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        三角函數(shù)求最值的幾種解題策略

        2017-08-17 09:20:04林東東
        文理導(dǎo)航 2017年23期
        關(guān)鍵詞:斜率最值解題

        林東東

        【摘 要】 三角函數(shù)的最值問題是高考的熱點之一。通過研討三角最值問題的解題思路,一方面可以對與其相關(guān)的知識鏈起到復(fù)習(xí)鞏固作用,另一方面又可以在用數(shù)學(xué)思想方法解題過程中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)解題能力、數(shù)學(xué)思維能力。并且這類問題綜合性強,靈活性大,它往往與二次函數(shù)、三角函數(shù)圖像、函數(shù)的單調(diào)性等知識聯(lián)系在一起,有一定的綜合性.這類問題的解決涉及到化歸、轉(zhuǎn)換等重要的數(shù)學(xué)思想,掌握這類問題的求解策略,不僅能加強知識的縱橫聯(lián)系,鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能,還能提高數(shù)學(xué)思維能力和運算能力。

        【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù);最值

        一、化為 的形式

        例1.求函數(shù) 的最大值。

        ∴函數(shù)f(x)的最大值為 ,最小值為

        反思總結(jié):利用輔助角公式,容易求得函數(shù)的最值。

        二、轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)

        1.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

        例2.求函數(shù) 的值域。

        解:原式化為

        令 ,則 ,由二次函數(shù)圖象可知,當(dāng)t=- 時,y = ,當(dāng)t=1時,y =5

        反思總結(jié):將函數(shù)表達(dá)式化為二次函數(shù)時一定要注意不能忽略函數(shù)的定義域的變化。

        2.轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)

        例3.求函數(shù)y= 在區(qū)間(0,π)上的最大值。

        = ,令t=tan ,則y= ,x∈(0,π), ∈(0, ),∴tan ∈(0,+∞),即t∈(0,+∞),∴ +t≥2 ,0< ≤ ∴當(dāng)t= 時,即tan = ,x= 時,函數(shù)y= 取得最大值 。

        反思總結(jié):將函數(shù)化為 (其中f(x)是三角函數(shù)),在利用基本不等式時要注意等號成立的條件,如果等號取不到,則要化成y=t+ ,利用導(dǎo)數(shù)通過圖象求解。

        三、利用幾何意義

        例4.求函數(shù) 的最大值及最小值。

        函數(shù) 的幾何意義為兩點p(-2,0),Q(cosx,sinx)連線的斜率k,而 Q點的軌跡為單位圓,- ≤k≤ ,

        故y =- ,y = ;

        例5 求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值。

        設(shè)A(1,-1),p(cosx,cos x),K =

        即y為過P,A的斜率。所以要求函數(shù)y的最大值,只要求直線PA的斜率K 的最大值。因為p(cosx,cos x)是拋物線y=x ( ≤x< )上的動點。

        由圖觀察可知,當(dāng)點P落在坐標(biāo)( , )時,斜率K = =- 為最大值,所以函數(shù)y= 的最小值大- 。

        反思總結(jié):若函數(shù)表達(dá)式可化為形如(其中為含有三角函數(shù)的式子)則可通過構(gòu)造直線的斜率,通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,利用其幾何意義來確定三角函數(shù)的最值。

        四、利用整體思想求解

        1.對于y= 型

        應(yīng)對策略:反解出sinx,由正弦函數(shù)的有界性|sinx|≤1;或可用分析法求最值。

        例6.求函數(shù)y= 求最值。

        利用求反函數(shù)法解出sinx= ,由,解得-2≤y≤- ,故y =-2,y =- 。

        綜上所述,三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù),用三角函數(shù)的特征加上函數(shù)的思想就是求解三角函數(shù)最值的常用策略。求三角函數(shù)的最值,要仔細(xì)觀察函數(shù)的特征,聯(lián)系已有的函數(shù)知識,把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。求三角函數(shù)的最值,要特別注意角的范圍,要善于總結(jié),勤于反思。具體做到以下幾點:

        1.合理轉(zhuǎn)化,利用三角函數(shù)性質(zhì),或轉(zhuǎn)化為邊緣函數(shù)。

        2.對于比較復(fù)雜的復(fù)合三角函數(shù),難以直接運用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化的,抓住結(jié)構(gòu)特點,利用幾何意義求解。

        3.利用整體思想,運用三角函數(shù)有界性求解。

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