)＝f(x＋5)＋1－(5＋x)＝f(x＋5)－4－x≥f(x)＋5－4－x＝f(x)＋1－x＝g(x),

g(x＋1)＝f(x＋1)＋1－(x＋1)≤f(x)＋1－x＝g(x),

所以g(x)≤g(x＋5)≤g(x＋4)≤g(x＋3)≤g(x＋2)≤g(x＋1),

即g(x＋1)＝g(x)對任意x∈R都成立.

所以g(x)是周期為1的周期函數(shù).

即g(2002)＝g(1)＝1.

反思 在實際教學中發(fā)現(xiàn)很多同學無法理解以上數(shù)例,追根溯源在于沒有正確理解并應用好“任意”二字.既然函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x都有

下面再給出如下二個經(jīng)典練習:

1.定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x、y∈R,滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且當x＞0時,f(x)＜0.

(1)證明:f(0)＝0,

(2)證明:f(x)為奇函數(shù),

(3)證明:f(x)為(－∞,＋∞)上的單調(diào)減函數(shù).

2017-06-16)