華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 王 樂(lè) 熊惠民 (郵編:430079)

去偽存真 再談《弧度制》教學(xué)

華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 王 樂(lè) 熊惠民 (郵編:430079)

弧度制,一直以來(lái)都被認(rèn)為是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn).其主要原因是對(duì)弧度制引入的必要性缺乏正確的理解.不少人認(rèn)為弧度制的引入使得角的集合與實(shí)數(shù)集合建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,從而將三角函數(shù)可以定義在實(shí)數(shù)集上.事實(shí)上,無(wú)論是弧度制還是角度制,都能在角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系(例如30°30′的角對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)30.5);也有人認(rèn)為角度制是60進(jìn)位制,弧度制是10進(jìn)位制,我們一般用的都是10進(jìn)制,所以要學(xué)弧度制.進(jìn)制是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法,對(duì)于任何一種n進(jìn)制,就表示某一位置上的數(shù)運(yùn)算時(shí)是逢n進(jìn)一位,對(duì)于角度制有1度等于60分,1分等于60秒,可以說(shuō)它是60進(jìn)位制,但弧度制只有弧度這一種單位,說(shuō)它是10進(jìn)位制是欠妥的.實(shí)際上,弧度制與角度制都是度量角的單位制,本質(zhì)上兩者是一樣的.正如度量長(zhǎng)度不僅有米、千米還有厘米、毫米甚至尺、公里等不同單位制;度量重量不僅有克、千克也有斤、公斤、噸、磅等.但是,在微積分創(chuàng)立之后弧度制的引入使得三角函數(shù)的微分公式、積分公式、泰勒公式等相比于普通角度制得到了極大的簡(jiǎn)化[1],這使得弧度制成為了高等數(shù)學(xué)的一個(gè)必然選擇,這也是弧度制引入的真正意義.然而對(duì)于高中生而言,弧度制的學(xué)習(xí)所帶來(lái)的便利又是顯而易見(jiàn)的.因此,明確弧度制引入的意義,理清角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化關(guān)系,掌握弧度制下弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算公式是本節(jié)課的重中之重.下面提供一個(gè)課例以期與讀者共同探討,在中學(xué)數(shù)學(xué)中怎樣教弧度制.

1 教學(xué)實(shí)錄

1.1 提出問(wèn)題

師:同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了哪些度量長(zhǎng)度的單位?

生:學(xué)習(xí)了千米、米、厘米、毫米、里、公里……

師:那我們還學(xué)習(xí)了哪些度量重量的單位呢?

生:有千克、克、噸、斤、公斤……

師:很好!我們看到度量長(zhǎng)度或重量有很多種單位,那么不同的度量單位之間有關(guān)系嗎?

生:有關(guān)系.它們之間可以互相換算.例如,1千米＝1000米＝1公里;1噸＝1000千克.

師:說(shuō)的很不錯(cuò)!正是因?yàn)檫@樣,在生活中我們會(huì)選擇不同的單位來(lái)度量同一事物.

1.2 探究新知

師:對(duì)于一個(gè)角,我們學(xué)過(guò)哪些度量單位呢?

生1:度(°)、分(′)、秒(″).

師:你還記得我們是如何用“度”來(lái)度量角的嗎?

生1:把一個(gè)周角規(guī)定為360度,它的1/360為1度的角,記做1°,1°＝60′,1′＝60″.

師:說(shuō)的很好!初中時(shí)候我們把用“度、分、秒”作為單位來(lái)度量角的制度叫做角度制.同樣的,角的度量也有不同的單位制.今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)一種新的度量角的單位制——弧度制,即把一個(gè)周角規(guī)定為2π弧度(記作2πrad),把用“弧度”作為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制.

師:請(qǐng)大家思考一下,角度制和弧度制之間有什么區(qū)別呢?

生:角度制是把一個(gè)周角規(guī)定為360°,弧度制是把一個(gè)周角規(guī)定為2πrad.

師:很好,這就是它們的差別,也就是說(shuō)360°可以用2πrad來(lái)表示,那么平角等于180°等于多少rad呢?

生2:180°＝πrad.

師:不錯(cuò),是πrad,那你是怎么得到的呢?

生2:因?yàn)橹芙蔷褪瞧浇堑膬杀?而周角是2πrad,所以180°＝πrad.

師:你們都同意他的看法嗎?

生3:我覺(jué)得角度制下周角是平角的兩倍,弧度制下不一定吧.

生4:角度換成弧度只是單位的換算,周角和平角之間的倍數(shù)關(guān)系應(yīng)該是不變的.

師:生3能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題很不錯(cuò).實(shí)際上這是由于角的可加性,兩個(gè)平角構(gòu)成一個(gè)周角.單位制的不同并不改變角的可加性,因此180°＝πrad是正確的.

生:根據(jù)上面的分析,兩個(gè)直角構(gòu)成一個(gè)平角,所以90°＝πrad.

2

師:完全正確.可以看到“度”與“弧度”可以進(jìn)行換算.但這些角都是特殊角,你會(huì)計(jì)算1°＝rad嗎?你是怎么算的呢?

生5:因?yàn)橹芙鞘?60°＝2πrad,左右兩邊同時(shí)除以360就得到rad,將右邊化簡(jiǎn)就得到rad.

師:非常好!我現(xiàn)在給你一個(gè)任意度的角,你知道它是多少弧度嗎?即若一個(gè)角為n°, αrad,那么n與α之間有什么樣的關(guān)系呢?

師:很好!根據(jù)上述公式,我們就可以對(duì)任意角進(jìn)行弧度與角度的換算.大家要注意,今后用弧度制表示角時(shí),“弧度”二字或者“rad”通常略去不寫,只寫該角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù).

例1 將下列角度制與弧度制互化:(略)

(1)75° (2)60°30′ (3)480°

例2 計(jì)算下列各式的值:(略)

1.3 拓展創(chuàng)新

師:初中的時(shí)候我們學(xué)習(xí)了弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式,大家還記得嗎?

生:半徑為r,圓心角為n°的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式分別是:

師:這是建立在角度制上的公式,現(xiàn)在你學(xué)習(xí)了弧度制,你能用弧度表示它們嗎?你準(zhǔn)備怎么做?

生8:上面的公式是角度制公式,現(xiàn)在要轉(zhuǎn)換成弧度制公式,只需要將角度n用弧度來(lái)表示就可以.

師:很好.這里的n表示的是角度,現(xiàn)在我們假設(shè)n°＝αrad,那公式變成什么了呢?

師:說(shuō)的很好!大家還有其它想法嗎?

生10:不用換算也可以,弧度制中的周角是2πrad.αrad的角占了周角的那么它所對(duì)的弧長(zhǎng)就是,其扇形的面積就是

師:很好!學(xué)以致用,學(xué)了弧度制就要用它,這樣不是更簡(jiǎn)單嘛.

師:之前我們將角推廣到了任意角,我們知道角有正角、負(fù)角和零角,通過(guò)角度與弧度的互化,我們也看到了弧度數(shù)也有正負(fù)之分,但是弧長(zhǎng)與扇形面積都是非負(fù)的,那我們是不是需要把原來(lái)的公式稍加改動(dòng)呢?

師:很好,這樣我們算弧長(zhǎng)和扇形面積就不會(huì)受到正負(fù)角的影響了.

生11:說(shuō)明弧度α就是弧長(zhǎng)l和半徑r之比.師:能不能說(shuō)的更通俗一點(diǎn)呢?

生12:說(shuō)明弧長(zhǎng)l等于半徑r的α倍.

師:很好!也就是說(shuō)弧長(zhǎng)l等于α個(gè)半徑r.由此我們可以看出弧度α就是用半徑r來(lái)度量弧長(zhǎng)l.例如,弧長(zhǎng)l等于2個(gè)半徑r,就說(shuō)弧度數(shù)為2,即這個(gè)角為2rad.那么α＝1說(shuō)明什么呢?有什么意義呢?

生13:弧度數(shù)α＝1,即弧長(zhǎng)等于一個(gè)半徑,也就是說(shuō)此時(shí)弧長(zhǎng)等于半徑.

師:很好!也就是說(shuō)1 rad的角就是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角.如圖,圓O的半徑是r,弧AB的長(zhǎng)等于半徑r,那么∠AOB就是1rad的角,這就是1rad的意義.

下面請(qǐng)大家看這道例題:

例3 分別用角度制、弧度制下的弧長(zhǎng)公式計(jì)算半徑為1m的圓中,60°的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度.(略)

師:到這里,本節(jié)課的主要內(nèi)容已經(jīng)說(shuō)完了.請(qǐng)大家思考一下,已經(jīng)有了角度制為什么還需要弧度制呢?

生14:弧度制不用寫單位,更加簡(jiǎn)單.

生15:采用弧度制,弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式簡(jiǎn)單多了,計(jì)算起來(lái)很方便.

師:說(shuō)得很好,這也正是引入弧度制的原因之一.當(dāng)然,弧度制的引入還有更大的作用,在以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時(shí)候大家就清楚了.

1.4 課堂小結(jié)

師:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲、體會(huì)和問(wèn)題?

學(xué)生積極參與討論,主要觀點(diǎn)如下:

(1)我知道了一種新的度量角的制度——弧度制,它和角度制都是度量角的單位制.

(2)我知道了角度制是把一個(gè)周角規(guī)定為360°,弧度制是把一個(gè)周角規(guī)定為2πrad.

(5)我還知道了1rad的意義(1rad的角就是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角).

師:大家總結(jié)的都很好,這節(jié)課要掌握的主要內(nèi)容有三個(gè):一是學(xué)習(xí)一種新的角的度量制度,即弧度制;二是會(huì)把任意角的角度與弧度進(jìn)行互化;三是掌握弧度制下弧長(zhǎng)與扇形面積的公式.至于弧度制在高等數(shù)學(xué)中究竟有哪些好處,大家課下可以查閱資料了解一下.

1.5 布置作業(yè)

書(shū)面作業(yè)(A類、B類):略.

思考題:略.

2 課例解析[2]

弧度制引入的主要原因是為了適應(yīng)微積分創(chuàng)立后科學(xué)計(jì)算上的需要,這是高等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題.而在中學(xué)數(shù)學(xué)中,學(xué)生更多的是要體驗(yàn)弧度制帶來(lái)的便利.正是對(duì)弧度制引入的理解偏差,大部分教師將弧度的概念定位為本節(jié)課的難點(diǎn),花大部分的時(shí)間苦苦尋求1弧度的定義,忽視了對(duì)于高中生而言弧度制學(xué)習(xí)的意義,使得一個(gè)不被學(xué)生認(rèn)為是難點(diǎn)的知識(shí)反而成為了教師公認(rèn)的難點(diǎn),弧度制成了“糊涂制”.

與教材的做法和一般教學(xué)設(shè)計(jì)不同,課例不是先學(xué)習(xí)1弧度的角后再定義弧度,而是先讓學(xué)生體會(huì)不同單位制的好處,順勢(shì)在復(fù)習(xí)角度制后直接提出弧度制的定義,有了弧度制的定義,學(xué)生自然會(huì)比較這兩種定義.從而過(guò)渡到探究弧度與角度的關(guān)系,然后再讓學(xué)生運(yùn)用弧度制,得到弧度制下的兩個(gè)新的計(jì)算弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式,最后再借助已得到的弧長(zhǎng)公式說(shuō)明了1弧度的意義.整個(gè)過(guò)程是建立在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生的思考是按照需要解決的問(wèn)題一步步進(jìn)行的,這對(duì)于學(xué)生而言是容易接受的.另外,需要學(xué)生掌握的知識(shí)也很自然的生成,教師只是穿針引線者.從學(xué)生對(duì)于本節(jié)課的收獲中可以看到,學(xué)生抓住了本節(jié)課的重點(diǎn)(一種新的角的度量制度即弧度制;角度與弧度進(jìn)行互化;弧度制下弧長(zhǎng)與扇形面積的公式),并沒(méi)有受一些細(xì)枝末節(jié)知識(shí)的干擾,這也恰好說(shuō)明了教學(xué)設(shè)計(jì)的成功.當(dāng)然,教無(wú)定法,在實(shí)際授課當(dāng)中難免遇到意想不到的情況,這也需要教師能夠居高臨下,在具體實(shí)施的時(shí)候,合理把控.

1 李忠.為什么要使用弧度制[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2009,48 (11):1-4

2 熊惠民.平面向量基本定理的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)通訊, 2012(7):15-18

2017-05-13)