解大鵬

(合肥師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 安徽 合肥 230601)

?

等價無窮小性質(zhì)及應(yīng)用的教學拓展研究

解大鵬

(合肥師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 安徽 合肥 230601)

利用等價無窮小的性質(zhì)處理函數(shù)極限問題是微積分中處理函數(shù)極限的一類重要的方法。本文較為系統(tǒng)地歸納了等價無窮小的性質(zhì)， 通過實際算例重點闡明這些性質(zhì)在函數(shù)極限問題中的應(yīng)用，并且針對不同的情形， 給出了一些方法和建議。

等價無窮??；極限；應(yīng)用

等價無窮小概念屬于微積分學中最基本的概念，同時也是比較重要的概念。大多數(shù)《數(shù)學分析》和《高等數(shù)學》教材都或詳或略地對這方面內(nèi)容有所涉及。然而，不少教材卻存在內(nèi)容編排不盡合理和個別知識點表述不夠嚴謹?shù)葐栴}，導致很多讀者很難掌握這部分內(nèi)容。因此, 有必要對等價無窮小進行深入的探討。

等價無窮小具有很好的性質(zhì)，很多應(yīng)用問題都會或多或少的與這些性質(zhì)相關(guān)，掌握并充分利用好等價無窮小的性質(zhì), 往往會使一些復(fù)雜的函數(shù)極限問題簡單化， 可起到事半功倍的效果，很多學者對此做了大量的研究，參看文獻[1-6]。為了使教師們更加準確地理解和把握這部分教學內(nèi)容，使“等價無窮小”在教材中發(fā)揮其應(yīng)有的作用，本文將在相關(guān)學者研究的基礎(chǔ)上全面系統(tǒng)地歸納等價無窮小的性質(zhì)及其在函數(shù)極限問題中的應(yīng)用。

1 教學困惑

在講授等價無窮小代換求極限的內(nèi)容時經(jīng)常會遇到利用等價無窮小替換求有和、差運算的分式極限問題。 有些算例雖然做法不符合常理但結(jié)果正確這讓學生很費解，而且現(xiàn)有教材普遍存在對利用等價無窮小替換求有和、差運算的分式極限問題表述不恰當或欠嚴謹?shù)那闆r，大致可以分為以下幾類情形[1]:

(1)認為若對和差運算作等價代換，則要出錯。

(2)認為加減運算不能進行等價代換。

(3)認為加減運算一般不能進行等價代換。

(4)對該問題未予說明。

(5)給出了關(guān)于和差運算的代換定理。

這會導致教師對此問題講解不到位，以至于學生在實際應(yīng)用等價無窮小代換計算函數(shù)極限時產(chǎn)生困惑，導致解題過程錯誤百出, 有時甚至還很難判斷錯在什么地方。因此, 有必要對等價無窮小的性質(zhì)進行深入的討論，以便恰當運用, 達到簡化運算的目的。

2 等價無窮小性質(zhì)的推廣及在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

等價無窮小的基本性質(zhì)：設(shè)f,f1,g,g1,h均為同一自變量變化過程中的無窮小,則

(1)等價無窮小的反身性：f～f；

(2)等價無窮小的對稱性：若f～g，則g～f；

(3)等價無窮小的傳遞性：若f～g,g～h，則f～h；

這些屬于等階無窮小的基本性質(zhì)，將其推廣到更為廣泛的函數(shù)類中時，可以起到簡化計算的作用。

解 當x→0時，arctanx3～x3,arcsin2x3～2x3,ln(1+x3)～x3,sin32x～8x3，故有

于是，由定理1可知，

由這個定理，還可以推廣到n個函數(shù)和的等價無窮小：

所以由定理2可得

正如以上性質(zhì)定理所描述的那樣，把等價無窮小代換推廣到和與差的形式，能夠適用的函數(shù)類范圍也隨之擴大，于是簡化了函數(shù)的極限運算過程。在運用這些性質(zhì)定理時容易忽略條件而亂用或錯用得到錯誤計算結(jié)果， 因此解題時需要尤為注意。

錯解 當x→0時，有

定義1[4]設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)n階可導且存在正整數(shù)k使得

f(x0)=f′(x0)=f″(x0)=···=f(k-1)(x0)=0,f(k)(x0)≠0

則稱f(x)在x0處滿足k階條件。

解 令f(x)=cosx-e-x2,g(x)=x+ln(1-x)，則有

下面的定理，能更好的在冪指函數(shù)求極限中運用等價無窮小代換。

定理5[5]設(shè)在x=x0的某個去心領(lǐng)域內(nèi)，f(x)與g(x)連續(xù)，且當x→x0時，f(x)→1,g(x)→，則。

在求含變上限積分的極限中，如果恰當選用等價無窮小代換，可將問題轉(zhuǎn)化為簡便易求的極限形式．常用的幾種變上限積分的等價無窮小公式為：當x→0時，

直接使用洛必達法則可以證明以上公式(證明略)。

例7 求極限

解 由變上限積分的等價無窮小公式可知：

由上述例題可以看出被積函數(shù)之間都是等價無窮小，所以可以得到被積函數(shù)用等價無窮小代換后的變上限積分仍然是等價無窮小，可推出如下定理：

由定理7還能列出一些上面未列出的等階無窮小公式，如：

例8 求極限

本例也可使用洛必達法則來求解， 但若使用洛必達法則來求解則會使得解題過程非常繁瑣，而且易于出錯，而恰當運用等價無窮小代換的方法則會收到意想不到的效果．

4 教學建議

根據(jù)以上分析，下面就該節(jié)內(nèi)容的教學提出幾點建議:

(1)引導學生發(fā)現(xiàn)并修正教材中表述不夠嚴謹之處，并借此強調(diào)，要善于思考，

敢于質(zhì)疑。

(2)引導學生積極養(yǎng)成發(fā)散思維的習慣。在補充、擴展和深化時，教師不要一味地告訴學生將要發(fā)生什么、該怎么做，而是要引導他們自己去尋找和發(fā)現(xiàn)。如在補充和一般化等價代換關(guān)系、補充和差函數(shù)等價代換定理時，可用巧妙的提問，引導學生去探索、發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)、證明和應(yīng)用。

(3)擴充的內(nèi)容要恰當而適度。補充和差函數(shù)的等價代換定理和無窮小的運算律，例題補充多少，難度控制在什么程度，等等，這些都要結(jié)合各專業(yè)課程標準等具體情況具體分析。另外，還要將對解決這些問題有幫助的參考書籍及參考論文和網(wǎng)址等告知學生，為學生自主探索指明道路[1]。

5 結(jié)束語

等價無窮小代換求兩個無窮小之比的極限時，若所求的函數(shù)為分式，可以同時代換整個分子和整個分母，也可用等價無窮小代換整個分子或分母。但不能隨意對分子或分母中的某個加項用等價無窮小替換來求得。對于不同的情形， 給出了相應(yīng)的措施只有選擇合適的等價無窮小替換，才能正確求得有和，差分式的極限。等價無窮小代換時，應(yīng)第一時間判斷函數(shù)是否符合各性質(zhì)定理的條件，這一點非常重要。在求極限時，若不能滿足等價無窮小代換的條件時，應(yīng)該先對所求極限函數(shù)進行化簡，使之符合等價無窮小代換的條件。求極限過程中，等價無窮小代換可與其它方法結(jié)合使用。

[1] 潘建輝，胡學剛，鄧志穎．關(guān)于“無窮小的比較”的教學研究[J]．高等數(shù)學研究，2011，14(5)：43-46．

[2] 龔萍．等價無窮小的性質(zhì)及其運用推廣[J]．河北理工大學學報(自然科學版)，2009，31(3): 102-105．

[3] 魏曉娜，李曼生．等價無窮小的應(yīng)用研究[J]．數(shù)學教學研究，2010，29(10)：59-61．

[4] 蹇小平．極限求解中等價無窮小量替換條件的推廣[J]．湖北民族學院學報(自然科學版)，2011，29(3)：254-257．

[5] 周斌．等價無窮小的性質(zhì)與運用[J]．內(nèi)江科技，2011，4(4)：93．

[6] 李秀敏．王靈色．等階無窮小在求極限過程中的應(yīng)用[J]．高等數(shù)學研究， 2002，5(3)：36-37．

Research on Teaching Expansion of Equivalent Infinitesimal Nature and Application

XIE Dapeng

(SchoolofMathematicsandStatistics,HefeiNormalUniversity,Hefei230061,China)

The properties of function limit problem of equivalent infinitesimal is one of the most important methods in the calculus of function limit processing. In this paper, the properties of equivalent infinitesimal are systematically summarized, and the applications of these properties in the limit of function are emphasized with the practical examples. Some methods and suggestions are given for different conditions.

equivalent infinitesimal; limit; application

2017-01-20

安徽省高等學校自然科學研究重點項目(KJ2015A196)

解大鵬( 1981-) ，男，吉林洮南人，講師，碩士，主要從事微分方程及大學數(shù)學教學。

O171; G642

B

1674-2273(2017)03-0039-04