周 敬 鄭建華 李明濤
1.中國科學(xué)院國家空間科學(xué)中心, 北京 100190 2.中國科學(xué)院大學(xué),北京100190
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J2攝動(dòng)下衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)解析方程研究*
周 敬1,2鄭建華1,2李明濤1,2
1.中國科學(xué)院國家空間科學(xué)中心, 北京 100190 2.中國科學(xué)院大學(xué),北京100190
在圓/近圓參考軌道下,依據(jù)含有J2攝動(dòng)的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,提出將變化幅度較小的地心距及軌道傾角平均化,求解J2攝動(dòng)下衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,獲得了適用于任意初始條件的、以相對(duì)位置和相對(duì)速度為變量的、解析形式的J2攝動(dòng)衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。仿真結(jié)果表明,與經(jīng)典CW方程相比,J2攝動(dòng)下衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)精度提升明顯,證明了所提方法的合理性和準(zhǔn)確性。 關(guān)鍵詞 相對(duì)運(yùn)動(dòng);CW方程;J2攝動(dòng);解析方程
衛(wèi)星間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是國際航天動(dòng)力學(xué)與控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一,同時(shí)也是衛(wèi)星編隊(duì)飛行、交會(huì)對(duì)接和空間攻防等任務(wù)的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。因此,研究衛(wèi)星間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)具有重要意義。
目前國內(nèi)外研究衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)主要采用2種方法:1)基于相對(duì)位置和相對(duì)速度描述的動(dòng)力學(xué)法[1-3];2)基于相對(duì)軌道根數(shù)或其變化形式描述的運(yùn)動(dòng)學(xué)法[4]。在動(dòng)力學(xué)方法中最簡單、最基本的就是CW方程,但其前提假設(shè)是理想球體、圓參考軌道和衛(wèi)星間相對(duì)距離足夠近,限制了其進(jìn)一步應(yīng)用。J2攝動(dòng)是近地航天器最主要的攝動(dòng)力,因此研究高精度衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)首先要考慮的就是J2攝動(dòng)。目前關(guān)于J2攝動(dòng)下衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究多采用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法,如參考文獻(xiàn)[5-12],也有參考文獻(xiàn)[13]提出可以直接采用數(shù)值積分的方法分析J2攝動(dòng)下的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng),雖然此方法計(jì)算精度較高,但在理論分析方面效果稍差,計(jì)算復(fù)雜,不利于星上自主導(dǎo)航或地面的實(shí)時(shí)處理。理論上,J2攝動(dòng)下的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)超越方程,無法通過常規(guī)方法獲得解析解。為獲得解析解,張錦繡[6]以初始時(shí)刻主從星的平均軌道根數(shù)偏差為變量,在一階長期意義下,忽略主從星軌道根數(shù)中的短周期項(xiàng),推導(dǎo)出J2攝動(dòng)下衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)的精確解析模型。參考文獻(xiàn)[14-16]通過研究特定的相對(duì)運(yùn)動(dòng)初始條件,同樣獲得了解析形式的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,雖具有一定的局限性,但仍具有啟示意義。
目前國內(nèi)外關(guān)于J2攝動(dòng)下相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的研究絕大部分是以軌道根數(shù)描述的,此種描述形式雖然精度較高,但非常復(fù)雜。也有其他研究方法,參考文獻(xiàn)[17]將J2攝動(dòng)引起的誤差表達(dá)式添加到CW方程解析解上,得到了J2攝動(dòng)下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式;參考文獻(xiàn)[18-19]利用拉格朗日方程,推導(dǎo)了高精度的J2攝動(dòng)下相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。此外,現(xiàn)有的研究成果多數(shù)也是以衛(wèi)星編隊(duì)飛行作為研究背景,這就意味著存在航天器等周期這樣的隱含約束條件,但某些航天任務(wù),如交會(huì)對(duì)接、相對(duì)軌道轉(zhuǎn)移和空間飛越觀測(cè)等都不滿足這樣的約束條件?;诖耍芯縅2攝動(dòng)下,以相對(duì)位置和相對(duì)速度為變量的、形式簡單的、無隱含約束條件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解析方程具有重要研究價(jià)值。
本文通過研究J2攝動(dòng)下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型式(3)發(fā)現(xiàn),如果參考衛(wèi)星的地心距和軌道傾角為常量,則模型可解。通過STK(Satellite Tool Kit)仿真驗(yàn)證,J2攝動(dòng)下衛(wèi)星的地心距和軌道傾角恰好變化幅度較小,可近似為常量。因此提出將地心距和軌道傾角平均化,并作為常量代入到J2攝動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型中?;诖?,J2攝動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型便由不可解的超越方程變?yōu)榭山獾某N⒎址匠?,通過求解得到J2攝動(dòng)下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)近似解析方程。
衛(wèi)星間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述源自20世紀(jì)60年代Clohessy和Wiltshire[20]提出的CW方程。該方程建立在圓/近圓參考軌道、無攝動(dòng)且衛(wèi)星之間相對(duì)距離較近三點(diǎn)假設(shè)之上,可在短時(shí)間內(nèi)對(duì)衛(wèi)星間相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行較高精度的描述。然而,隨著時(shí)間積累其誤差逐漸增大。為解決此問題,國內(nèi)外學(xué)者做了很多研究工作以改進(jìn)CW方程。此外,為滿足橢圓參考軌道衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)研究的需要,Lawden和Carter等以真近點(diǎn)角或偏近點(diǎn)角為獨(dú)立變量,提出了可適用于任意Kepler軌道的、不考慮攝動(dòng)情況的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解析解[21]。
一般情況下,相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型建立在相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下,相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系也稱為RIC坐標(biāo)系(Radial—In-Track—Cross-Track),該坐標(biāo)系以參考衛(wèi)星質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn),以參考衛(wèi)星的軌道平面作為基本平面,X軸沿參考衛(wèi)星徑向方向,Z軸沿參考衛(wèi)星軌道平面法向方向,Y軸滿足右手坐標(biāo)系。衛(wèi)星間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)及相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系見圖1。
圖1 衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)及相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系
無攝動(dòng)力下的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為:
(1)
(2)
此即為經(jīng)典的CW方程。SamuelA.Schweighart從上述經(jīng)典的CW方程出發(fā),考慮地球J2攝動(dòng)的影響,將J2項(xiàng)攝動(dòng)加速度添加到相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型里,改進(jìn)了圓/近圓參考軌道的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程[22]。在相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下,改進(jìn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為:
(3)
其中,各項(xiàng)參數(shù)關(guān)系如式(4)所示, 更多參數(shù)設(shè)置可以參考文獻(xiàn)[23]。
(4)
Yeh[16]通過研究發(fā)現(xiàn),在改進(jìn)的動(dòng)力學(xué)模型式(3)下,當(dāng)初始條件滿足一定關(guān)系時(shí)可以得到相應(yīng)的解析解,具體內(nèi)容可查看參考文獻(xiàn)[16]。雖然該文獻(xiàn)中的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型可以提供解析形式的運(yùn)動(dòng)方程,但是需要研究特定的初始條件,即特定的初始相對(duì)位置和相對(duì)速度之間的關(guān)系,因此不具有普適性。
理論上,J2攝動(dòng)下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型式(3)為超越方程,無法通過常規(guī)方法獲得其解析解。研究式(3)發(fā)現(xiàn),如果參考衛(wèi)星的地心距和軌道傾角為常量,則模型可解。而J2攝動(dòng)下衛(wèi)星的地心距和軌道傾角雖然會(huì)出現(xiàn)長期項(xiàng)、長周期項(xiàng)和短周期項(xiàng)等變化項(xiàng),但變化幅度很小,恰好可以近似為常量。以太陽同步軌道為例,衛(wèi)星地心距和軌道傾角變化趨勢(shì)如圖2和3所示,具體變化值見表1。
表1 J2攝動(dòng)下圓軌道地心距與軌道傾角變化情況
圖2 J2攝動(dòng)下地心距變化情況
圖3 J2攝動(dòng)下軌道傾角變化情況
根據(jù)表1,為得到J2攝動(dòng)下相對(duì)運(yùn)動(dòng)解析形式,可以合理假設(shè)變化幅度很小的衛(wèi)星地心距、軌道傾角為常量,具體值可以取為平均軌道根數(shù):
(5)
根據(jù)式(3)可以看出,Z軸相對(duì)運(yùn)動(dòng)與其他兩軸相對(duì)運(yùn)動(dòng)是解耦的,因此可以分別研究Z軸相對(duì)運(yùn)動(dòng)和XY平面相對(duì)運(yùn)動(dòng)。一般情況下,相對(duì)運(yùn)動(dòng)在Z軸的分量較小,Z軸相對(duì)運(yùn)動(dòng)的精度對(duì)綜合精度影響很小。此外,在相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型中,Z軸的系數(shù)l,q,φ是2顆衛(wèi)星升交點(diǎn)赤經(jīng)及其變化率的函數(shù),如式(6)所示,雖然相關(guān)文獻(xiàn)[12]給出了相應(yīng)
的計(jì)算公式,但是需要求解平均軌道根數(shù),這偏離了本文避免使用軌道根數(shù)的初衷。因此,本文不再簡化Z軸相對(duì)運(yùn)動(dòng),而是直接采用CW方程中的Z軸相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式:
z(t)=c′sin(nt+φ)
(6)
其中,
(7)
綜上,J2攝動(dòng)下XY平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型可以通過數(shù)學(xué)處理轉(zhuǎn)化為:
(8)
其中,
(9)
由此,J2攝動(dòng)下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型便可由不可解的超越方程式(3)轉(zhuǎn)化為可解的常微分方程式(8),求解常微分方程式(8),可得三軸相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為:
(10)
由于該解析解消除了特定的初始條件限制,可以適用于任意初始條件,因此具有普適性。
為驗(yàn)證所提方法的合理性和準(zhǔn)確性,本文采用與STK仿真數(shù)據(jù)、CW方程數(shù)據(jù)對(duì)比驗(yàn)證的方法。
假設(shè)初始時(shí)刻2顆衛(wèi)星形成非等周期相對(duì)運(yùn)動(dòng),其軌道根數(shù)、軌道根數(shù)之差轉(zhuǎn)化到相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下的位置偏差與速度偏差如表2所示。
表3表示以STK數(shù)據(jù)為基準(zhǔn),在相同的初始條件下,CW方程仿真數(shù)據(jù)和J2攝動(dòng)下解析運(yùn)動(dòng)方程仿真數(shù)據(jù)的精度比較結(jié)果。為使仿真結(jié)果更具有針對(duì)性、統(tǒng)一性和科學(xué)性,在STK仿真模型中僅考慮J2攝動(dòng),沒有考慮大氣阻力、日月引力等其他攝動(dòng)。
表2 初始時(shí)刻兩衛(wèi)星軌道根數(shù)與相應(yīng)的位置、速度誤差
表3 CW方程與J2攝動(dòng)解析方程精度對(duì)比(2軌)
圖4 徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差
圖5 跡向相對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差
圖6 法向相對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差
圖7 綜合相對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差
圖4~7為2顆衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)在2軌道周期內(nèi),以STK仿真數(shù)據(jù)為基準(zhǔn), CW方程仿真數(shù)據(jù)和J2攝動(dòng)解析運(yùn)動(dòng)方程仿真數(shù)據(jù)在徑向、跡向和法向三軸分量以及綜合情況下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)誤差變化曲線。在徑向方向上,J2攝動(dòng)解析方程相比CW方程精度有提升,但提升幅度較小,見圖4;在跡向方向上,J2攝動(dòng)解析方程相比CW方程精度明顯提升,見圖5;在法向方向上,J2攝動(dòng)解析方程相比CW方程精度相同,見圖6。
表3提供了相對(duì)運(yùn)動(dòng)精度提升的具體數(shù)值信息??梢钥闯?,以STK仿真數(shù)據(jù)為基準(zhǔn),2軌道周期內(nèi),CW方程在終點(diǎn)時(shí)刻的誤差是150m量級(jí),平均誤差是80m量級(jí),而J2攝動(dòng)解析方程在終點(diǎn)時(shí)刻的誤差是80m量級(jí),平均誤差是40m量級(jí),精度提高約2倍;尤其在跡向方向,CW方程在終點(diǎn)時(shí)刻的誤差是130m量級(jí),平均誤差是70m量級(jí),而J2攝動(dòng)解析方程在終點(diǎn)時(shí)刻的誤差是12m量級(jí),平均誤差是20m量級(jí),終點(diǎn)時(shí)刻精度提高約10倍,平均精度提高約4倍。
綜上,本文所推導(dǎo)的J2攝動(dòng)衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)解析方程相對(duì)CW方程精度更高,更具優(yōu)勢(shì)。
J2攝動(dòng)作用下,衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型為超越方程,通過常規(guī)方法無法獲得類似CW方程解析形式的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。但對(duì)于圓/近圓參考軌道,由于J2攝動(dòng)下地心距及軌道傾角變化很小,可以合理假設(shè)為不變量,衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程便由不可解的超越方程轉(zhuǎn)化為可解的常微分方程。仿真結(jié)果表明,在考慮J2攝動(dòng)下,本文所提方法相比CW方程,相對(duì)運(yùn)動(dòng)精度提升明顯,尤其在跡向方向,相對(duì)運(yùn)動(dòng)精度可以提高約4倍。因此本文推導(dǎo)的J2攝動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)解析方程具有一定的實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值,可以應(yīng)用于航天器交會(huì)對(duì)接、衛(wèi)星編隊(duì)飛行等領(lǐng)域。
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Analytical Solutions for Satellite Relative Motion under J2Perturbation
Zhou Jing1,2, Zheng Jianhua1,2, Li Mingtao1,2
1. National Space Science Center, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China
Satellite’sorbitalelementscancontainsecularandperiodiccomponentsundertheJ2perturbationwhichresultsinthattherelativemotiondynamicsmodelbecometranscendentalequationsandtheanalyticalsolutionscannotbeobtainedthroughconventionalmethods.Underthiscircumstances,thedistancecanbeaveragedamongthesatellite,theearthcenterandtheorbitinclinationsothattherelativemotiondynamicsmodelcanbesolvedandtheanalyticalrelativemotionequationscanbeobtainedunderJ2perturbationforcewhenthereferenceorbitiscircularorellipticalwithverysmalleccentricity.SimulationsresultsshowthattheprecisionofrelativemotioncanbeimprovedgreatlybycomparingwithCWequations.Itdemonstratestheeffectivenessandveracityofthenewmethod.
Relativemotion; CWequations; J2perturbation;Analyticalequation
*國家自然科學(xué)基金(11672293)
2016-11-08
周 敬 (1991-),男,安徽人,碩士研究生,主要研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)、控制與仿真;鄭建華(1966-),女,河南人,博士,研究員,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)、控制與仿真;李明濤(1982-),男,河南人,博士,研究員,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)、控制與仿真。
V412.4
A
1006-3242(2017)02-0044-07