安徽省合肥市第三十二中學 李啟梅 (郵編:230051)

稚化思維促進數(shù)學課堂的兩種生長
——一次同課異構(gòu)課引發(fā)的反思

安徽省合肥市第三十二中學 李啟梅 (郵編:230051)

對華東師范大學李政濤教授報告《讓課堂散發(fā)生長的氣息》中提出的好課的最后一個標準,即“教學有無生長感”的觀點深有感觸,最近閱讀多篇有關稚化思維的文章.認為在稚化思維策略下的數(shù)學課堂應像著名特級教師薛法根所說:課堂,呈現(xiàn)的不僅僅是鮮花,還有花開的聲音,最美的聲音是學生生命里拔節(jié)的聲音.那么什么是稚化思維?

稚化思維,簡言之,就是教師有意識將自己的思維降到學生的思維水平,甚至更低,設身處地地揣摩學生的思維活動和學習過程,以與學生同樣的興趣、同樣的思維,通過共同探究力求達到與學生思維共振,共創(chuàng)教學和諧.它的作用在于:有利于降低學生的認知難度;有利于拉近師生情感距離;有利于引起師生思維共振.

下面運用稚化思維策略對一次區(qū)級范圍內(nèi)的同課異構(gòu)課進行改進,以和同仁共勉.

1 教學片段

兩位老師同上了一節(jié)人教A版必修5《3.4基本不等式》這節(jié)內(nèi)容,下面節(jié)選兩節(jié)課中基本不等式的引入和應用的課堂實錄.

實錄1

片段1 引入

師:(簡單介紹第24屆國際數(shù)學家大會的會標)你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎?

生:一片默然(問題指向不夠明確).

師:四個直角三角形面積相等,和大正方形面積相比,有a2＋b2≥2ab,(動畫展示中間小長方形逐步縮成一點),當a＝b時取等號.

師:這就是重要不等式:一般的,如果a、b∈R,則a2＋b2≥2ab.

學生上黑板板演證明過程,師生共同評講.

片段2 應用

師:下面我們來看基本不等式的簡單應用:例(1)用籬笆圍成一個面積100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短.最短的籬笆是多少?(2)用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形菜園的長和寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?

生:(大部分同學感覺不知從哪下手,教室里很安靜).

教師展示解答,快速講解.

實錄2

片段1 引入

師:(簡單介紹第24屆國際數(shù)學家大會的會標及數(shù)學的最高獎項－－菲爾茲獎)觀察圖1中的四個小直角三角形和大正方形面積的大小關系.

生:S正方形＞4S三角形.

師:再看圖2中圓的半弦CD和半徑的關系.

生:半弦CD小于半徑.

從而引入了重要不等式和基本不等式.

片段2 應用

例1 若a、b、c是互不相等的實數(shù),求證:a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.

學生不知從何做起.

例2 已知a、b、c∈R＋,且a＋b＋c＝1,求證

下課鈴聲響起,例2沒

有時間證明.

2 教學反思

圖1

圖2

兩位老師在處理教材上截然不同,教學風格也大相徑庭,給人留下了深刻的印象.表面上兩位老師課堂設計似乎沒有問題,特別是第二位老師處理得似乎很獨特,但從教材和學生兩方面深入思考,筆者認為:

第一位老師由會標圖形引出了重要不等式,由于圖形中a、b∈R＋,如何過渡a、b∈R?這是學生想知道的,這個條件不能硬塞給學生;同時為什么取等號也需要學生積極去建構(gòu),而不是老師一個動畫展示所能代替的.在例題的設計上,由于這是一個普通高中,應用題的解答對學生來說一直就是一個難點,因而可以先設計有一定坡度的引例作為鋪墊,再來解決實際問題,比較切合學生的認知.

第二位老師突出兩個不等式的幾何意義,對比教學,創(chuàng)意雖好,但割裂了重要不等式和基本不等式的關系,體現(xiàn)不到代數(shù)變換,也違背了教材編寫者的初衷,給學生感覺它們是相互獨立的,特別是例題的設計遠遠超出了學生的實際水平.

他們在備課時忽視了兩個問題:知識在課堂中如何自然生長和新知識在學生的認知結(jié)構(gòu)中怎樣新生長.課堂生長的前提,一是認真解讀課程標準和教材,二是基于學生立場,認真解讀學生.學生實際狀態(tài)應成為教育教學的起點和出發(fā)點,是教學目標制定的依據(jù).為此,教師可以退回到學生相仿的思維,接地氣地來熟讀教材,諳熟學情.

3 改進

稚化思維后的數(shù)學教學,應關注兩種“生長”,即知識自然展開的“自生長”和知識在學生認知中“新生長”.從數(shù)學角度看,它合乎數(shù)學知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)和發(fā)展規(guī)律;從學生角度來看,它合乎他們的認知規(guī)律和心理特征.因而教師備課時要研究這部分知識的邏輯關系和學生原有認知是什么.

(1)遵循邏輯關系,促進知識的自生長

數(shù)學知識之間有內(nèi)在的邏輯關系,這些關系對學生來說,都是陌生的.因而需要教師從學情出發(fā),貼近學生的認知,降低思維,在學生的最近發(fā)展區(qū)思考:如何將這些知識自然地展開?如何促進知識在學生原有知識基礎上生根發(fā)芽?

我們知道基本不等式的引入是建立在重要不等式的基礎上,而重要不等式的得出經(jīng)歷了圖形的直觀感知到數(shù)學的嚴格證明,在證明的過程中引導發(fā)現(xiàn)a、b的范圍,從而由正實數(shù)推廣到全體實數(shù).再用代數(shù)變換導出了基本不等式,由此可以作以下展開:

師:(簡單介紹第24屆國際數(shù)學家大會的會標及數(shù)學的最高獎項菲爾茲獎)觀察會標有哪些圖形構(gòu)成?若四個小直角三角形面積相等,那么四個直角三角形的面積和大正方形面積的大小關系如何呢?

生:正方形和直角三角形;S正方形＞4S三角形.

師:a2＋b2＞2ab,追問:a2＋b2能和2ab相等嗎?什么情況下相等?

讓學生觀察圖形直觀想象,由問題啟動思維,展開新知.

師:在學生初步形成結(jié)論后動畫展示,中間小正方形縮成一個點,此時a＝b.

此時學生完成了對重要不等式的直觀感知,而這種由特殊圖形得出結(jié)論還需理論上的證明和進一步的完善.

師:這里a、b∈R＋,這個結(jié)論可靠嗎?你打算怎樣證明?

生:作差比較.

師:你發(fā)現(xiàn)作差變形后竟是一個實數(shù)的平方,顯然大于等于0,既然這樣,對a、b∈R,結(jié)論還成立嗎?

生:當然成立(異口同聲).

師:顯然這里a、b為非負數(shù).

設計意圖:按照兩不等式的內(nèi)在邏輯關系,通過不斷地創(chuàng)設問題情境,搭建“腳手架”,降低認知難度,使得兩不等式的關系清晰,基本不等式自然生成.

(2)遵循認知特點,促進知識的新生長

在稚化思維下,要求教師把思維的觸角深入到學生的思維領地,進行發(fā)掘和研究,想學生所想,惑學生所惑.正如特級教師魏書生曾說過:“知識是生長出來的”.學生對新知識的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知識體系之中,在原有基礎上進行的老枝發(fā)新芽.學生在學習這部分知識前已學習:一個實數(shù)的平方大于等于0;不等式的性質(zhì);不等式的解法;線性規(guī)劃.在此基礎上對不等式作進一步研究,介紹利用基本不等式求一類函數(shù)的最值.

如果把學生認知中的不等式知識看作一根老枝的話,那么通過本節(jié)課的學習,它應經(jīng)歷了三次成長,首先是認識基本不等式的形式和特征;其次從數(shù)學角度對它進行第二次認識,理解一正和二定的含義;再次從數(shù)學應用的角度進行再認識,理解三相等以及積定和最小,和定積最大,體會基本不等式的作用.在知識的自然展開中,學生認識了基本不等式,通過三次成長,新知識在學生原有的知識上發(fā)芽.學生第一次接觸基本不等式,理解它已很困難,對于應用則是更高層次的要求.因而要增設一些坡度,通過適當?shù)淖兪?引起學生認知沖突,加深理解,逐步爬坡,最后學以致用.

師:是否還需作差比較?

生:不需要,用基本不等式.

師:基本不等式反映的是兩正實數(shù)和積之間的關系,兩正實數(shù)的積有定值嗎?

生:有,是2.

師:若x＜0呢?能用基本不等式嗎?為什么?(對a、b∈R＋再認識)

例2 (1)在學校操場邊,有一塊面積為100m2的荒地,為了美化校園環(huán)境,學校決定用籬笆圍起來,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短.最短的籬笆是多少?

(2)學校宿舍區(qū)有一段長為36m的籬笆,要圍成一個矩形花壇,問這個矩形的長、寬各為多少時,花壇的面積最大.最大面積是多少?

師:設長為x,寬為多少?最短籬笆長又為多少?

(到此學生在例1的基礎上,順勢而上,對基本不等式的認識進行了積極的同化)

師:在(2)中很容易得出花壇的面積S＝x (18－x),由x與18－x形成的積式,它們的和有定值嗎?

設計意圖:例1設計便于學生對基本不等式的應用條件、結(jié)構(gòu)特征的進一步理解,對用基本不等式求最值時的“一正”,“二定”的準確理解,為例2打下基礎.例2為“三相等”順利實行新知識的同化,促進知識的新生長.

稚化思維的設計遵循了知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu),知識發(fā)生、發(fā)展的歷程,及時掃清了學生認知的障礙,調(diào)動了學生情感的參與.有效地促進知識在課堂的“自生長”和知識在學生認知中“新生長”,以達到自然的教學,這正是我們每位老師追求的教學的至高藝術(shù)!

1 孫式武.課堂教學中師生思維同步的實現(xiàn)策略[J].教育理論與實踐,2013(8)

2 龔彥琴,李祎.芻議稚化思維的數(shù)學教學策略[J].數(shù)學通報,2013(10)

3 張建良等,稚化思維:內(nèi)涵理解與實踐探索[J].中學數(shù)學月刊,2015(11)

4 錢軍先.例談稚化思維的教學策略[J].中學數(shù)學教學參考,2016(1-2)

2017-05-25)