鄭明亮，傅景禮

(1.浙江理工大學(xué) 機(jī)械設(shè)計(jì)與控制學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.浙江理工大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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約束Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究

鄭明亮1，傅景禮2

(1.浙江理工大學(xué) 機(jī)械設(shè)計(jì)與控制學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.浙江理工大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

給出了一種約束Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷方法.首先，提出將因系統(tǒng)奇異性導(dǎo)致的內(nèi)在限制方程看作是外在完整約束方程，采用Routh方法導(dǎo)出了約束Hamilton系統(tǒng)的相空間正則方程.其次，將約束Hamilton系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成力學(xué)梯度系統(tǒng)，給出轉(zhuǎn)化微分方程表示的條件和表達(dá)形式；接著，根據(jù)梯度系統(tǒng)的性質(zhì)結(jié)合李雅普諾夫的一次近似理論直接來判定約束Hamilton系統(tǒng)的平衡位置穩(wěn)定性.最后，舉例說明結(jié)果的應(yīng)用.

約束Hamilton系統(tǒng)；梯度系統(tǒng)；李雅普諾夫；穩(wěn)定性.

0 引 言

力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)、力學(xué)、航空、航海、航天、新技術(shù)和高技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用，發(fā)揮了越來越大的作用[1].關(guān)于穩(wěn)定性的問題，Lyapunov首先給出了穩(wěn)定性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，并提出一種研究運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的直接方法[2].Bottema[3]研究了лЯПУНОВ意義下，包括關(guān)于全部變量穩(wěn)定性和關(guān)于部分變量穩(wěn)定性.Risito[4]和Laloy[5]總結(jié)了保守系統(tǒng)和耗散系統(tǒng)的平衡和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，得到線性、齊次、定常非完整系統(tǒng)平衡位置穩(wěn)定與不穩(wěn)定的一些更特殊的結(jié)果.我國著名力學(xué)專家梅鳳翔[6]系統(tǒng)地論述了約束力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題.朱海平[7]研究了非完整系統(tǒng)的穩(wěn)定性.傅景禮等[8-9]研究了相對論性和轉(zhuǎn)動(dòng)相對論性Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.Zhang[10]利用Noether守恒量構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)，研究了廣義Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性.姜文安等[11]研究了廣義Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性.Cheng[12]研究了系統(tǒng)參數(shù)對帶附加廣義力項(xiàng)的約束力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響.如果一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)能夠成為梯度系統(tǒng)，那么就可用梯度系統(tǒng)的特性來研究力學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì),特別是穩(wěn)定性質(zhì)[13].梅鳳翔運(yùn)用梯度系統(tǒng)研究了一階Lagrange系統(tǒng)與二階Lagrange系統(tǒng)的穩(wěn)定性[14]，以及廣義Hamilton系統(tǒng)與梯度系統(tǒng)兩者之間的關(guān)系[15]，曹秋鵬等[16]研究了約束自治廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性的梯度系統(tǒng)方法.

在Legendre變換下，奇異Lagrange系統(tǒng)在過渡到相空間用Hamilton正則變量描述時(shí),其正則變量之間存在固有約束，稱之為約束Hamilton系統(tǒng)[17].機(jī)械工程和數(shù)學(xué)物理上許多重要的動(dòng)力系統(tǒng)正符合約束Hamilton系統(tǒng)模型，如非樹形多體機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型一般為微分-代數(shù)方程組形式[18]、光的橫移現(xiàn)象和量子電動(dòng)力學(xué)[19]等.但是，關(guān)于約束Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究一直鮮有報(bào)道.本文研究僅含第二類約束的約束Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性，基本思想是將奇異內(nèi)在約束等效成外在完整約束，方法是將其轉(zhuǎn)化成梯度系統(tǒng)形式，再直接利用Lyapunov定理來研究其平衡穩(wěn)定性的有關(guān)結(jié)論.

1 約束Hamilton系統(tǒng)的正則方程

Φj(t,p,q)=0,(j=1,…,n-r)

(1)

則約束Hamiltom系統(tǒng)的正則方程為[20]：

(2)

(3)

則方程(2)可簡寫為：

(4)

稱方程(4)為與約束Hamilton系統(tǒng)相應(yīng)的完整系統(tǒng)的正則方程.如果運(yùn)動(dòng)的初始條件滿足內(nèi)在限制約束方程(1)，即Φj(t,p0,q0)=0,(j=1,…,n-r)，則相應(yīng)完整系統(tǒng)(4)的解就給出約束Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).

2 約束Hamilton系統(tǒng)的梯度表示

梯度或者斜梯度系統(tǒng)的微分方程為[15]：

(5)

其中V=V(a)稱為勢函數(shù)，并不是力學(xué)中的勢能.而矩陣Aij(a)=-Aji(a)是反對稱的，為便于研究約束Hamilton系統(tǒng)的梯度表示，將方程(4)表為如下形式：

(6)

方程(4)一般不是一個(gè)梯度系統(tǒng)，如果滿足如下條件：

(7)

則方程(4)是一個(gè)梯度系統(tǒng).進(jìn)而，如果還滿足條件

(8)

則式(7)可變?yōu)椋?/p>

(9)

則可求得勢函數(shù)V=V(a)使得，

(10)

值得注意的是，對于一個(gè)確定的力學(xué)系統(tǒng),如果條件(7)不滿足，還不能斷定它不是一個(gè)梯度系統(tǒng).因?yàn)?，這與方程的一階表示有關(guān).

3 約束Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性

約束Hamilton系統(tǒng)的平衡位置a0滿足方程：

(11)

如果上述2n個(gè)代數(shù)方程彼此獨(dú)立，則平衡位置是孤立的.不同于非奇異系統(tǒng)，由于內(nèi)在固有限制約束的影響，約束Hamilton系統(tǒng)的平衡位置往往不是孤立的，而組成維數(shù)與限制方程有關(guān)的流形，其維數(shù)不小于齊次限制方程的數(shù)目.另外，約束Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可能存在平穩(wěn)解，但卻沒有循環(huán)積分，且限制方程中顯含循環(huán)坐標(biāo).因此，嚴(yán)格來講，約束Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究應(yīng)包括關(guān)于全部變量穩(wěn)定性和關(guān)于部分變量穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)流形的穩(wěn)定性等.

(12)

由于梯度系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)都只有實(shí)特征根，因此，特征根可為負(fù)，可為正，亦可為0.由Lyapunov一次近似理論可得[23]：約束Hamilton系統(tǒng)能夠成為一個(gè)梯度系統(tǒng)，如果它的一次近似特征方程的根皆為負(fù)，則平衡位置是漸近穩(wěn)定的；如果有正根，則是不穩(wěn)定的；如果有零根，且是單根，其余無正根，則平衡位置是穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定；如果零根為重根，則平衡位置是不穩(wěn)定的.

4 算例說明

設(shè)某力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為[24]：

其中非有勢廣義力Q1=Q2=0.試研究該系統(tǒng)平衡位置的穩(wěn)定性.

系統(tǒng)的廣義動(dòng)量為：

易驗(yàn)證這是約束Hamilton系統(tǒng)，系數(shù)矩陣的秩為r=0<2，系統(tǒng)哈密頓函數(shù)和約束方程為：

有約束相容條件易得到[21]：λ1=-q2,λ2=q1，則系統(tǒng)總能量函數(shù)HT=q1p2-q2p1.

將上式帶入式(4)或者式(6)可得約束Hamilton系統(tǒng)正則方程：

V(a)=HT=a1a4-a2a3.

容易驗(yàn)證系統(tǒng)的勢函數(shù)是一個(gè)定負(fù)函數(shù)，可成為系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù).

系統(tǒng)的平衡位置為：

系統(tǒng)的特征方程形式為：

特征根實(shí)部全是非正數(shù)，則此約束Hamilton系統(tǒng)的平衡位置零解是穩(wěn)定的.

5 結(jié)束語

本文將由于Lagrange函數(shù)奇異性而存在的內(nèi)在固有限制方程看作是外在完整約束方程，建立了約束Hamilton系統(tǒng)的正則方程，給出了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程成為梯度或者斜梯度系統(tǒng)的條件，一般說來，約束Hamilton系統(tǒng)是嚴(yán)格梯度系統(tǒng)的條件是很不容易滿足的，但不帶附加非有勢廣義力項(xiàng)的約束Hamilton一定是個(gè)斜梯度系統(tǒng).化成斜梯度系統(tǒng)后便可利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來研究這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文中內(nèi)容表明：約束Hamilton的總能量函數(shù)或者系統(tǒng)的積分可以成為斜梯度系統(tǒng)的勢函數(shù)，如果該勢函數(shù)又是一個(gè)Lyapunov函數(shù)，則系統(tǒng)的平衡零解穩(wěn)定.約束Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性在現(xiàn)代數(shù)理科學(xué)和工程技術(shù)中占有重要地位并廣為應(yīng)用，值得廣大科技工作者關(guān)注和深入研究.

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[責(zé)任編輯：徐明忠]

2017-03-20；

2017-03-22

鄭明亮(1988—)，男，安徽馬鞍山人，浙江理工大學(xué)博士研究生，主要從事分析力學(xué)、機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與控制方面的研究.

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1672-3600(2017)09-0014-04