衛(wèi)劍征，丁海鑫，侯 雪，譚惠豐

式中，ω0為結(jié)構(gòu)的固有頻率，m為結(jié)構(gòu)軸向線密度，y為結(jié)構(gòu)自由端的振幅。彈性勢能形式儲存在結(jié)構(gòu)中，因此勢能的變化值可以通過彎矩做功的大小來表示。而彎矩做功可以表示為式（7）：

由于結(jié)構(gòu)自由端彎曲撓度數(shù)值很小，所以有式（8）：

可展開雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)動態(tài)特性測試與分析

衛(wèi)劍征，丁海鑫，侯 雪，譚惠豐

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所，哈爾濱150080）

針對一種碳纖維復(fù)合材料雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)中折疊展開變形以及局部損傷對動態(tài)特性的影響問題，基于Rayleigh方程，引入了纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中鋪層相關(guān)因子，討論卷曲展開程度及薄壁結(jié)構(gòu)局部損傷對結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的影響程度；建立了雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)的動態(tài)測試系統(tǒng)，采用了單點激勵多點響應(yīng)的動態(tài)測試方法，得到了雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)分別在展開、卷曲收攏和局部屈曲破壞后的一階、二階固有頻率。測試結(jié)果驗證了數(shù)值仿真結(jié)果的正確性，并表明卷曲后雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)基頻增大，局部屈曲破壞后的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)基頻減小。

雙Ω截面；薄殼結(jié)構(gòu)；動態(tài)；卷曲；碳纖維復(fù)合材料

1 引言

本文引入纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中鋪層相關(guān)因子，討論卷曲展開程度及薄壁結(jié)構(gòu)局部損傷對動態(tài)特性的影響程度，并建立了雙Ω薄殼管的動態(tài)測試系統(tǒng)，采用了單點激勵多點響應(yīng)的動態(tài)測試方法，研究了雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)分別在展開、卷曲收攏和局部屈曲損傷后的動態(tài)特性。

2 結(jié)構(gòu)動態(tài)測試方法

為了測試雙Ω薄殼管不同展開狀態(tài)下的動態(tài)特性，本文設(shè)計了結(jié)構(gòu)動態(tài)特性測試方案：把雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)水平放置，一端與支架固支安裝，使薄殼結(jié)構(gòu)為懸臂梁狀態(tài)；沿長度方向每間隔200 mm布置一個三軸加速度傳感器（PCB公司），共為5個；激勵方式為定點激勵，激勵位置為自由端，激勵方向為y和z方向，測試方案如圖1所示。其中測試對象為外徑60 mm、長度100 cm的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)，由四層（45°／－45°／－45°／45°）碳纖維復(fù)合材料制備而成，其彈性模量為22? 4 GPa，剪切模量為8? 62 GPa，泊松比為0? 33，管壁線密度為62 g／m。振動測試數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)為DEWE?801。在管壁上均勻粘貼三軸傳感器，在自由端處利用端頭蓋保持截面的固定，防止開口出現(xiàn)局部振動，利用帶有軟式錘頭的力錘對結(jié)構(gòu)自由端進行激勵，以減小結(jié)構(gòu)出現(xiàn)局部變形，從而得到雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)的整體動態(tài)特性。

依據(jù)動態(tài)特性測試方案，建立了動態(tài)特性測試實物系統(tǒng)（圖2），包括DEWE?801振動測試儀、薄殼結(jié)構(gòu)支架、傳感器等。測試過程中需要先設(shè)定傳感器靈敏系數(shù)，選擇測量的通道，再用軟頭力錘對自由端進行激勵。采用模態(tài)測試方法選擇各階固有頻率和其相應(yīng)的阻尼，最后依據(jù)有限元計算得到振型，并選擇確定試驗中對應(yīng)的各階基頻。

本文動態(tài)試驗中采用了單點激勵多點響應(yīng)的模態(tài)測試方法，由于試驗測量的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)為一種低頻結(jié)構(gòu)，選擇采樣頻率為1 kHz／s，分辨率設(shè)定為1024，半帶寬度為500 Hz，得到試驗頻率精度為0? 2918 Hz。利用力錘對雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)進行激勵，為降低人為激勵誤差導(dǎo)致出現(xiàn)非固有頻率峰值，采用三次激勵取平均值方法，對結(jié)構(gòu)端部進行激勵，根據(jù)每個響應(yīng)點的振動曲線，通過傅立葉變換擬合出雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)的振型，并計算得到結(jié)構(gòu)固有頻率。本文采用三軸傳感器設(shè)置z方向沿著管長度方向，xy方向為雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)橫截面內(nèi)方向；固支端由四枚Φ4 mm螺絲加墊片緊密固定在金屬支架帶孔平板上；三軸傳感器分別對應(yīng)DEWE?801測試系統(tǒng)1、2、3、4和5測試通道，力錘與0通道連接，力錘錘頭選擇橡膠材料。

模態(tài)參數(shù)辨識方法采用頻域法，動態(tài)信號測試儀得到頻響函數(shù)后，也得到導(dǎo)納圓的測試數(shù)據(jù)。其中導(dǎo)納圓法是利用動態(tài)特性測試中得到的頻響函數(shù)，擬合成不同的固有頻率的模態(tài)圓。導(dǎo)納圓辨識方法是利用頻響函數(shù)的數(shù)據(jù)進行辨識［13］。對于簡化所得單自由度結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)，其頻響函數(shù)如式（1）：

式中，（1＋jg）k為復(fù)剛度；g為結(jié)構(gòu)阻尼因子。將上式按實部與虛部分開寫得式（2）～（4）：

(4)從典型斷面流速變化來看，方案三(閘孔凈寬120 m)和方案四(閘孔凈寬240 m)實施后，相對于建閘前，流速增大的區(qū)域包括進口單一段、新河段和匯流點以下單一段，流速減小的區(qū)域為老河道彎曲段。且方案四對水流的影響小于方案三。

由上兩式消去變量（1－w－2）后，得到圓方程如式（5）：

其圓心坐標(biāo)為（0，－1／2kg），半徑為1／2kg，此圓為導(dǎo)納圓或Nyquist圓。該圓是以HR（ω）為實部、HI（ω）為虛部在復(fù)平面上形成的圖形。

3 測試結(jié)果與分析

3? 1 展開狀態(tài)測試分析

用導(dǎo)納圓辨識法確定結(jié)構(gòu)的固有頻率，理論上試驗結(jié)果應(yīng)精確地存在于導(dǎo)納圓上，但由于測試中存在誤差，數(shù)值結(jié)果不能精確地存在于導(dǎo)納圓上。本文通過曲線擬合的方法將測試結(jié)果數(shù)值擬合成一個圓，并得到其各階固有頻率。在測試中通過模態(tài)測試方法識別雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)的各階頻率，主要包括頻率特性曲線、頻率隨振幅的響應(yīng)曲線和頻率隨相位角的響應(yīng)曲線。首先用雙重離散傅里葉變換（FFT）曲線（圖3）上相應(yīng)波峰作為固有頻率可能取值的點；同時頻率隨響應(yīng)變化的幅頻圖中（圖4），曲線波峰處作為薄殼結(jié)構(gòu)固有頻率可能取到的點，并結(jié)合導(dǎo)納圓辨識法（圖5），判斷出雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)的固有頻率值。

測試得到懸臂狀的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)的yz面一階基頻為8? 5 Hz，xz面一階基頻為10? 2 Hz。由于結(jié)構(gòu)在x和y方向不對稱，其慣性矩Ixx為1? 6939×104mm4，Iyy為5? 5205×104mm4，所以得到的前兩階固有頻率不相等。根據(jù)Rayleigh方程，基于機械能守恒定律，結(jié)構(gòu)的固有頻率可由結(jié)構(gòu)振動的動能最大值和彈性勢能最大值相等得出。其動能表示為式（6）：

式中，ω0為結(jié)構(gòu)的固有頻率，m為結(jié)構(gòu)軸向線密度，y為結(jié)構(gòu)自由端的振幅。彈性勢能形式儲存在結(jié)構(gòu)中，因此勢能的變化值可以通過彎矩做功的大小來表示。而彎矩做功可以表示為式（7）：

由于結(jié)構(gòu)自由端彎曲撓度數(shù)值很小，所以有式（8）：

其中，θ為結(jié)構(gòu)偏離初始位置角度，R為結(jié)構(gòu)的曲率半徑。又由材料力學(xué)中對梁彎曲曲率的描述有式（9）：

將式（8）、（9）代入式（7）中可以得到式（10）：

由能量守恒定律可知，當(dāng)形變等于零時能夠得到動能最大值；當(dāng)形變達到最大值時，得到勢能最大值，即動能最大值和彈性勢能最大值相等，所以有式（11）：

懸臂結(jié)構(gòu)上與固定端距離等于x處的撓度可以表示成式（12）：

根據(jù)Rayleigh方程有Dmax＝Umax，則得到結(jié)構(gòu)的固有頻率ω0如式（15）：

由于雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)采用了復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，與簡化的懸臂結(jié)構(gòu)計算得到的公式存在一定偏差，因此引入了與復(fù)合材料結(jié)構(gòu)鋪層相關(guān)因子如式（16）：

當(dāng)ζ＝5時，計算得到雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)在yz面和xz面的基頻為9? 36 Hz、18? 74 Hz。

3? 2 收攏狀態(tài)測試分析

進一步測試了雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)在卷曲下的固有頻率，設(shè)計了一個直徑為150 mm的卷軸，其質(zhì)量與端蓋近似相同，質(zhì)量為58 g。自由端繞卷軸將雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)卷起，并將其固定，如圖6所示。采用同樣的測試方法，通過導(dǎo)納圓、幅頻圖和FFT曲線得到一階基頻（圖7）。測得yz面一階基頻為9? 3 Hz，xy面一階基頻為17? 8 Hz（表1）。

表1 薄殼結(jié)構(gòu)卷曲前后測試結(jié)果對比Table 1 Comparison of test results of thin?shell struc?ture before and after curving

根據(jù)基頻計算公式（15），基頻與試件的長度和質(zhì)量有關(guān)，當(dāng)質(zhì)量或長度增大時，基頻減小。當(dāng)雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)卷曲后，其長度減小，增加的卷軸質(zhì)量與卸掉的端頭蓋相當(dāng)，但卷曲部分的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)質(zhì)量也施加在了試件的自由端，限制了卷曲后的基頻變大。因此結(jié)構(gòu)的基頻在卷曲后仍然具有增大的趨勢，且二階基頻具有更明顯的變化。

3? 3 局部損傷測試分析

針對雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)軸壓后發(fā)生的局部損傷程度進行了動態(tài)測試分析，局部破壞的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)如圖8所示。裂紋位置在距固支端80 mm的上半圓弧處，裂紋長度約為30 mm，四層鋪層均斷裂。

采用同樣無損傷的100 cm薄殼結(jié)構(gòu)測試方法和條件，得到相頻圖（圖9）和結(jié)構(gòu)前六階頻率（表2）。從表2中看出經(jīng)過軸壓試驗后產(chǎn)生局部破壞的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)固有頻率有所降低，這是由于端部結(jié)構(gòu)開裂導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度退化，根據(jù)式（11）對基頻的計算，剛度的退化會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)基頻下降。

表2 局部裂紋的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)固有頻率Table 2 The inherent frequency of locally cracking double Ω thin?shell boom

4 結(jié)構(gòu)動態(tài)特性有限元分析

4? 1 有限元計算

本文建立了雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)模型［14］并進行了動態(tài)特性有限元計算，在有限元計算中采用四節(jié)點減縮積分的薄殼單元，建立相同的一端固支、一端自由邊界，并在自由端部建立端頭蓋剛體，與雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)通過Tie方式連接，兩端截面設(shè)置耦合約束以防止開口局部振動，得到結(jié)構(gòu)的振動頻率，計算得到y(tǒng)z面一階頻率為11? 42 Hz，xz面一階頻率為20? 85 Hz（圖10）。表3為雙Ω結(jié)構(gòu)試驗得到的前兩階固有頻率與有限元計算基頻結(jié)果對比，結(jié)果表明：與展開狀態(tài)基頻對比，卷曲基頻比初始基頻增大，軸壓后局部裂紋破壞的雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)基頻降低44? 8%。

4? 2 誤差分析

盡管雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)的Iyy約為Ixx的4倍，由公式（11）中ω0和慣性矩的關(guān)系，xz面內(nèi)基頻應(yīng)是yz面基頻的2倍關(guān)系，證明結(jié)果的正確性，但是理論與測試和有限元仿真之間還是存在誤差。引起誤差的原因主要有三方面：首先，薄殼結(jié)構(gòu)截面慣性矩的理論計算，引入了結(jié)構(gòu)輔層相關(guān)因子，通過經(jīng)驗確定的ζ，該參數(shù)需要多次、多種細長比結(jié)構(gòu)的測試進行修正；其次，測試過程中存在試件尺寸、材料阻尼、激勵方向等耦合，以及系統(tǒng)誤差等因素；最后有限元模態(tài)計算為線性計算方法，沒有考慮實際測試對象碳纖維復(fù)合材料中樹脂的阻尼。

表3 有限元計算固有頻率結(jié)果與試驗及理論值對比Table 3 Comparison of inherent frequencies calculated by finite element analysis，by experiment and by theory

5 結(jié)論

1）通過對懸臂結(jié)構(gòu)的基頻進行推導(dǎo)分析，得到了基頻與慣性矩，長度和質(zhì)量之間的關(guān)系，驗證了不對稱截面雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)在展開和卷曲狀態(tài)下基頻的準(zhǔn)確性。

2）雙Ω薄殼結(jié)構(gòu)軸壓局部裂紋破壞后基頻降低，比無損傷的基頻降低了44? 8%；且結(jié)構(gòu)在卷曲狀態(tài)下的基頻與初始態(tài)基頻進行了對比，卷曲收攏狀態(tài)的基頻比展開狀態(tài)的基頻大。

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（責(zé)任編輯：龐迎春）

Dynamic Testing and Analysis of Deployable Double?Ω Thin?Shell Structures

WEI Jianzheng，DING Haixin，HOU Xue，TAN Huifeng
（Center for Composite Materials and Structures，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China）

As far as the influences of the local damage and folded deformation on the dynamic char?acteristics are concerned，a double?Ω thin?shell structure was studied．A related layer factor was in?troduced in the fiber composite material structure based on Rayleigh equation．Its dynamic system was also built，and the method of excitating at a single?point and responding at multi points was used to test the first and the second order fundamental frequency of the double?Ω boom under folding，un?folding or local cracking conditions respectively．The test results are consistent with the numerical simulation．The results show that the double?Ω thin?shell boom had a higher frequency under folding and a lower frequency under cracking condition．

double?Ω boom；thin shell structure；dynamics；folded；carbon fibrous composite ma?terial

V414

A

1674?5825（2017）04?0551?05

2017?03?09；

2017?05?31

中央高?；究蒲袑ｍ椯Y金資助（HIT．MKSTISP．201609）

衛(wèi)劍征，男，博士，副教授，研究方向為空間柔性可展開結(jié)構(gòu)動力學(xué)。E?mail：weijz＠hit．edu．cn