劉文超劉曰武

?(北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京100083)?(中國科學(xué)院力學(xué)研究所，北京100190)

流體力學(xué)

低滲透煤層氣藏中氣
--水兩相不穩(wěn)定滲流動態(tài)分析1)

劉文超?,2)劉曰武?,3)

?(北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京100083)?(中國科學(xué)院力學(xué)研究所，北京100190)

針對低滲透煤層滲流問題，考慮啟動壓力梯度及其引起的動邊界和動邊界內(nèi)吸附氣解吸作用的滲流模型研究目前僅限于單相流，而更符合實際的氣--水兩相滲流動邊界模型未見報道.本文綜合考慮了煤層吸附氣的解吸作用、氣--水兩相滲流、非達西滲流、地層應(yīng)力敏感等影響因素，進行了低滲透煤層的氣--水兩相滲流模型研究.采用了試井技術(shù)中的“分相處理”方法，修正了兩相滲流的綜合壓縮系數(shù)和流度，并基于含氣飽和度呈線性遞減分布的假設(shè)，建立了煤層氣藏的氣--水兩相滲流耦合模型.該數(shù)學(xué)模型不僅可以描述由于低滲透煤層中滲流存在啟動壓力梯度而產(chǎn)生的可表征煤層有效動用范圍隨時間變化的移動邊界，還可以描述煤層有效動用范圍內(nèi)吸附氣的解吸現(xiàn)象以及吸附氣解吸作用所引起的煤層含氣飽和度的上升；為了提高模型精度，控制方程還保留了二次壓力梯度項.采用了穩(wěn)定的全隱式有限差分方法進行了模型的數(shù)值求解，并驗證了數(shù)值計算方法的正確性，獲得了模型關(guān)于瞬時井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)響應(yīng)的雙對數(shù)特征曲線，由此分析了各滲流參數(shù)的敏感性影響.本文研究結(jié)果可為低滲透煤層氣藏開發(fā)的氣--水兩相流試井技術(shù)提供滲流力學(xué)的理論基礎(chǔ).

煤層氣,啟動壓力梯度,吸附氣解吸,動邊界,兩相流,有限差分方法

引言

與常規(guī)油氣藏相比，煤層氣藏有著截然不同的能源儲集方式、開采方式及滲流機制：①煤層氣藏中存在大量吸附氣[14]，儲集于煤層基質(zhì)中；②煤層氣開采通常是一個排水降壓過程[12]，生產(chǎn)過程中當?shù)貙訅毫ο陆抵僚R界解吸壓力后，吸附氣會解吸并作為物質(zhì)供給，因而也會涉及到氣--水兩相流；③煤層氣藏開采過程中，由于低滲透煤層孔隙狹小、表面積大，流--固界面作用強烈，以及低滲透煤層的非均質(zhì)性、孔隙邊界層以及氣--水兩相流毛管阻力的影響[412]，低滲煤層中的兩相滲流還存在啟動壓力梯度[56]，會導(dǎo)致煤層氣藏有效動用范圍隨時間而變化[1319],即：有效動用范圍僅存在于壓力梯度大于啟動壓力梯度的動邊界以內(nèi)，而動邊界以外不發(fā)生流動,滲流模型計算研究表明[1319],考慮啟動壓力梯度的非達西滲流模型應(yīng)考慮動邊界的影響;④隨著地層壓力的不斷降低，應(yīng)力敏感的巖石孔隙會發(fā)生變形，導(dǎo)致煤層滲透能力發(fā)生變化[20].

目前，對于同時考慮低滲透煤層滲流存在啟動壓力梯度及其引起的動邊界和動邊界內(nèi)吸附氣解吸作用的煤層氣滲流模型研究僅限于單相滲流動邊界模型[2123]，而考慮吸附氣解吸作用的氣--水兩相滲流動邊界模型研究仍未見相關(guān)報道.本文將綜合考慮低滲透煤層吸附氣的解吸作用、氣--水兩相滲流、低滲煤層的非達西滲流特征、地層應(yīng)力敏感等影響因素，在以往考慮動邊界的低滲透煤層單相(包括單相水和單相氣)滲流模型研究[2126]基礎(chǔ)上，結(jié)合試井解釋中的“分相處理”方法[2627]，并通過引入穩(wěn)定解吸與不穩(wěn)定解吸的兩個源項[2226]來表達煤層吸附氣的解吸作用，進一步建立了一個符合低滲透煤層氣排采特征的氣--水兩相滲流耦合模型.本文研究可為低滲透煤層氣藏開發(fā)所涉及的氣--水兩相流試井技術(shù)提供滲流力學(xué)的理論基礎(chǔ).

1 物理模型

圖1 低滲透煤層氣藏氣--水兩相滲流模型示意圖Fig.1 The schematicsof thegas--water two-phase seepage fl w model in low-permeable coalbed gas reservoirs

煤層氣生產(chǎn)時，生產(chǎn)井周圍地層壓力最先開始低于吸附氣的臨界解吸壓力，煤層氣發(fā)生解吸后，不斷流動至裂隙系統(tǒng)，氣--水混合后發(fā)生由裂隙系統(tǒng)向井筒的氣--水兩相滲流，煤層氣藏的氣--水兩相滲流特征如圖1所示.由于低滲煤層存在啟動壓力梯度，煤層滲流存在動邊界[13,2123]，井筒至動邊界之間的滲流區(qū)域?qū)儆诿簩訅航祬^(qū)域，地層壓力梯度大于啟動壓力梯度流體發(fā)生流動，表征煤層的有效動用范圍；而動邊界外為煤層未動用區(qū)域，不存在壓力降.假設(shè)臨界解吸壓力與原始地層壓力大致相等，則可近似認為煤層壓降區(qū)域內(nèi)都發(fā)生解吸；隨著時間的延長，煤層吸附氣會不斷解吸到煤層中，動邊界以內(nèi)煤層含氣飽和度不斷增大[26].

2 數(shù)學(xué)模型建立

模型假設(shè)條件為[21-23]：

(1)煤層氣儲層為均質(zhì)、各向同性的無限大地層；忽略重力及毛管力影響，不考慮其他的物理化學(xué)因素；不考慮溫度變化對流動的影響.

(2)低滲煤層中滲流規(guī)律遵循考慮啟動壓力梯度的非達西滲流運動方程[5-6,13]

式中，λ為氣--水兩相滲流的啟動壓力梯度；r為徑向距離；p為地層壓力；k為巖石滲透率；υ為滲流速度；μ為流體黏度.

(3)假定壓敏效應(yīng)引起的煤層滲透率變化為關(guān)于地層壓力的指數(shù)函數(shù)[20-21]

(4)基質(zhì)表面解吸的煤層氣直接進入裂隙，通過引入臨界解吸壓力和解吸系數(shù)，在常規(guī)的控制方程中添加恒定的源項(穩(wěn)定解吸)和非恒定的源項(不穩(wěn)定解吸)來表達煤層氣的解吸作用[2226]，建立一種考慮煤層氣解吸的均勻介質(zhì)模型.

(5)假定煤層氣臨界解吸壓力pc與初始地層壓力大致相等，煤層壓降區(qū)域內(nèi)都發(fā)生解吸.

(6)煤層氣解吸后流向井筒，越靠近煤層氣井，含氣飽和度越高，而動邊界以外地層壓力保持為初始壓力，為未解吸區(qū)域；參照文獻[26]中提出的兩區(qū)線性分布模型，假定從井筒到動邊界δ處(對應(yīng)啟動壓力梯度的動邊界位置)的范圍內(nèi)煤層氣藏的含氣飽和度服從線性遞減分布[26](圖2)；假定井底含氣飽和度Sg well在一定的生產(chǎn)時間內(nèi)保持不變；動邊界處含氣飽和度為初始含氣飽和度Sg ini.

圖2 含氣飽和度分布隨時間變化示意圖Fig.2 The schematicsof the changeof thegas saturation distribution w ith time

根據(jù)試井解釋技術(shù)中分相處理方法[2627]，建立了煤層氣藏的氣--水兩相滲流模型.在單相滲流相關(guān)公式基礎(chǔ)[2123]上，基于氣--水兩相滲流方程，從綜合彈性壓縮系數(shù)和流度兩個關(guān)鍵參數(shù)出發(fā)，進行了氣--水兩相滲流公式的修正.

修正后的氣--水兩相滲流模型的綜合壓縮系數(shù)可表示為[26-27]

式中，Sg為煤層的含氣飽和度；Cg為氣體的等溫壓縮系數(shù)；Cw為水的壓縮系數(shù).

修正后的氣--水兩相滲流模型的流度λt可表示為[26-27]

式中，μg為氣相黏度；μw為水相黏度；krg為氣相相對滲透率；krw為水相相對滲透率.

低滲透煤層有效動用區(qū)域內(nèi)存在吸附氣的穩(wěn)定解吸與不穩(wěn)定解吸，并通過在控制方程中分別添加恒定的源項α1D和非恒定的源項α2D·(pD-pcD)來表示；其中，穩(wěn)定解吸代表煤層吸附氣的穩(wěn)定解吸作用，而不穩(wěn)定解吸與壓力的降低程度有關(guān)[2,2224]；由此推導(dǎo)了低滲透煤層氣藏的氣--水兩相滲流耦合模型.

模型的控制方程為

其中

為了提高模型精度，式(5)保留了二次壓力梯度項γD·(?pD/?rD)2[15,21,28].建模過程中將依賴于地層壓力的指數(shù)形式,即式(2),代入質(zhì)量守恒方程時會產(chǎn)生該項.

初始條件為

考慮井筒儲集和表皮效應(yīng)的定流量內(nèi)邊界條件為[23,26]

其中

表征煤層有效動用范圍隨時間而變化的動邊界條件為[21-23]

式中，pD為無因次地層壓力；pcD為無因次臨界解吸壓力；rD為無因次徑向距離；tD為無因次時間；γD為表征巖石壓敏效應(yīng)對煤層滲透率影響的無因次滲透率模量；λD為無因次啟動壓力梯度；δ為無因次動邊界距離；α1D為無因次穩(wěn)定解吸系數(shù)[2226]；α2D為無因次不穩(wěn)定解吸系數(shù)[2226]；pWD為無因次井底壓力；CD無因次井筒儲集系數(shù)；S為表皮因子.

無量綱變量定義為

其中，α1和α2分別為煤層氣穩(wěn)定解吸系數(shù)和不穩(wěn)定解吸系數(shù)[2226]；?μ為兩相流體的等效黏度；h為煤層厚度；rw為井筒半徑；φ0為煤層的初始孔隙度；C為井筒儲集系數(shù)；q為地層條件下的流體流量；pw為井底壓力；pc為臨界解吸壓力[2226].上述所有有量綱的參數(shù)單位均為統(tǒng)一單位制.

3 模型計算方法

由于數(shù)學(xué)模型存在動邊界，滲流區(qū)域并非固定，而是隨著時間逐漸向外擴展；在數(shù)值求解時，為克服瞬時流動區(qū)域網(wǎng)格劃分的難題，引入如下空間坐標變換[21,28-29]

式(13)經(jīng)坐標變換后，具有動邊界的數(shù)學(xué)模型可轉(zhuǎn)化為具有定邊界的數(shù)學(xué)模型，具體的公式推導(dǎo)方法可參照文獻[21].本文采用全隱式的有限差分方法對轉(zhuǎn)化后的非線性數(shù)學(xué)模型進行數(shù)值求解.建立差分方程時，一階導(dǎo)數(shù)采用一階向前差分，二階導(dǎo)數(shù)采用二階中心差分.最后，采用New ton-Raphson迭代方法[21]對差分方程進行數(shù)值求解.

當CtD/λtD,Aλ=1.0時，模型可退化為單相情形,數(shù)值結(jié)果可與現(xiàn)有的利用其他方法所求得的模型計算結(jié)果[30]進行對比，以驗證本文數(shù)值計算方法的正確性.圖3為λD=0.1時，在雙對坐標中關(guān)于無因次瞬時井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的模型計算結(jié)果對比.由圖3可以看出，本文與文獻[30]的數(shù)值結(jié)果吻合較好，由此驗證了本文計算方法的正確性.

圖3 數(shù)值計算方法的正確性驗證Fig.3 The verificatio of the correctnessof thenumericalmethod

4 結(jié)果分析

根據(jù)煤層氣生產(chǎn)實際情況，煤層氣--水兩相滲流模型的無因次的基礎(chǔ)參數(shù)數(shù)據(jù)為：λD=0.2，α1D=-0.00001，α2D=-0.00001，PcD=0，γD=0.001，CD=20.0，S=10.0，束縛水飽和度Swc=0.15，Sg ini=0.1，Sgwell=0.65，Cg/Cw=25，Cf/Cw=0.5，μw/μg=100；水相和氣相的相對滲透率計算公式[26]為

采用上述數(shù)據(jù)作為模型輸入?yún)?shù)進行了煤層氣--水兩相滲流耦合模型的計算，并對模型的數(shù)值計算結(jié)果進行了分析.

4.1 忽略二次壓力梯度項的計算誤差分析

由于考慮了煤層壓敏效應(yīng)所引起的煤層滲透率的指數(shù)變化，在推導(dǎo)煤層氣滲流模型時，控制方程式(5)會產(chǎn)生二次壓力梯度項[15,21,28]γD(?PD/?rD)2,其系數(shù)為無因次滲透率模量γD.圖4為忽略二次壓力梯度項對無因次瞬時井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響曲線.由圖4可以看出，當γD=0.015時，保留了二次壓力梯度項才可反映出無因次滲透率模量γD對無因次瞬時井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響；無因次時間越長，影響越明顯；然而，如果忽略二次壓力梯度項，γD=0.015與γD=0分別對應(yīng)的無因次瞬時井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線將重合在一起.

圖4忽略二次壓力梯度項的影響Fig.4 The e ff ectof neglecting thequadratic pressuregradient term

圖5 為γD=0.015時，忽略二次壓力梯度項所引起的瞬時井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的絕對誤差與相對誤差.由圖5可以看出，忽略二次壓力梯度項對瞬時井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)計算的影響顯著，造成壓力導(dǎo)數(shù)計算的相對誤差更大；無因次時間越長，瞬時井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)的相對誤差也會越大，壓力導(dǎo)數(shù)計算的最大相對誤差超過了20%.因此，該低滲透煤層氣--水兩相滲流耦合模型應(yīng)考慮二次壓力梯度項的影響.

圖5 忽略二次壓力梯度項所引起的絕對誤差與相對誤差Fig.5 Theabsoluteerrorand the relativeerror caused by neglecting the quadratic pressuregradient term

4.2 滲流動態(tài)分析

圖6為不同時刻下，關(guān)于無因次綜合壓縮系數(shù)CtD與無因次流度λtD比值的空間分布曲線.由圖6可以看出，在煤層的有效動用區(qū)域內(nèi)，CtD與λtD的比值小于1.0；由曲線的變化特征還可看出，徑向距離rD越小，CtD與λtD的比值也越小，氣--水兩相滲流特征越明顯；隨時間的延長，CtD與λtD比值也越小，氣--水兩相滲流特征也越明顯，這是由于隨著地層壓力持續(xù)降低，煤層吸附氣不斷解吸至含水的煤層中；然而，CtD與λtD比值變化幅度會越來越小.

圖6無因次綜合壓縮系數(shù)CtD與無因次流度λtD比值的變化Fig.6 The changeof the ratio of the dimensionless comprehensive compressibility CtDto the dimensionless fluiditλtD

圖7 為無因次穩(wěn)定解吸系數(shù)α1D與無因次不穩(wěn)定解吸系數(shù)α2D對無因次瞬時井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)特征曲線影響.由圖7可以看出，煤層氣解吸作用會使無因次瞬時井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線的后期下掉，無因次瞬時井底壓力降低.這是由于在煤層氣穩(wěn)定解吸和不穩(wěn)定解吸的作用下，煤層氣不斷解吸出來，及時補充到煤層氣藏中，減緩了地層壓力的降落，導(dǎo)致無因次瞬時井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)的下降.煤層氣解吸作用的這一影響特征已由實際煤層氣井試井數(shù)據(jù)制作出的井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的雙對數(shù)特征曲線所證實[31].

圖7無因次吸附氣解吸系數(shù)的影響Fig.7 Thee ff ectof the dimensionless coe ffi cientof the desorption of adsorbed gas

圖8 為井底含氣飽和度Sg well對無因次瞬時井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)特征曲線的影響.由圖8可以看出，井底含氣飽和度Sg well越大，無因次瞬時井底壓力及井底壓力導(dǎo)數(shù)越小；無因次時間越長，井底含氣飽和度Sg well的影響會越明顯.由煤層含氣飽和度的表達式可知，井底含氣飽和度Sg well越大，煤層壓降區(qū)域內(nèi)含氣飽和度也越大，表征流體流動能力無因次流度值也會增大；綜合壓縮系數(shù)也會增大，但不足以抵消煤層中流體流動能力提升對兩相滲流的影響，因而延緩了地層壓力的降落，地層壓力降落的速度也變慢.

圖8含氣飽和度的影響Fig.8 Thee ff ectof thegassaturation

圖9 為無因次啟動壓力梯度λD對無因次瞬時井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)特征曲線的影響.圖9表明,無因次啟動壓力梯度越大，無因次井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)也越大，雙對數(shù)曲線向上抬升，而無因次啟動壓力梯度影響的敏感性會減弱.這是由于啟動壓力梯度的存在會造成消耗更多的地層能量，加劇了地層壓力的降落.

圖9 無因次啟動壓力梯度的影響Fig.9 Thee ff ectof the dimensionless threshold pressuregradient

5 結(jié)論

(1)采用試井解釋中的分相處理方法，建立了低滲透煤層氣藏的氣--水兩相滲流耦合模型.該模型不僅可以描述煤層氣生產(chǎn)時由于啟動壓力梯度存在而產(chǎn)生的可表征煤層有效動用范圍隨時間變化的移動邊界，而且還可以考慮有效動用區(qū)域內(nèi)煤層氣的穩(wěn)定解吸與不穩(wěn)定解吸作用，以及吸附氣解吸所引起的煤層含氣飽和度的變化.

(2)采用了穩(wěn)定的全隱式有限差分方法進行了模型的數(shù)值求解，并進行了數(shù)值計算方法的正確性驗證.

(3)模型計算結(jié)果表明：①保留二次壓力梯度項才可反映出無因次滲透率模量對無因次瞬時井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)的影響；忽略二次壓力梯度項會產(chǎn)生較大的相對誤差.②徑向距離越小，CtD與λtD比值也越小，氣--水兩相滲流的特征更明顯.③煤層氣解吸作用會使無因次瞬時井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線的后期下掉.④煤層壓降區(qū)域內(nèi)含氣飽和度越大，流體在煤層中流動能力會越強，因而會延緩地層壓力的降落.⑤啟動壓力梯度越大，無因次瞬時井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)的雙對數(shù)曲線向上抬升，然而其影響的敏感性會減弱.

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DYNAM IC ANALYSISON GAS--WATER TWO-PHASEUNSTEADY SEEPAGE FLOW IN LOW-PERMEABLECOALBEDGASRESERVOIRS1)

LiuWenchao?,2)Liu Yuewu?,3)?

(SchoolofCiviland Resource Engineering，University ofScience and Technology Beijing，Beijing 100083，China)?(Institute ofMechanics，Chinese Academy ofSciences，Beijing 100190，China)

At present,the research on the seepage fl w models in low-permeable coalbeds is only lim ited to the single phase fl w cases,which simultaneously considerate the existence of threshold pressure gradient in the seepage fl w process,itsproducedmoving boundary and thedesorption functionofadsorbed gasinside themovingboundary;however,the research on the gas and water two-phase seepagemodelsw ithmoving boundaries,which aremore consistentw ith the actual situations,has not been reported yet.In comprehensive consideration of these influentia factors including the desorption function of the adsorbed gas in coalbeds,gas-water two-phase seepage fow,the non-Darcy seepage fl w characteristics in the low-permeable formations,the stress-sensitive e ff ectof the formation,etc.,modeling the gas-water two-phase seepage fl w in low-permeable coalbeds is studied in this paper.According to the“phase separation”methodinvolved in thewell testing technology,both the comprehensive compressibility coe ffi cientand the fluidit aremodifie for the two-phase seepage fl w problem;and then based on the assumption of the linear spatial distribution of the gas saturation,a coupledmodelof gas-water two-phase seepage fl w in low-permeable coalbeds isbuilt.Themathematical model can notonly depict themoving boundary that represents the change of the e ff ectively disturbed coalbed areaw ith time due to the existence of threshold pressure gradient in the seepage fl w process in low-permeable coalbeds,butalso can depict the desorption phenomenaof the adsorbed gas in the e ff ectively disturbed coalbed area,and the increase of the gas saturation in coalbeds caused by the desorption function of the adsorbed gas;furthermore,in order to improve the accuracy of themodel,the quadratic pressure gradient term is retained in the governing equation of themodel.A fully implicit finit di ff erencemethod isadopted to numerically solve themodel,and the correctnessof thenumericalmethod is also verified Eventually,the log-log type curves regarding the transientwellbore pressure response and its derivative are obtained from themodel,and then the sensitive-e ff ectsof some seepage fl w parameters can beanalyzed.The presented research resultsin thepapercan provide theoretical foundationsofseepage fl wmechanics for thewell testing technology for the gas-water two-phase seepage fl w in the developmentof low-permeable coalbed gas reservoirs.

coalbedmethane,threshold pressuregradient,desorption of theabsorbed gas,moving boundary,two-phase fl w,finit di ff erencemethod

O357.3

A

10.6052/0459-1879-17-034

2017-01-10收稿，2017-04-10錄用,2017-04-10網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(51404232)、中國博士后基金(2014M 561074)和國家科技重大專項(2011ZX05038003)資助項目.

2)劉文超，講師，主要研究方向：滲流力學(xué).E-mail：w cliu 2008@126.com

3)劉曰武，研究員，主要研究方向：滲流力學(xué).E-mail：lywu@imech.ac.cn

劉文超,劉曰武.低滲透煤層氣藏中氣--水兩相不穩(wěn)定滲流動態(tài)分析.力學(xué)學(xué)報,2017,49(4)：828-835

LiuWenchao,Liu Yuewu.Dynam ic analysison gas--water two-phase unsteady seepage fl w in low-permeable coalbed gas reservoirs.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：828-835