陳志偉 代安華

重慶輕工職業(yè)學(xué)院

一個具有Logistic增長和CTL免疫反應(yīng)的乙肝病毒感染模型

陳志偉 代安華

重慶輕工職業(yè)學(xué)院

本文建立了一個考慮Logistic增長和CTL免疫反應(yīng)的乙肝病毒感染模型. 模型有三個平衡點. 由 Routh-Hurwitz判據(jù)分別得到無感染平衡點，無免疫平衡點和正平衡點的局部漸近穩(wěn)定性. 用數(shù)學(xué)分析以及比較原理證明無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性。

Logistic增長 CTL免疫反應(yīng) 穩(wěn)定性

1996年，Nowak等[1]借鑒倉室模型的建模思想提出一個三維乙肝病毒感染模型：

2008年，閔樂泉等[2]將標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率代替簡單質(zhì)量作用律發(fā)生率：

2010年，Hews等[3]假設(shè)未感染細胞繁殖遵循Logistic 生長規(guī)律，建立了帶標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的乙肝病毒感染模型：

本文在文獻[3]基礎(chǔ)上加入CTL免疫反應(yīng)，建立以下乙肝病毒感染模型：

其中：x 是未感染細胞數(shù)量，y是感染細胞的數(shù)量，v 是自由病毒數(shù)量，表示免疫細胞的數(shù)量，T 是指細胞的最大承載量，是未感染細胞的內(nèi)稟增長率，是標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，ay 是感染細胞的死亡速率，ky是病毒的產(chǎn)生速率，uv 是病毒的死亡速率，pyz 表示免疫機制引起的感染細胞的死亡率，cyz 是免疫細胞產(chǎn)生速率，bz是免疫細胞的死亡率。

一、平衡點和基本再生數(shù)

系統(tǒng)(4)總是存在一個無感染平衡點：

系統(tǒng)(4)的病毒基本再生數(shù)定義為：

定義兩個新的閾值：

當(dāng)R1＞R0＞1時，存在一個無免疫平衡點:

二、穩(wěn)定性分析

證明 由系統(tǒng)(4)易知

定理3 令

三、結(jié)論

本文研究了一個具有Logistic增長項和CTL免疫反應(yīng)的乙肝病毒感染模型. 模型有三個平衡點：無感染平衡點，無免疫平衡點和正平衡點. 根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)得到了三個平衡點的局部穩(wěn)定性的條件. 根據(jù)比較原理得到了無感染平衡點的全局漸近穩(wěn)定性. 免疫反應(yīng)分兩類，除了CTL免疫還有抗體免疫，因此可以在系統(tǒng)(4)上再加一項進行研究，這將是我們今后的工作.

[1] Nowak M A, Bonhoeffer S, Hill A M,et al. Viral dynamics in hepatitis B virus infection[J]. Proceedings of the National Academy of Science of the Uinited States of America, 1996, 93: 4398-4402.

[2]Min L Q, Su Y M, Kuang Y.Mathematical analysis of a basic virus infection model with application to HBV infection[J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 2008, 38(5): 1573-1585.

[3] Hews S, Eikenberry S, Nagy J D, et al. Rich dynamics of a hepatitis B viral infection model with logistic hepatocyte growth [J]. Journal of Mathematical Biology, 2010, 60(4): 573-590.