孔新雷 吳惠彬

1)(北方工業(yè)大學理學院,北京100144)2)(北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,北京100081)

B irkhoff系統(tǒng)的離散最優(yōu)控制及其在航天器交會對接中的應用?

孔新雷1)?吳惠彬2)

1)(北方工業(yè)大學理學院,北京100144)2)(北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,北京100081)

(2016年10月26日收到;2016年12月25日收到修改稿)

由于非線性,最優(yōu)控制問題通常依賴于數(shù)值求解,即通過離散目標泛函和受控運動方程轉化為一有限維的非線性最優(yōu)化問題.最優(yōu)控制問題中的受控運動方程在表示為受控Birkhoff方程的形式之后,可以利用受控Birkhoff方程的離散變分差分格式進行離散.與按照傳統(tǒng)差分格式近似受控運動方程相比,此途徑可以誘導更加真實可靠的非線性最優(yōu)化問題,進而也會誘導更加精確有效的離散最優(yōu)控制.應用于航天器交會對接問題,該種數(shù)值求解最優(yōu)控制問題的方法在較大時間步長的情況下仍然求得了一個有效實現(xiàn)交會對接的離散最優(yōu)控制.模擬結果驗證了該方法的有效性.

Birkhoff系統(tǒng),最優(yōu)控制,非線性規(guī)劃,交會對接

1 引言

Birkhoff系統(tǒng)是由如下形式的Birkhoff方程

所描述的一類動力學系統(tǒng)[1],其中a(t)=(a1(t),a2(t),···,a2n(t))代表系統(tǒng)的位形空間變量,函數(shù)B(t,a)和Ri(t,a)分別稱為系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組.作為經(jīng)典HaMilton系統(tǒng)的自然推廣,Birkhoff系統(tǒng)不僅能夠涵蓋更多的實際力學系統(tǒng),而且由于其源于Pfaff-Birkhoff變分原理,因而具備優(yōu)良的變分特性.與Lagrange系統(tǒng)相比,Birkhoff系統(tǒng)在保持變分特性的同時還具備明顯的辛結構.因此,Birkhoff系統(tǒng)為變分特性和辛結構提供了理想的共棲環(huán)境.這一共棲特性奠定了Birkhoff系統(tǒng)動力學研究的基礎.

基于Birkhoff系統(tǒng)的變分特性,相關研究成果涉及了動力學系統(tǒng)的Birkhoff化[2,3]、Birkhoff系統(tǒng)的對稱性和積分方法[4?6]、Birkhoff系統(tǒng)的變分差分格式[7?9]以及進一步向廣義Birkhoff系統(tǒng)推廣[10,11].基于Birkhoff系統(tǒng)所具有的時變辛形式,可以構造系統(tǒng)的幾何表示和保辛算法[12?14],研究系統(tǒng)的對稱約化[15].這些研究成果有效充實了Birkhoff系統(tǒng)動力學的理論體系,但大多只是集中于Birkhoff系統(tǒng)自身的分析、代數(shù)和幾何性質,而對Birkhoff系統(tǒng)的控制理論并沒有涉及.人們在研究實際物理運動時并不總是停留在觀測物體的現(xiàn)有運動上,更多時候是希望能夠影響或改變物體的運動,這就涉及到力學系統(tǒng)的控制問題.

本文將最優(yōu)控制問題中的受控運動方程納入Birkhoff系統(tǒng)的框架下,得到Birkhoff系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題,并利用受控Birkhoff系統(tǒng)的離散變分差分格式離散運動方程,將最優(yōu)控制問題轉化為非線性最優(yōu)化問題,進而通過非線性規(guī)劃方法實現(xiàn)對最優(yōu)控制問題的有效數(shù)值求解.

2 Birkhoff系統(tǒng)的離散最優(yōu)控制

一般的最優(yōu)控制問題可以描述為:對一個受控的動力學系統(tǒng)或運動過程,從一類允許的控制方案中找出一個最優(yōu)控制方案,使系統(tǒng)的運動在由某個初始狀態(tài)轉移到指定目標狀態(tài)的同時,其性能指標值為最優(yōu).借助數(shù)學語言,最優(yōu)控制問題對應如下條件極值問題:

在約束條件

在約束條件

下,目標泛函

關于F=(F1,···,Fj,···,F2n)取得極值,其中a0是原始系統(tǒng)經(jīng)Birkhoff化后對應系統(tǒng)的初始狀態(tài),a1是系統(tǒng)所要達到的目標狀態(tài),B(t,a)和Ri(t,a)分別是受控運動系統(tǒng)˙x=f(x,F)經(jīng)Birkhoff化后對應的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組.

通常情況下,由于非線性,上述形式的最優(yōu)控制問題往往依賴于數(shù)值求解而非解析求解.直接法作為數(shù)值求解方法之一,主要是通過利用傳統(tǒng)差分格式直接離散目標泛函和受控運動方程,將最優(yōu)控制問題轉化為一有限維的非線性規(guī)劃問題進行求解.然而,人為地采用傳統(tǒng)差分格式離散受控運動方程不可避免地會破壞系統(tǒng)原有的幾何結構,進而降低所得到的非線性規(guī)劃問題的真實性和可靠性,最終也會影響所求得的離散最優(yōu)控制的精確性和有效性.因此,為了更加精確有效地數(shù)值求解最優(yōu)控制問題,受控運動方程的離散方式需要加以改進.

對于受控Birkhoff系統(tǒng)而言,離散變分差分格式被驗證是一種更加精確有效的數(shù)值算法.與傳統(tǒng)差分格式相比,受控Birkhoff系統(tǒng)的離散變分差分格式來源于離散后的Pfaff-Birkhoff-D’A lembert原理,在誘導過程中兼顧了系統(tǒng)原有的變分特性和幾何結構,因而在精度、穩(wěn)定性、長時間能量跟蹤等方面呈現(xiàn)出明顯的計算優(yōu)越性[16].鑒于此,在數(shù)值求解Birkhoff系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題時,受控Birkhoff系統(tǒng)的離散變分差分格式是離散受控運動方程更加理想的標尺.依據(jù)上述思路,可按照如下方式將Birkhoff系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題直接離散.

首先,將所考慮的時間區(qū)間[0,T]等分為N份,令時間步長τ=T/N,進一步在離散時間節(jié)點處利用和分別近似和那么采用矩形格式或梯形格式等傳統(tǒng)積分逼近格式近似積分可得

對應地,目標泛函就可以離散為

其次,受控運動方程采用受控Birkhoff系統(tǒng)的離散變分差分格式進行離散.在連續(xù)情形下,Pfaff-Birkhoff-D’A lembert原理,即

誘導了受控Birkhoff方程

對照連續(xù)情形,直接離散后的Pfaff-Birkhoff-D’A lembert原理,即

對應地誘導了離散受控Birkhoff方程

最后,對照連續(xù)與離散情形下的Pfaff-Birkhoff-D’A lembert原理,令端點處的變分項對應相等,就可以自然合理地離散最優(yōu)控制問題中的邊值條件[17].

經(jīng)過上述離散過程之后,Birkhoff系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題就轉化為如下有限維的非線性最優(yōu)化問題:

在約束條件

下,離散目標泛函

對于上述離散所得的最優(yōu)化問題,可以借助已有成熟的非線性規(guī)劃方法直接求解,諸如序列二次規(guī)劃[18]等.由于上述最優(yōu)控制問題的離散過程考慮到了受控運動方程的內在幾何結構,離散結果相對更加真實,因而最終求得的離散最優(yōu)控制也相對更加精確.另外,在保證離散劃分結點充分細密的情況下,所求得的離散最優(yōu)控制可以實現(xiàn)預期控制目的[17].

3 航天器交會對接過程的離散最優(yōu)控制

真實的航天器交會對接過程分為四個階段:地面導引、自動尋的、最后接近和停靠、對接合攏,每一個階段實際上都涉及到深刻的基礎理論和復雜的尖端技術.本文僅考慮一個簡化后的模型:假設目標航天器在近圓軌道上做無動力慣性飛行,而追蹤航天器在自身推力和地球引力的作用下,經(jīng)過變軌機動達到與目標航天器一致的運動狀態(tài).在這種假設下,兩個航天器的交會對接過程就轉化為追蹤航天器的變軌過程,如圖1所示.

圖1 航天器交會對接示意圖Fig.1.The sketch of the rendezvous and docking of spacecrafts.

根據(jù)牛頓第二定律和動量矩定理,追蹤航天器在變軌過程中的運動方程為

其中(r,θ)是極坐標系下追蹤航天器的位形空間坐標,u是追蹤航天器的自身推力,m是追蹤航天器的質量,M代表地球質量,G是萬有引力常數(shù).對應地,航天器交會對接過程的最優(yōu)控制問題,即追蹤航天器變軌過程的最優(yōu)控制問題為:

在約束條件

在受控運動方程中,令

則方程可以轉化為一階形式

進一步,取Birkhoff函數(shù)組、Birkhoff函數(shù)和廣義力分別為

則一階常微分方程組等價于受控Birkhoff方程

在將受控運動方程重新表示為受控Birkhoff方程之后,就可以利用受控Birkhoff系統(tǒng)的離散變分差分格式進行離散,從而實現(xiàn)更加精確有效的數(shù)值求解最優(yōu)控制問題.離散后可得非線性最優(yōu)化問題.

在約束條件

除地球質量M=6×1024和萬有引力常數(shù)G=6.67×10?11之外,參考神州十號飛船與天宮一號對接過程的有關數(shù)據(jù),人為地取定參數(shù):r0=(6371+330)×103,r1=(6371+350)×103,θ0=0,θ1=3π/2,T=2500,N=500,τ=5,m=8×103.求解上述非線性最優(yōu)化問題可得離散最優(yōu)控制力如圖2所示.在所求得的離散最優(yōu)控制力的作用下,追蹤航天器的數(shù)值運行軌跡如圖3所示.

受限于非線性規(guī)劃問題的維數(shù),整個最優(yōu)控制過程被劃分為500段,因此,時間步長τ=T/N=5.顯然,在這種時間步長尺度下,經(jīng)離散所得到的非線性規(guī)劃問題是對原始最優(yōu)控制問題一種比較粗糙的近似,故而求得的離散最優(yōu)控制曲線并不平滑.然而,在該離散最優(yōu)控制力的作用下,追蹤航天器的數(shù)值運動軌跡卻近乎光滑,同時也符合預期.這更加說明了本文所提出的Birkhoff系統(tǒng)的離散最優(yōu)控制方法在數(shù)值求解最優(yōu)控制問題時的精確性和有效性.

圖2 離散最優(yōu)控制力{u}=0Fig.2.D iscrete op tiMal control{u}=0.

圖3 追蹤航天器的數(shù)值運行軌跡Fig.3.The nuMerical tra jectory of the tracking spacecraft.

4 結論

在Birkhoff系統(tǒng)動力學的框架下,通過將最優(yōu)控制問題中的受控運動方程重新表示為受控Birkhoff方程,并進一步利用受控Birkhoff系統(tǒng)的離散變分差分格式進行離散,最優(yōu)控制問題被轉化為一個有限維的非線性最優(yōu)化問題.這一數(shù)值求解最優(yōu)控制問題的方法在本文中被稱為Birkhoff系統(tǒng)的離散最優(yōu)控制方法.適用于航天器交會對接問題,該方法在較大時間步長的情況下依然求得了一個有效實現(xiàn)交會對接的離散最優(yōu)控制策略,其可靠性和有效性得到了驗證.

限于最優(yōu)化問題的維數(shù),航天器交會對接過程僅被劃分為500段.直觀上,較密離散劃分下得到的最優(yōu)化問題要比相對較疏離散劃分下的最優(yōu)化問題更能真實地近似原始最優(yōu)控制問題,相應地也就能夠誘導更加精確的離散最優(yōu)控制.因此,加細節(jié)點劃分是提高所求離散最優(yōu)控制精確性的一個途徑.然而,伴隨劃分節(jié)點的加細變密,最優(yōu)化問題的維數(shù)也相應增加,再加之非線性,求解最優(yōu)化問題也變得愈加復雜.因此,如何在保證計算精度的前提下,有效求解高維非線性最優(yōu)化問題就成為一個亟待解決的問題.針對該問題,可行的研究方案之一是利用Birkhoff系統(tǒng)的約化理論對最優(yōu)化問題進行約化降維[19,20].這種基于系統(tǒng)對稱性實現(xiàn)的約化,與通過直接減少離散節(jié)點數(shù)目實現(xiàn)的降維不同,理論上它不會降低整套方法的數(shù)值求解精度,伴隨先約化后重構的過程實現(xiàn)最優(yōu)化問題的有效求解.

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(Received 26 October 2016;revised Manuscrip t received 25 DeceMber 2016)

PACS:45.20.Jj,02.40.Yy,02.60.CbDOI:10.7498/aps.66.084501

*Pro ject supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.11602002,11672032),the Ou tstand ing Talents PrograMof Beijing(Grant No.2015000020124G 025),and the Excellent Young Teachers PrograMof North China University of Technology(G rant No.XN 072-041).

?Corresponding author.E-Mail:kongxin lei@ncut.edu.cn

D iscrete op tiMal control for B irkhoffi an systeMs and its app lication to rendezvous and docking of spacecrafts?

Kong Xin-Lei1)?Wu Hui-Bin2)

1)(College of Science,North China University of Technology,Beijing 100144,China)2)(School ofMatheMatics and Statistics,Beijing Institu te of Technology,Beijing 100081,China)

In general,optimal control prob leMs rely on numerically rather than analytically solving methods,due to their nonlinearities.The direct Method,one of the nuMerically solving Methods,isMainly to transforMthe optimal control probleMinto a nonlinear optiMization probleMw ith finite diMensions,via discretizing the ob jective functional and the forced dynaMical equations directly.However,in the procedure of the directmethod,the classical discretizations of the forced equations w ill reduce or aff ect the accuracy of the resulting optiMization probleMas well as the discrete optiMal control.In view of this fact,More accurate and effi cient nuMerical algorithMs shou ld be eMp loyed to approxiMate the forced dynaMical equations.As verified,the discrete variational diff erence schemes for forced Birkhoffi an systeMsexhibit excellent numerical behaviors in terMs of high accuracy,long-tiMe stability and p recise energy p rediction.Thus,the forced dynaMical equations in optimal control prob leMs,after being represented as forced Birkhoffi an equations,can be discretized according to the discrete variational diff erence scheMes for forced Birkhoffi an systeMs.CoMpared w ith the Method of eMp loying traditional diff erence scheMes to discretize the forced dynaMical equations,thisway yields faithful nonlinear optiMization p robleMs and consequently gives accurate and effi cient discrete op timal control.Subsequently,in the paper we are to app ly the p roposed Method of nuMerically solving op tiMal control probleMs to the rendezvous and docking prob leMof spacecrafts.First,weMake a reasonable siMp lifi cation,i.e.,the rendezvous and docking process of two spacecrafts is reduced to the p robleMof op timally transferring the chaser spacecraft w ith a continuously acting force froMone circu lar orbit around the Earth to another one.During this transfer,the goal is toMiniMize the control eff ort.Second,the dynaMical equations of the chaser spacecraft are represented as the forMof the forced Birkhoffi an equation.Then in this case,the discrete variational diff erence scheme for forced Birkhoffi an systeMcan be eMp loyed to discretize the chaser spacecraft’s equations ofMotion.W ith further discretizing the controleff ort and the boundary conditions,the resu lting nonlinear optiMization probleMisobtained.Finally,theoptiMization prob leMis solved directly by thenon linear programMingMethod and then the discrete op tiMal control is achieved.The obtained optiMal control is effi cient enough to realize the rendezvous and docking p rocess,even though it is only an app roxiMation of the continuous one.Simu lation resu lts fu lly verify the effi ciency of the proposed method for numerically solving optimal control p robleMs,if the fact that the tiMe step is chosen to be very large to liMit the diMension of the optiMization prob leMis noted.

Birkhoffi an system,op timal control,nonlinear programMing,rendezvous and docking

10.7498/aps.66.084501

?國家自然科學基金(批準號:11602002,11672032)、北京市優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助(青年骨干個人)(批準號:2015000020124G 025)和北方工業(yè)大學優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計劃(批準號:XN 072-041)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:kongxin lei@ncut.edu.cn

?2017中國物理學會C h inese P hysica l Society

http://w u lixb.iphy.ac.cn