■王 濤

“探索三角形全等的條件（第一課時(shí)）”教學(xué)實(shí)錄與反思

■王 濤

一、課堂實(shí)錄

1.復(fù)習(xí)定義，溫故知新。

圖1

師：（投影圖1。）我們來(lái)回顧一下，什么叫作全等三角形？

生1：兩個(gè)能完全重合的三角形叫作全等三角形。

師：（將△ABC向右平移與△DEF重合。）就像這樣，此時(shí)3對(duì)邊、3對(duì)角分別重合。也就是說(shuō)3對(duì)邊、3對(duì)角分別相等。

師：（依次標(biāo)注3對(duì)邊和3對(duì)角分別相等，如圖2。）因此當(dāng)兩個(gè)三角形3對(duì)邊、3對(duì)角分別相等，這兩個(gè)三角形必然全等。

圖2

2.創(chuàng)設(shè)情境，引出課題。

師：如果△ABC與△DEF是某建筑物上的兩塊全等的玻璃，但不小心損壞了一塊。（投影△DEF破碎的動(dòng)畫(huà)，如圖3。）請(qǐng)你打電話向安裝玻璃的師傅描述一下△ABC，你會(huì)說(shuō)什么？

圖3

5位學(xué)生依次表達(dá)了自己的想法。

師：他們說(shuō)的究竟對(duì)不對(duì)呢？這就是我們這節(jié)課要探討的課題，探索三角形全等的條件。（板書(shū)課題。）我們知道“3對(duì)邊、3對(duì)角分別相等”可以作為判定三角形全等的依據(jù)，但是用這6個(gè)條件來(lái)判定三角形全等是不是有點(diǎn)麻煩？

生眾：是。

師：我們來(lái)探討，減少邊或角的條件，它們是否依然全等？現(xiàn)在有兩種思路可以選，一種是在6個(gè)條件的基礎(chǔ)上逐步減少條件來(lái)探索。另一種思路是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從一個(gè)條件相等開(kāi)始探討。大家想選哪一種？

生眾：從簡(jiǎn)單到復(fù)雜。

師：那我們就從簡(jiǎn)單到復(fù)雜來(lái)探索，這是認(rèn)識(shí)問(wèn)題常用的一種方法。

3.體驗(yàn)分類(lèi)，逐一探索。

師：我們先從一個(gè)條件開(kāi)始探索，這一個(gè)條件可能是給定……（欲言又止）

生眾：給定一邊、一角。

師：你只告訴安裝師傅三角形的一條邊長(zhǎng)，他能切出與△ABC全等的玻璃嗎？

生7：不一定。因?yàn)橹唤o定一邊，所作的三角形的其余兩條邊長(zhǎng)可以不相等。也就是說(shuō)所作的三角形不一定重合，所以師傅不一定能切出與△ABC全等的玻璃。

師：很好，那給定一角，所作的三角形一定全等嗎？

生8：不一定，因?yàn)橹唤o定一角，所作的三角形的其余兩個(gè)內(nèi)角可以不相等，也就是說(shuō)所作的三角形不一定全等。

師：你說(shuō)的有道理。綜上，給定一個(gè)條件作出的三角形不一定全等。我們?cè)僭黾右粋€(gè)條件，探討兩個(gè)條件，這兩個(gè)條件可以是……（欲言又止）

生眾：給定兩邊、兩角、一邊一角。

師：我們來(lái)依次探索，給定兩邊，作出的三角形一定全等嗎？

生眾：不一定全等。

（實(shí)驗(yàn)素材：紅色、綠色磁力條若干，且紅色磁力條比綠色磁力條短，如圖4—圖14，用加粗線段代表紅、綠磁力條。）

圖4

師：（出示紅色、綠色磁力條。）給定兩邊，哪位同學(xué)愿意在白板上作出符合條件的三角形？

（生9在白板上作出了符合要求的兩個(gè)三角形，如圖5，圖中沒(méi)有加粗的一邊是學(xué)生利用三角板連接的線段。）

圖5

師：你能簡(jiǎn)單說(shuō)明一下嗎？

生9：可以，我作的兩個(gè)三角形，雖然有兩對(duì)邊分別相等，但是它們并不全等。這就說(shuō)明給定兩邊作出的三角形不一定全等。

師：你講的很有道理，非常好。那給定兩角呢？

生10：即使兩個(gè)三角形有兩對(duì)角分別相等，它們也不一定全等，它們可以一大一小。

師：你的意思是，兩對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形，雖然形狀相同，但是大小可以不一樣，是嗎？

生10：是的。

師：這就好比我手中的大三角板與你們筆袋中的小三角板，是哪一塊小三角板？舉起來(lái)讓我看看。（學(xué)生陸續(xù)舉起。）

師：很好，那給定兩角作出的三角形也不一定全等。如果給的是一邊一角呢？這個(gè)有點(diǎn)難，動(dòng)手畫(huà)畫(huà)看。（教師先在白板上給定一角α，如圖6，再巡視學(xué)生的畫(huà)圖過(guò)程，并邀請(qǐng)一位學(xué)生利用紅色磁力條在白板上作圖，如圖7。）

圖6

圖7

師：你可以簡(jiǎn)單說(shuō)明下嗎？

生11：我所作的這3個(gè)三角形，都符合一邊一角分別相等，但它們并不全等。這說(shuō)明給定一邊一角所作的三角形不一定全等。

師：你表達(dá)得非常清晰，真棒！（教師看著圖7，若有所思。）我想問(wèn)一下，是不是給定的一邊一定得是角α的夾邊？

生12：不一定，也可以是角α的對(duì)邊。

師：你來(lái)試試看。（生12在白板上作圖，如圖8。）符合要求的三角形一定全等嗎？

生12：不一定。（他在圖8的基礎(chǔ)上作了圖9。）

圖8

圖9

師：你真的很聰明，同學(xué)們掌聲鼓勵(lì)一下。這說(shuō)明給定一邊一角作出的三角形也不一定全等。綜上，給定兩個(gè)條件作出的三角形不一定全等。繼續(xù)探索，給定三個(gè)條件呢？你能說(shuō)出有哪幾種可能的情況嗎？

生13：給定三條邊、給定三個(gè)角、給定兩邊一角、給定兩角一邊。

師：你說(shuō)的順序和我想的一致，我們真是心有靈犀。大家覺(jué)得哪種情況更容易判斷？說(shuō)說(shuō)看。

生14：給定三個(gè)角更容易判斷，因?yàn)槿齻€(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形，形狀雖然相同，但大小可以不一樣。

師：你說(shuō)得真好。因?yàn)闀r(shí)間限制，我們只能再探索一種情況，研究哪一種好呢？

生眾：給定兩邊一角。

師：好，那其他情況留給同學(xué)們課后加以研究。兩邊一角，比如這個(gè)三角形（如圖10），你選哪兩邊哪一角呢？

圖10

6位學(xué)生分別進(jìn)行了不同選擇。

師：你們說(shuō)的可以歸納為兩類(lèi)，一類(lèi)是兩邊和它的夾角，另一類(lèi)是兩邊和它一邊的對(duì)角。我們先來(lái)探索給定兩邊和它一邊的對(duì)角作出的三角形是否全等，動(dòng)手畫(huà)畫(huà)看。（教師先在白板上給定兩邊m、n與角α，如圖11，再巡視學(xué)生的畫(huà)圖過(guò)程，并邀請(qǐng)一位學(xué)生利用紅、綠色磁力條在白板上作圖，他作圖如圖12。）

圖11

圖12

師問(wèn)生21：好了嗎？

生21：（有點(diǎn)遲疑）我覺(jué)得還能作出一種與它不全等的三角形，但不知如何下手。

師：你將紅、綠色磁力條換下位置試試看（如圖13）。

生21：（又在圖13的基礎(chǔ)上，作出圖14。）我想到了，只要將紅色磁力條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，就找到了另一個(gè)符合條件的三角形。

圖13

圖14

師：你真是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦的孩子，通過(guò)這個(gè)操作你得到了什么？

生21：給定兩邊和它一邊的對(duì)角作出的三角形不一定全等。

師：是的，那我們?cè)賮?lái)探索給定兩邊和它的夾角，按要求在透明紙上作△ABC。如圖15，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使∠B=∠α，AB=m，BC=n.

圖15

師：（巡視學(xué)生的畫(huà)圖過(guò)程并指導(dǎo)。）作好之后，組內(nèi)對(duì)比。每組選出代表，組間對(duì)比，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生眾：完全重合。

師：（操作幾何畫(huà)板。）請(qǐng)看大屏幕，改變?nèi)切蔚倪吇蚪?，按兩邊夾一角分別相等所作的三角形依然與已知三角形全等。

（課前教師在畫(huà)板工具中作好△ABC，并顯示AB、BC的長(zhǎng)度與∠B的角度。拖動(dòng)點(diǎn)A、C，改變△ABC的邊或角，AB、BC的長(zhǎng)度與∠B的角度也隨之改變；停止拖動(dòng)，利用畫(huà)板工具作DE= AB、∠E=∠B、EF=BC，連接DF獲得△DEF，平移△DEF，使之與△ABC重合。）

師：這說(shuō)明了什么？

生22：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。

4.講解新知，語(yǔ)言互譯。

（學(xué)生口述，教師板書(shū)上述結(jié)論。）

師：這是人們長(zhǎng)期實(shí)踐獲得的用來(lái)判定兩個(gè)三角形全等的一個(gè)基本事實(shí)?？梢院?jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”。（教師板書(shū)。）幾何中的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)三種語(yǔ)言，文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言。通常我們先將抽象的文字語(yǔ)言譯成更加直觀的圖形語(yǔ)言，如圖16，△ABC與△DEF的兩邊及其夾角分別相等，你選哪兩邊及其夾角分別相等？

圖16

3位學(xué)生分別進(jìn)行了不同選擇。

師：你們選的都可以，你（學(xué)生23）是第一個(gè)回答的，我選你說(shuō)的來(lái)標(biāo)注（如圖17）?，F(xiàn)在我們?cè)賹D形語(yǔ)言譯成簡(jiǎn)潔明了的符號(hào)語(yǔ)言，哪位同學(xué)試試看？

圖17

（生26口述，教師板書(shū)，過(guò)程略。）

師：符號(hào)語(yǔ)言你用得很規(guī)范，平時(shí)解幾何題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)將這三種語(yǔ)言進(jìn)行互譯，如果你能將它們緊密結(jié)合，你會(huì)發(fā)現(xiàn)幾何中定理與性質(zhì)其實(shí)很簡(jiǎn)單。友情提醒一下，在寫(xiě)判定的條件時(shí)，我們要注意順序，按照“邊角邊”的順序來(lái)寫(xiě)，而且第一個(gè)三角形中的邊與角通常要寫(xiě)在左邊。

5.拓展應(yīng)用，生活數(shù)學(xué)。

題目如下，講解略。

（1）找出圖18中的全等三角形，并說(shuō)明理由。

圖18

（2）已知，如圖19，AB=AD，∠BAC=∠DAC。先求證△ABC≌△ADC。再想想，BC＝DC嗎？CA平分∠DCB

圖19

（3）為了測(cè)量開(kāi)山修隧道的長(zhǎng)度，測(cè)量員的設(shè)計(jì)如圖20所示，O為AD的中點(diǎn)，B、C、O在同一條直線上，且OC=OB，已知CE=30m，DF=60m,只要測(cè)出AB的長(zhǎng)，就可得隧道EF的長(zhǎng),為什么？當(dāng)AB=250m時(shí)，求隧道EF的長(zhǎng)。

圖20

6.課堂小結(jié)，分享收獲。

師：還記得這節(jié)課探索了什么嗎？（投影圖21。）哪些不一定成立？一定成立的是什么？哪些還沒(méi)有探索？這就留給你課后去探討了。

圖21

二、教后反思

本課設(shè)計(jì)遵循的理念就是努力把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，尊重學(xué)生、信任學(xué)生。教師需要做好的是幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)的每一個(gè)階段和每一個(gè)具體活動(dòng)中都表現(xiàn)出明確的目的性，并且始終圍繞學(xué)習(xí)目的開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而保證學(xué)習(xí)的方向性和有效性。

透明紙、彩色磁力條、幾何畫(huà)板軟件的使用不僅省時(shí)，更為重要的是為學(xué)生提供了直觀體驗(yàn)，有助于理解、記憶抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論并發(fā)展抽象思維。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，教學(xué)中對(duì)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，即“換一種說(shuō)法”，可以更好地啟迪學(xué)生思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和靈活性。

本課遺憾的是，如果時(shí)間充足，就可以將三角形全等的條件全部探索出來(lái)，這樣學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)就更加完整。如果彩色磁力條有縮小版的，每人一份，那么探索活動(dòng)將更加有效。

（作者為江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)蒼梧校區(qū)教師）