李廣偉

注重基本圖形教學(xué) 提升學(xué)生解題能力
——以“‘一線三等角’基本圖形及其應(yīng)用”教學(xué)為例

李廣偉

在幾何教學(xué)中，將同種類型的問題進(jìn)行合理歸納、梳理，進(jìn)而形成一個基本的圖形，對提高課堂效率和學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力有很重要的作用。以“‘一線三等角’基本圖形及其應(yīng)用”教學(xué)為例，對基本幾何圖形的抽取過程進(jìn)行提煉和總結(jié)，對學(xué)生認(rèn)識基本圖形、運用基本圖形、探究基本圖形給予幫助。

基本圖形；一線三等角；教學(xué)效率；解題能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索問題解決的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。要想提高學(xué)生的幾何直觀能力，教師需要有意識地加強基本圖形的教學(xué)。有論者認(rèn)為，平面幾何中的基本圖形分為兩類，現(xiàn)行教材中概念、公理、定理所對應(yīng)的圖形稱為理論性基本圖形，課本中具有一定典型性的例題、習(xí)題所對應(yīng)的圖形稱為經(jīng)驗型基本圖形?！耙痪€三等角”就屬于第二種基本圖形。

一、活動探究，歸納基本圖形

活動一：將三角板的直角（∠C）頂點放在直線l上 （直角邊不與直線l重合），在兩條直角邊所在的射線上任取兩點A、B，分別過點A、B作 AM⊥l于 M，BN⊥l于N。觀察你畫出的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？若CM=CN，連接AB，你有什么新發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的圖形開始，努力讓所有學(xué)生積極參與到課堂中來，鼓勵學(xué)生打破固定的思維方式，盡可能想到不同的構(gòu)圖方式；雖然構(gòu)圖不同，但是證明思路一致，通過觀察，描述這類相似模型的共同特征。在兩種不同圖形的基礎(chǔ)上構(gòu)造CM=CN，學(xué)生會很快發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線l在直角內(nèi)部時，此時的圖形會是射影定理的基本圖形，而新的發(fā)現(xiàn)就是三個直角三角形都相似。

活動二：將60°角（∠XCY）的頂點放在等邊三角形PMN的一邊MN上 （角的兩邊不與直線MN重合），直線XC、YC分別與直線PM、PN交于A、B兩點。觀察你畫出的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？若CM=CN，連接AB，你有什么新發(fā)現(xiàn)？

活動三：將45°角（∠XCY）的頂點放在等腰三角形PMN的底邊MN上（角的兩邊不與直線MN重合），∠XCY=∠M，直線XC、YC分別與直線PM、PN交于A、B兩點。觀察你畫出的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？若CM=CN，連接AB，你有什么新發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖：在活動一的基礎(chǔ)上做出變化，讓學(xué)生組內(nèi)互助合作，構(gòu)造出不同的圖形，說明其解決問題的方法。引導(dǎo)學(xué)生找出3種情況下構(gòu)造出的圖形的共同點，體會直角、60°角、45°角所起的作用。鼓勵學(xué)生自己獨立解決問題，大膽假設(shè)，類比驗證，在活動中體驗從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。教師在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，小結(jié)出一類相似模型的共同特征：頂點在一條直線上的三等角可推出△ABP∽△PDC；三等角加上一組對應(yīng)邊相等可推出△ABP≌△PDC。如圖1所示。

二、由淺入深，提升學(xué)生運用基本圖形解題的能力

通過以上的對比歸納，學(xué)生對“一線三等角”這個基本圖形有了初步的認(rèn)識。下面通過有梯度的題組練習(xí)讓學(xué)生感受基本圖形在解題中的作用，實現(xiàn)學(xué)生對基本圖形的內(nèi)化，逐步達(dá)到能夠?qū)⒒緢D形作為一個思維單元運用到解題過程中去。

1.如圖2，在矩形ABCD中，點F為邊CD上一點，沿AF折疊，點D恰好落在BC邊上的E點處，若 AB=3，BC=5，CF=_______。

2.如圖 3，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線 l1∥l2∥l3，l1與 l2之間距離是 l，l2與 l3之間距離是 2，且 l1，l2，l3分別經(jīng)過點 A，B，C， 則邊AC的長為________。

圖2

圖3

設(shè)計意圖：練習(xí)1含有顯性基本圖形，這樣既便于學(xué)生從復(fù)雜背景中迅速抓住基本圖形，又能夠有助于學(xué)生理解復(fù)雜的題目是由基本圖形、基本問題構(gòu)成的；同時還能夠使學(xué)生體會到將基本圖形作為一個思維單元給解題帶來的便捷，獲得成功體驗。通過解決這個問題，學(xué)生獲得了初步的解題經(jīng)驗，即抓住基本圖形，能夠促進(jìn)有效解題。練習(xí)2不含顯性基本圖形，但問題中隱藏著基本圖形，在解題時要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些基本圖形的“影子”，并把這些基本圖形挖掘出來，適當(dāng)補充完整，再應(yīng)用相應(yīng)的結(jié)論來解決問題。通過這組練習(xí)，學(xué)生對利用基本圖形解題有了更加深刻的認(rèn)識。將復(fù)雜問題的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形就變成了我們所熟悉的簡單問題，由此激發(fā)學(xué)生更深層次的探究，即挖掘數(shù)學(xué)知識、圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，透過變化的現(xiàn)象看到不變的本質(zhì)，更加提高了學(xué)生的解題能力。

三、化繁為簡，構(gòu)造基本圖形解決問題

教學(xué)進(jìn)行到第三個環(huán)節(jié)，需要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會利用掌握的基本圖形進(jìn)行解題的優(yōu)越性。可以呈現(xiàn)如下例題：

圖4

如圖4，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點 B，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過 A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D。 （1）寫出 A、B、C、D 的坐標(biāo)；（2）點 P 從點 D 出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值。

對于本題的第2問，一般的解題思路是利用勾股定理， 分∠PBC=90°、∠BCP=90°和∠BPC=90°三種情況討論，運算較為煩瑣。而通過構(gòu)造“一線三等角”的基本圖形，則可以利用相似三角形的性質(zhì)，很容易得出答案。在教學(xué)中讓學(xué)生對運用基本圖形的解題方法與運用勾股定理列方程的方法進(jìn)行比較，讓學(xué)生體會運用基本圖形解決問題所帶來的優(yōu)越性。

綜上，在幾何教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生對幾何圖形的識別、構(gòu)造、組合與分解的能力。教師應(yīng)當(dāng)注意基本圖形教學(xué)的直觀性、形象性，從最簡單、基礎(chǔ)的基本圖形入手，讓學(xué)生在腦海中形成各種基礎(chǔ)的直觀圖形，在實際運用中利用或構(gòu)造基本圖形解決問題，這是提高學(xué)生解決與圖形有關(guān)問題的能力的重要途徑。

［1］張俊.基于案例分析的初中數(shù)學(xué)幾何基本圖形教學(xué)探索［J］.兵團(tuán)教育學(xué)院學(xué)報，2015（02）.

［2］殷憲剛.淺議中學(xué)數(shù)學(xué)基本圖形教學(xué)［J］.課程教育研究，2015（04）.

G633.6

A

1005-6009（2017）43-0036-02

李廣偉，江蘇省蘇州市高新區(qū)第二中學(xué)（江蘇蘇州，215219）教師，高級教師，蘇州市學(xué)科帶頭人。