云南省教育科學(xué)研究院 管尤躍

基于APOS理論下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式
——以《三角形的認(rèn)識(shí)》為例

云南省教育科學(xué)研究院 管尤躍

管尤躍云南省教育學(xué)會(huì)副秘書長(zhǎng)，云南省教育科學(xué)研究院小學(xué)數(shù)學(xué)教研員，貴州省教育廳特聘研究員，云南師范大學(xué)兼職教授。中國教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)學(xué)術(shù)委員，云南省教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)秘書長(zhǎng)。

精彩的課堂來自于課堂精彩之處，源于學(xué)生的心底之音。日常的、平常的、正常的，即所謂家常的、常態(tài)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就應(yīng)如水，來自山間，來自江河，更應(yīng)來自心靈，來自學(xué)生的感受和感悟，順其自然，順勢(shì)而導(dǎo)，順逆從容，順應(yīng)而生！

結(jié)合美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論——APOS理論。先分析對(duì)APOS理論四階段（活動(dòng)階段、過程階段、對(duì)象階段和圖式階段）的認(rèn)識(shí)，然后通過“三角形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)實(shí)踐嘗試了APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用，主要分析三角形的定義、特征以及底和高等多個(gè)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。

APOS理論 小學(xué)數(shù)學(xué)概念 教學(xué)模式 三角形的認(rèn)識(shí)

一、引言

我們都知道，數(shù)學(xué)概念就是數(shù)學(xué)知識(shí)的“細(xì)胞”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是一個(gè)不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的思維過程。高斯曾經(jīng)指出，在數(shù)學(xué)中重要的不是符號(hào)，而是概念。數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)客觀事物在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上經(jīng)過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動(dòng)，逐步認(rèn)識(shí)到它的本質(zhì)屬性以后才形成的。

由于數(shù)學(xué)具有高度抽象性，在教學(xué)中應(yīng)該注重體現(xiàn)概念的來龍去脈，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念從具體到抽象的過程，在運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。但在一線教學(xué)實(shí)踐中，很多教師認(rèn)為概念就是一種規(guī)定，就是一種定義，就是一種約定俗成，沒什么好講的，只要能記住就行；或者認(rèn)為小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念大多“顯而易見”，無須多講；或者淺嘗輒此，草草收?qǐng)觯?jié)省時(shí)間用來“刷題”。此現(xiàn)象在常態(tài)課中屢見不鮮，如何才能將小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)執(zhí)行“到位”？下面就結(jié)合APOS理論，以《三角形的認(rèn)識(shí)》為例，簡(jiǎn)要談一談小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式。

二、引論

APOS理論是20世紀(jì)80年代由美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出來的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論，這種理論具有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)科特色，被譽(yù)為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一。該理論認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要經(jīng)歷四個(gè)階段的心理建構(gòu)，即活動(dòng)階段（Action）、過程階段（Process）、對(duì)象階段（Object）和圖式階段（Scheme），簡(jiǎn)稱APOS。指出：學(xué)生學(xué)習(xí)是一個(gè)建構(gòu)的過程，建構(gòu)是有層次的，反映的是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程的真實(shí)的思維活動(dòng)。

盡管國內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)教學(xué)模式的解說不一，無法達(dá)成一致認(rèn)識(shí)，我更愿意接受這樣的觀點(diǎn)，教學(xué)模式指的是在一定教學(xué)思想指導(dǎo)下所建立的比較典型的、穩(wěn)定的教學(xué)程序或階段，又稱為“教學(xué)結(jié)構(gòu)”。教學(xué)模式源于教學(xué)實(shí)踐又反過來指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐，是人們?cè)陂L(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中不斷總結(jié)、改良之后逐步形成的。小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要地位和價(jià)值無須贅言，是否應(yīng)該有相對(duì)適用、合理而有效的模式可供參考和借鑒？大家所熟知的概念形成模式、同化模式、“七階段”模式等，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都得到了廣泛的認(rèn)同和使用。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)?！薄皵?shù)學(xué)概念具有過程和對(duì)象的雙重性，它既是邏輯分析的對(duì)象，又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過程?！?/p>

小學(xué)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程得到揭示和經(jīng)歷其發(fā)展過程成為制約小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的重要因素，APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的合理運(yùn)用，可以充分體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)概念的形成過程，充分反映學(xué)生個(gè)體認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的思維過程，充分揭示小學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)。更為重要的是，這與當(dāng)前我國新一輪課程改革所倡導(dǎo)的理念是一脈相承的。

基于此，我想以一節(jié)涉及很多數(shù)學(xué)概念的課為例，來分析如何使用APOS理論作為指導(dǎo)，突出各概念間的聯(lián)系，更為重要的是剖析概念之間以及概念域和特征之間的內(nèi)在聯(lián)系。

三、引例

下面將以人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《三角形的認(rèn)識(shí)》為例（不涉及三角形的穩(wěn)定性），在文中，僅就三角形的定義以及三角形的底和高的教學(xué)作為研究對(duì)象。請(qǐng)看教材：

值得我們一起思考的幾個(gè)問題：

1.教材中為何要以“找”三角形為情境，以“畫”三角形、“說”三角形為例題？

2.對(duì)于“由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連）叫作三角形。”這個(gè)定義是三角形的標(biāo)準(zhǔn)定義嗎？這個(gè)概念重要嗎？有多重要？如何組織、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)、歸納？是否需要準(zhǔn)確描述并記憶？

3.對(duì)于“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對(duì)邊叫三角形的底。”這一組概念域，如何形成？教學(xué)中的重難點(diǎn)如何突出、突破并使之順其自然、順理成章？

4.概念教學(xué)如何展開才能做到“自然而然”？概念域如何相得益彰？三角形的特點(diǎn)和概念域之間的本質(zhì)聯(lián)系及其內(nèi)涵如何凸顯？

根據(jù)《三角形的認(rèn)識(shí)》這節(jié)課“概念較多”的特殊情況以及APOS理論的階段特性，本文按照APOS理論的階段順序，打亂教學(xué)內(nèi)容順序的方式展開研究，以期能更好地體會(huì)四階段分步實(shí)施、交叉進(jìn)行、循序漸進(jìn)、水乳交融的過程，體會(huì)教學(xué)多個(gè)“單概念”之后形成一個(gè)“概念域”的思想。

1.活動(dòng)階段

在教學(xué)中不僅需要外在的動(dòng)作“活動(dòng)”，如操作、實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)等，也需要內(nèi)在的思維“活動(dòng)”，如回憶、思考、猜想、判斷等。這個(gè)階段，可以為學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也可以為數(shù)學(xué)概念的形成提供對(duì)象，不僅可以成為建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，也一定是數(shù)學(xué)概念認(rèn)知的基礎(chǔ)和前提。

（1）三角形的定義

活動(dòng)1：①外顯活動(dòng)——觀察。

同學(xué)們，你們知道這是哪兒?jiǎn)?？?qǐng)你找出圖中的三角形。

②內(nèi)隱活動(dòng)——回憶。

在生活中，你在哪兒見過三角形？

活動(dòng)2：①外顯活動(dòng)——操作。

看得出來，同學(xué)們對(duì)三角形都有認(rèn)識(shí)，但要清楚、準(zhǔn)確地理解三角形，還得請(qǐng)大家動(dòng)手畫一個(gè)三角形。

②內(nèi)隱活動(dòng)——思考、想象、判斷。

請(qǐng)你一邊畫，一邊思考：我是怎樣畫的？什么樣的圖形是三角形？

如果不畫三角形，請(qǐng)你想象一下三角形長(zhǎng)什么樣？有多少種樣子？

出示一組圖形，請(qǐng)學(xué)生判斷哪些是三角形，哪些不是。

（2）三角形的底和高

活動(dòng)3：①外顯活動(dòng)——操作。

師：三角形除了有3條邊、3個(gè)角和3個(gè)頂點(diǎn)以外，和平行四邊形、梯形一樣，三角形也有底和高嗎？那什么是三角形的高？什么又是三角形的底呢？請(qǐng)看教材第60頁的內(nèi)容。

讓學(xué)生嘗試說說什么是三角形的高，什么是三角形的底。

師：先想一想，怎樣在剛才畫的三角形（銳角三角形）內(nèi)畫出一條高？看誰畫得最規(guī)范。

師：怎樣正確地畫高呢？請(qǐng)一名同學(xué)來畫出黑板上這個(gè)三角形的高？邊畫邊說你是怎么畫的。

生：以A為頂點(diǎn)、BC邊為底畫一條高，先用三角板的一條直角邊與BC邊重合，另一條直角邊通過A點(diǎn)，然后從A點(diǎn)向它的對(duì)邊BC畫一條垂線，用虛線表示，標(biāo)出直角符號(hào)，頂點(diǎn)與垂足之間的線段就是三角形的高，寫上高，這條對(duì)邊叫作三角形的底，寫上底。

②內(nèi)隱活動(dòng)——思考、想象、判斷。

師：還是剛才這個(gè)三角形，換個(gè)位置你還能在BC邊上畫出它的高嗎？怎樣畫？請(qǐng)用手勢(shì)比劃比劃。再換一個(gè)位置呢？

師：你還能在這個(gè)三角形中畫出其他的高嗎？還能通過哪個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線畫高？

2.過程階段

如何將之前在學(xué)生頭腦中的“活動(dòng)”描述出來，并不斷地進(jìn)行分析和反思，通過思維的內(nèi)化和整合，形成過程模式，抽象出概念的本質(zhì)，即外在“活動(dòng)”內(nèi)化為隱形“過程”。在此階段中，學(xué)生個(gè)體會(huì)表現(xiàn)出一定的自動(dòng)化特點(diǎn)，不再需要實(shí)際的“活動(dòng)”而是在意識(shí)中思考“過程”。這個(gè)階段學(xué)生個(gè)體會(huì)“自動(dòng)”對(duì)此概念進(jìn)行一般化，對(duì)數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)從認(rèn)識(shí)上升到認(rèn)知、從感性上升到理性，初步形成數(shù)學(xué)概念。

（1）過程一：“畫”出三角形的定義。

師：你能用簡(jiǎn)單的話說說你是怎樣畫的嗎？請(qǐng)其他同學(xué)用手勢(shì)跟著畫。還有其他畫的方法嗎？（展示一般隨機(jī)而無序的畫法、按照某個(gè)方向有序連接的畫法、一條線段及線段外的某一點(diǎn)和先確定三個(gè)點(diǎn)再依次連線等不同的畫法。）

比較這幾種畫法，你認(rèn)為怎樣畫三角形更合理一些？

根據(jù)剛才的比較學(xué)習(xí)，再思考什么樣的圖形是三角形？請(qǐng)把你的想法寫下來。（根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)和語言特點(diǎn)，一般都只習(xí)慣于說表面現(xiàn)象：由三條線連起來的圖形就是三角形；有三個(gè)角的圖形就是三角形；或者反過來說，三角形有三個(gè)角和三條邊，三角形是由三條線組成的，等等。）

對(duì)于教學(xué)中的“生成”如何“順流而下”？需要的是教學(xué)智慧：有三條邊、三個(gè)角和三個(gè)頂點(diǎn)的圖形就是三角形嗎？

請(qǐng)大家想想剛才的這兩種畫法，是不是都有這樣的一個(gè)過程：

根據(jù)學(xué)生的語言情況適當(dāng)引導(dǎo)總結(jié)出怎樣的圖形才是三角形，特別要注意的是：在學(xué)生說出三角形有三個(gè)角、三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)等特征時(shí)，即可“隨機(jī)”板書。

再次根據(jù)“畫”三角形的過程，適時(shí)板書所形成的定義。

（2）過程2：“辨”出三角形的底和高

師：（第一次畫BC邊上的高）仔細(xì)觀察你畫的三角形的底和高，它們的位置有什么特點(diǎn)？（互相垂直）

師：三角形的底和高是一組互相垂直的線段。畫三角形的高實(shí)際上就是我們學(xué)過的過直線外一點(diǎn)，畫已知直線的垂線段。

三角形有三條邊和三個(gè)頂點(diǎn)，能畫出幾條高呢？

3.對(duì)象階段

對(duì)之前兩階段初步形成的數(shù)學(xué)概念，形成一個(gè)將“過程”看成“整體”的自覺意識(shí)，并對(duì)此概念進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)換，將動(dòng)態(tài)的“過程”慢慢凝聚為一般意義上的靜態(tài)的數(shù)學(xué)“對(duì)象”。“對(duì)象階段”是一個(gè)內(nèi)在的思維活動(dòng)過程，此時(shí)概念即從動(dòng)態(tài)的活動(dòng)過程轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N靜態(tài)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，有助于對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)進(jìn)行整體把握。

對(duì)象：聯(lián)系與拓展（也是一種“內(nèi)隱活動(dòng)”）

請(qǐng)同學(xué)們完成教材第60頁的“做一做”：

師：剛才我們知道了一個(gè)三角形有幾條高？你能作出后面兩個(gè)三角形其他兩條邊上的高嗎？怎樣作呢？為什么會(huì)是這樣子呢？（結(jié)合剛才學(xué)習(xí)的“底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，聯(lián)系三條邊和三個(gè)頂點(diǎn)的關(guān)系，知道任意一個(gè)三角形都有三條高。直角三角形和鈍角三角形也有三條高，清晰地知道并畫出特殊位置上的高。教學(xué)雖然不要求，但這是一個(gè)必須經(jīng)歷的完整的認(rèn)識(shí)過程，更是領(lǐng)悟概念本質(zhì)、厘清概念內(nèi)涵和外延的重要組成部分。）

4.圖式階段

此階段中，學(xué)習(xí)個(gè)體對(duì)之前進(jìn)行的活動(dòng)、過程和對(duì)象以及認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與此概念相關(guān)的其他概念進(jìn)行相應(yīng)的整合，在頭腦中產(chǎn)生一個(gè)新的心理圖式。該階段是學(xué)習(xí)個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行更高層次的心理加工與整合的過程，有助于對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用進(jìn)一步深化。

圖式：聯(lián)絡(luò)與整合

師：剛才我們學(xué)習(xí)了三角形的定義、特征以及三角形的底和高，這些都是一個(gè)個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)嗎？它們之間有沒有本質(zhì)的聯(lián)系？請(qǐng)大家聯(lián)系以前學(xué)過的和今天所學(xué)習(xí)的知識(shí)仔細(xì)想一想。

引導(dǎo)學(xué)生觀察：定義、特征之間有沒有什么關(guān)系？找到：三條邊就是圍成三角形的三條線段，在“圍成”的過程中每?jī)蓷l邊（線段）正好“圍”成一個(gè)角，每個(gè)角都有一個(gè)頂點(diǎn)。

四、引議

在教學(xué)《三角形的認(rèn)識(shí)》中，結(jié)合APOS理論可看出：

對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)中相關(guān)概念屬性的具體操作、觀察，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)例階段就相當(dāng)于活動(dòng)階段；

從多個(gè)具體操作、具體活動(dòng)和具體實(shí)例中抽象概括出三角形相關(guān)概念屬性的階段則是過程階段；

將每個(gè)概念或概念組作為一個(gè)個(gè)抽象的概念出現(xiàn)在頭腦中，是能將概念作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象并施加各種心理運(yùn)算的階段就是對(duì)象階段；

圖式階段指對(duì)三角形有關(guān)概念的具體實(shí)例、本質(zhì)屬性及其應(yīng)用的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步充實(shí)豐富之后，這些概念會(huì)以一種完整的心理圖式貯存于大腦中，包括具體的“活動(dòng)”——實(shí)例、抽象的“過程”、完整的“對(duì)象”——定義，以及與其他概念之間的區(qū)分與聯(lián)系，等等。

本節(jié)課的教學(xué)，最能體現(xiàn)APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用價(jià)值，因?yàn)椋皵?shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型，概念的抽象過程、形式表述和符號(hào)化的運(yùn)用等多方位、多角度地理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生概念建構(gòu)的教育原理?！被诖?，筆者認(rèn)為基于APOS理論指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)可以從以下幾個(gè)方面著手：

第一，APOS理論的“四階段”在同一個(gè)（或單一）概念教學(xué)中的使用是按順序依次進(jìn)行的，但是對(duì)單位時(shí)間內(nèi)要完成多個(gè)有緊密聯(lián)系的“概念組”來說就可能需要多次重復(fù)、交叉進(jìn)行這四個(gè)階段的任務(wù)。

第二，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的建立需要經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的多次反復(fù)過程。一個(gè)概念的建立從“活動(dòng)”“過程”到“對(duì)象”的不斷抽象、具體、壓縮、形成，直到學(xué)生理解是一個(gè)較為漫長(zhǎng)的過程，特別是達(dá)到“圖式”階段需要的是學(xué)生用簡(jiǎn)潔的語言、文字、符號(hào)表征并在頭腦中建立這組概念的直觀結(jié)構(gòu)形象。

第三，讓“教”“學(xué)”合一。教學(xué)重心是使教和學(xué)和諧共生，相互促進(jìn)，精心設(shè)計(jì)“活動(dòng)”（包括外在的和內(nèi)隱的），主動(dòng)參與“過程”，自覺形成“對(duì)象”。感受到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的思想和方法，培養(yǎng)和積累數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

第四，認(rèn)識(shí)APOS理論的價(jià)值和作用。APOS理論不僅是概念教學(xué)的理論，也是一種工具，可以根據(jù)它來設(shè)計(jì)教學(xué)全過程（包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)活動(dòng)、教學(xué)組織等）。同時(shí)，我們也可以用其作為一種檢測(cè)評(píng)價(jià)手段或工具，對(duì)學(xué)習(xí)現(xiàn)象、學(xué)習(xí)過程、思維過程和思維結(jié)果等進(jìn)行觀察、分析和評(píng)價(jià)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平處于何種層面，反過來思考和調(diào)整教學(xué)的行為、策略和方法。?