□馬 玨

借游戲之“形” 蘊(yùn)思維之“神”
——“神秘的‘漢諾塔’游戲”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

□馬 玨

一、教學(xué)內(nèi)容及設(shè)計(jì)構(gòu)想

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)有一道思考題，內(nèi)容來源于著名的“漢諾塔”問題。漢諾塔（又稱河內(nèi)塔）問題源于印度一個(gè)古老傳說：在一座圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針，其中一根針上自下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個(gè)僧侶在按照下面的法則移動(dòng)這些金片：一次只移動(dòng)一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。根據(jù)預(yù)言，當(dāng)所有的金片都從一根針上移到另外一根針上時(shí)，世界就將毀滅。因此，能否依托豐富的背景資源，將一道題拓展成一節(jié)課，讓它承載更多的教育價(jià)值呢？我們將內(nèi)容進(jìn)行拓展延伸，設(shè)計(jì)了“神秘的‘漢諾塔’游戲”一課，借助游戲的形式，不僅僅是解決問題，更重要的是讓學(xué)生在實(shí)踐操作中感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和解決問題策略，獲得積極的情感體驗(yàn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.在游戲過程中，通過動(dòng)手操作，自主探索，體驗(yàn)“化繁為簡(jiǎn)找規(guī)律”解決數(shù)學(xué)問題的基本策略。

2.經(jīng)歷收集有用信息、進(jìn)行歸納、類比與猜測(cè)、再驗(yàn)證猜測(cè)這一系列數(shù)學(xué)思維過程，發(fā)展學(xué)生的歸納推理能力。

3.在解決問題活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與他人合作，能有條理、清晰地表達(dá)自己的想法。

三、教學(xué)實(shí)錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)需求

1.創(chuàng)設(shè)情境。

師：同學(xué)們，今天我們的學(xué)習(xí)從游戲開始，這個(gè)游戲和印度的一個(gè)古老傳說有關(guān)，叫作“漢諾塔”游戲。讓我們一起來了解一下。（播放微課）

2.激發(fā)需求。

師：這個(gè)傳說是真的嗎？你怎么看？

生：我覺得不可能，因?yàn)檫@只是一個(gè)傳說??！

生：我覺得也不可能，搬完這些圓片幾十年就夠了吧！世界怎么可能毀滅呢？（部分學(xué)生點(diǎn)頭附和）

師：搬完這些圓片到底需要多少時(shí)間呢？是不是像同學(xué)們所說的那樣呢？讓我們一起來揭開“漢諾塔”游戲的神秘面紗！（板書課題）

【設(shè)計(jì)意圖】課的一開始，就從“游戲”切入，讓學(xué)生感受到今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與以往不同。運(yùn)用微課播放，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)情境，介紹“漢諾塔”游戲的古老傳說，引發(fā)學(xué)生的討論，激發(fā)研究欲望，為后面的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

（二）自主探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.自主探索。

（1）化繁為簡(jiǎn)：1個(gè)圓片的移動(dòng)。

師：玩游戲前先要明確游戲規(guī)則，你能看懂嗎？

課件出示：盒內(nèi)有①號(hào)、②號(hào)、③號(hào)三根桿子，你能借助②號(hào)桿子把①號(hào)桿子上的圓盤移到③號(hào)桿子上而不改變圓盤的上下順序嗎？最少移動(dòng)多少次呢？

移動(dòng)規(guī)則：每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤；大圓盤不能放到小圓盤的上面。

師：如果按照傳說，應(yīng)該有64個(gè)圓盤放在①號(hào)桿上？怎么樣，我們?cè)囋嚕?/p>

生：太多了，可以從少一點(diǎn)的數(shù)量嘗試，再看看有沒有規(guī)律。

師：1個(gè)圓盤要不要試？至少移動(dòng)幾次？

生口答，師課件動(dòng)態(tài)演示：直接將紅色圓盤從①號(hào)桿移動(dòng)到③號(hào)桿上，移動(dòng)1次。

（2）明確規(guī)則：2個(gè)圓盤的移動(dòng)。

師：那么，2個(gè)圓盤至少移動(dòng)2次嗎？

生：不行！至少3次。

生邊說，師邊課件動(dòng)態(tài)演示：

師：兩次為什么不行呢？

生：這樣大圓盤就要放在小圓盤的上面了，違反了游戲規(guī)則。所以要將小圓盤先移動(dòng)到②號(hào)桿，大圓盤放到③號(hào)桿上，小圓盤再放過去。

師：也就是說，我們思考的是如何先將大圓盤放到③號(hào)桿上去，小圓盤就要先移動(dòng)到其他桿上。我們用圖將剛才的操作過程記錄下來（板書演示）。

（3）親身實(shí)踐：3個(gè)圓盤的移動(dòng)。

師：如果有3個(gè)圓盤呢？又至少需要移動(dòng)幾次呢？拿出學(xué)具，同桌合作，邊操作邊把移動(dòng)的每一步都記錄下來。看哪個(gè)組在最短的時(shí)間內(nèi)將最少的移動(dòng)次數(shù)找到。

生進(jìn)行操作嘗試，絕大部分組都移動(dòng)成功。

師：成功的請(qǐng)舉手！最少需要幾次？哪組同桌愿意上來給我們展示？

生上來交流：邊指著圖，邊介紹。

（4）激發(fā)疑問：4個(gè)圓盤的移動(dòng)。

師：3個(gè)圓盤的移動(dòng)看來難不倒大家，如果增加到4個(gè)圓盤呢？再試一試！

師巡回，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生有困難。

師：移動(dòng)成功的請(qǐng)舉手。（只有幾組同桌舉手）有什么困難嗎？

組1：我們移著移著就不知道該怎么辦了！

組2：我們移對(duì)了，但好像是碰運(yùn)氣??！

組3：我們覺得要將大圓盤先放到③號(hào)桿，但后面怎么移還沒有完全想明白。

師：看來，需要先梳理一下！再回過頭分析一下3個(gè)圓盤的移動(dòng)，看看能不能給我們帶來新的啟示。

2.發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）梳理思路：3個(gè)圓盤的移動(dòng)過程。

師：仔細(xì)觀察移動(dòng)過程，我們的思路是怎么樣的？

生：要設(shè)法先將大圓盤移到③號(hào)桿。

師：那么小圓盤和中圓盤就要移到②號(hào)桿，至少需要幾次？你怎么知道的？

生：3次，剛才2個(gè)圓盤移動(dòng)時(shí)已經(jīng)嘗試過了。

師：這時(shí)，大圓盤就能移動(dòng)到③號(hào)桿了，又需要1次。接下來的思路是什么？

生：將小圓盤和中圓盤想辦法移到③號(hào)桿。

師：2個(gè)圓盤移到同一個(gè)桿上，至少需要幾次？

生：和剛才一樣還是3次。

師：一共是3+1+3=7次。移動(dòng)3個(gè)圓盤的過程中借助了移動(dòng)2個(gè)圓盤的經(jīng)驗(yàn)。

師：想一想，移動(dòng)4個(gè)圓盤，你有思路了嗎？

生：先將上面3個(gè)圓盤移動(dòng)到②號(hào)桿上，借助前面的經(jīng)驗(yàn)，至少需要7次；最下面的大圓盤就可以移動(dòng)到③號(hào)桿上，需要1次；再將②號(hào)桿上的3個(gè)圓盤移動(dòng)到③號(hào)桿上，又至少需要7次，一共是7+ 1+7=15次。

師：有思路了，試試看！

（2）歸納推理：多個(gè)圓盤的移動(dòng)思路。

生操作，師巡回，大部分學(xué)生都移動(dòng)成功。

師：成功了嗎？我們一起來看看4個(gè)圓盤移動(dòng)的過程。（微課演示）

師（順勢(shì)追問）：5個(gè)圓盤呢？

生（很快口答）：借助4個(gè)圓盤的經(jīng)驗(yàn)，至少需要15+1+15=31次。

師（繼續(xù)追問）：6個(gè)圓盤呢？

生（很快口答）：借助5個(gè)圓盤的經(jīng)驗(yàn)，至少需要31+1+31=63次。

師：如果有更多的圓盤，還能繼續(xù)往下推嗎？

生（自信）：能！

【設(shè)計(jì)意圖】在研究之前，通過討論，達(dá)成可以用“化繁為簡(jiǎn)”的思路進(jìn)行研究的共識(shí)。接下來，分為三個(gè)層次，逐步推進(jìn)研究進(jìn)程。首先，1個(gè)圓盤和2個(gè)圓盤，借助flash動(dòng)畫的課件演示，隨著學(xué)生的回答，教師自由拖動(dòng)圓盤，在移動(dòng)的過程中進(jìn)一步明確游戲的規(guī)則。接著，3個(gè)圓盤和4個(gè)圓盤，借助學(xué)具進(jìn)行操作，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)4個(gè)圓盤移動(dòng)有困難時(shí)，因勢(shì)利導(dǎo)梳理3個(gè)圓盤的移動(dòng)過程，歸納出移動(dòng)的一般思路。最后，依據(jù)這樣的移動(dòng)思路，學(xué)生脫離實(shí)物操作，以此類推,借助n個(gè)圓盤的經(jīng)驗(yàn)就能推理出（n+1）個(gè)圓盤的移動(dòng)次數(shù)。這一過程中，數(shù)學(xué)思考貫穿始終。

（三）深入思考，解決問題

1.深入思考。

師：讓我們?cè)倩氐介_頭的古印度傳說，根據(jù)我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，現(xiàn)在能知道64個(gè)圓盤至少移動(dòng)幾次了嗎？

生（困惑）：必須先推算出第63個(gè)圓盤的移動(dòng)數(shù)，要想推算第63個(gè)圓盤的移動(dòng)次數(shù)，還要推算第62個(gè)圓盤，要一直往前推算呢！

師：看來還是比較麻煩，那么有沒有更加方便的規(guī)律呢？剛才我們是縱向觀察的，橫向觀察看看，還有其他的規(guī)律存在嗎？

生：圓盤個(gè)數(shù)n，移動(dòng)次數(shù)2n-1。

師：現(xiàn)在可以知道64個(gè)圓盤至少要移動(dòng)幾次了嗎？

生：264-1。

師：到底需要移動(dòng)幾次呢？請(qǐng)計(jì)算機(jī)來幫忙，最少需要移動(dòng)“18446744073709551615”次才能完成操作。

生發(fā)出驚嘆。

2.解決問題。

師（課件演示）：假設(shè)搬1個(gè)圓盤要用1秒鐘，就有18446744073709551615秒。1小時(shí)有3600秒，1天有24小時(shí)，1年我們以365天來計(jì)算，這樣大約是五千多億年。據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)研究，宇宙從誕生至今還僅137億年，地球從誕生到現(xiàn)在，也才只有大約46億年的時(shí)間?？磥恚娚畟兒谋M畢生精力也不可能完成金片的移動(dòng)。

師：現(xiàn)在，你們對(duì)這個(gè)印度傳說怎么看？

生：要這么多年才能搬完圓盤，這個(gè)傳說也是有可能的。

生：如果傳說是真的，也不必?fù)?dān)心，世界末日還遠(yuǎn)著呢！

【設(shè)計(jì)意圖】通過研究，學(xué)生找到了遞推的規(guī)律。可是，要解決64個(gè)圓盤至少需要移動(dòng)幾次時(shí)，發(fā)現(xiàn)還是比較困難，產(chǎn)生了進(jìn)一步尋求橫向規(guī)律的需求。這樣“先破再立，再破再立”的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，打破思維框架，將研究推向高潮。學(xué)生在解決問題后，對(duì)照課一開始時(shí)的討論，有了積極的情感體驗(yàn)。

（四）提煉方法，自主建構(gòu)

1.提煉方法。

師：同學(xué)們，今天我們邊玩游戲，邊探索規(guī)律，現(xiàn)在“漢諾塔”游戲在你心中還神秘嗎？你知道了它的哪些秘密？回顧一下，我們是怎么研究的？

根據(jù)生的回答提煉出結(jié)論：化繁為簡(jiǎn)—借助經(jīng)驗(yàn)—探索規(guī)律—解決問題。

2.自主建構(gòu)。

師：這樣的數(shù)學(xué)探究過程我們?cè)?jīng)運(yùn)用過嗎？

生（恍然大悟）：烙餅問題、打電話、圖形找規(guī)律……

師：是的，數(shù)學(xué)問題有各種不同，可是解決問題的策略卻是相通的，我們要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法去解決這一類問題。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在“玩”游戲的過程中，有了充分的活動(dòng)體驗(yàn)。回顧研究過程，提煉出“化繁為簡(jiǎn)”的解決問題策略。在教師的引導(dǎo)下，還能初步感悟到這一策略不僅能解決“漢諾塔問題”，還能解決這樣的一類問題，將策略進(jìn)行推廣，提升學(xué)生的問題解決能力。

四、教學(xué)反思

（一）游戲背景介紹：激活思維點(diǎn)

將一道題拓展成一節(jié)課，就是要讓知識(shí)承載更為豐富的教育價(jià)值，驅(qū)動(dòng)學(xué)生去自主探索。課一開始，通過播放微課，創(chuàng)設(shè)游戲情境：在神秘的音樂聲中向?qū)W生娓娓道來，“漢諾塔”游戲源于一個(gè)古老印度傳說，課堂被濃濃的人文氣息包圍，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也變得生動(dòng)起來。那么，古老傳說中的預(yù)言真的會(huì)實(shí)現(xiàn)嗎？學(xué)生的各種猜測(cè)將今天的學(xué)習(xí)聚焦到一個(gè)問題“按照規(guī)則移動(dòng)64個(gè)圓盤，究竟需要多少時(shí)間呢？”在學(xué)生的歡聲笑語中，思維的火花被點(diǎn)燃，明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（二）游戲環(huán)境支撐：提升思維力

游戲是“形”，思維是“神”，如何在玩游戲的過程中，提升學(xué)生的思維力？教學(xué)環(huán)境的有力支撐，讓思維層層遞進(jìn)。1個(gè)圓盤、2個(gè)圓盤的移動(dòng)是基礎(chǔ)，利用flash動(dòng)畫，隨著學(xué)生的回答，圓盤可以隨意移動(dòng)，幫助學(xué)生直觀理解游戲規(guī)則“小圓盤必須要在大圓盤的上面”，初步感知移動(dòng)策略“首先要將最下面的圓盤移動(dòng)到③號(hào)桿，上面的圓盤必須要先移動(dòng)到其他桿上，讓開位置”。3個(gè)圓盤的移動(dòng)過程是關(guān)鍵，借助實(shí)物，學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，用畫圖記錄移動(dòng)的過程；當(dāng)4個(gè)圓盤移動(dòng)碰到困難時(shí)，教師再順勢(shì)引導(dǎo)梳理3個(gè)圓盤的移動(dòng)過程，運(yùn)用微課進(jìn)行直觀演示，進(jìn)一步感知移動(dòng)策略“4個(gè)圓盤的移動(dòng)可以借助3個(gè)圓盤的經(jīng)驗(yàn)3+1+3=7次”。多個(gè)圓盤的移動(dòng)是遷移，脫離多媒體演示和實(shí)物操作，運(yùn)用1～4個(gè)圓盤的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行邏輯推理。在這一過程中，學(xué)生的思維逐步從形象上升到抽象，歸納推理能力得到了發(fā)展。

（三）游戲方法提煉：營造思維場(chǎng)

數(shù)學(xué)游戲的教學(xué)目標(biāo)，更重要的是方法策略的提煉和運(yùn)用。在教學(xué)的最后環(huán)節(jié)，沒有止步在解決了“64個(gè)圓盤至少要移動(dòng)幾次”的問題上，而是通過回顧，提煉出了解決問題的一般策略，學(xué)生對(duì)“化繁為簡(jiǎn)”的策略有了深入的認(rèn)識(shí)。這樣的解決問題策略除了解決“漢諾塔問題”，還能解決哪些問題呢？從一道習(xí)題拓展成一個(gè)問題，從一個(gè)問題推廣到一類問題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，連點(diǎn)成片，感悟到數(shù)學(xué)問題雖千變?nèi)f化，數(shù)學(xué)方法卻貫穿始終，營造了更為廣闊的思維場(chǎng)。

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