陳艷秋，張臘娥

(湖南有色金屬職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 株洲 412006)

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三角網(wǎng)格上Lagrange-Thiele型有理插值

陳艷秋，張臘娥

(湖南有色金屬職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 株洲 412006)

從Lagrange插值多項(xiàng)式出發(fā),結(jié)合Thiele型連分式,構(gòu)造了三角網(wǎng)格上Lagrange—Thiele型二元有理插值函數(shù),通過(guò)定義偏逆差商,建立遞推算法,構(gòu)造的插值函數(shù)滿足有理插值問(wèn)題中所給的插值條件,并給出了插值的特征定理,最后給出的數(shù)值例子,驗(yàn)證了所給算法的有效性。

三角網(wǎng)格；有理插值；遞推算法；特征定理

眾所周知，多項(xiàng)式插值結(jié)構(gòu)緊湊，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)單，在整個(gè)數(shù)軸上都有任意階導(dǎo)數(shù)，能夠進(jìn)行函數(shù)值和微積分的運(yùn)算。但是,利用多項(xiàng)式插值所求的插值多項(xiàng)式即使通過(guò)了所有給定的插值節(jié)點(diǎn)，但在其它點(diǎn)上的誤差卻可能很大，并且插值多項(xiàng)式的次數(shù)在七次以上時(shí)會(huì)出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定。為了克服多項(xiàng)式插值的缺點(diǎn)，引入了有理分式函數(shù)插值，即有理插值，有理插值比多項(xiàng)式插值復(fù)雜很多，因?yàn)橛欣聿逯挡坏?jì)算更加復(fù)雜，而且可能不適定，但是有理插值卻為某些非線性問(wèn)題提供了良好的解決途徑。連分式是構(gòu)造有理插值的常用方法之一，常見(jiàn)的有理插值的構(gòu)造都是假定有理插值問(wèn)題有解的條件下給出的。對(duì)于矩形網(wǎng)格上的有理插值的研究，已經(jīng)吸引了許多作者的興趣，取得了豐碩的成果[1-6]，但考慮到某些給定的數(shù)據(jù)，如矩形網(wǎng)格是病態(tài)的，可能缺失部分?jǐn)?shù)據(jù)，此時(shí)將不可能在矩形網(wǎng)格上構(gòu)造一個(gè)有理插值函數(shù)[7-9]，這也是我們研究三角網(wǎng)格上的有理插值的原因。并且本文巧妙地將Lagrange多項(xiàng)式插值與Thiele型連分式插值結(jié)合起來(lái)，通過(guò)定義偏逆差商，建立遞推算法，構(gòu)造了二元Lagrange—Thiele型理插值函數(shù)，給出了插值的特征性質(zhì)和數(shù)值例子。還可以利用Samelson廣義逆將本文和插值方法推廣到向量值有理插值和矩陣值有理插值的情形。

所謂Lagrange插值，構(gòu)造多項(xiàng)式：

(1.1)

其中

(1.2)

設(shè)平面上的點(diǎn)集由下表給出：

(1.3)

其中xi≠xj,yi≠yj(i≠j)，稱之為左下三角網(wǎng)格，記為

(1.4)

1 三角網(wǎng)格上插值公式的構(gòu)造

(2.1)

其中

(2.2)

遞推算法定義如下：

(2.3)

(2.4)

則由(2.1)～(2.4)可得如下插值定理：

定理1 令aij=φ[xi;y0,y1,…yj]如(2.3)(2.4)式所定義，若所有的aij都存在且不為零，f(x,y)是定義在包含LB的區(qū)域D上的二元函數(shù)，則由(2.1)、(2.2)定義的R(x,y)為f(x,y)在LB上的Lagrange—Thiele型二元有理插值函數(shù)，且滿足：R(xi,yj)=f(xi,yj)，(xi,yj)∈LB。

R(xi,yj)=A0(yj)L0(xi)+A1(yj)L1(xi)+…+An(yj)Ln(xi)=Ai(yj)Li(xi)=Ai(yj)

=φ[xi;yj]=f(xi,yj)

故：R(xi,yj)=f(xi,yj)，(xi,yj)∈LB。定理得證。

2 特征定理

3 數(shù)值例子

例1 設(shè)f(x,y)在LB上的初始數(shù)據(jù)如下表：

表1

解 利用混合逆差商的遞推算法(2.3)～(2.4)式，列表計(jì)算如下：

表2 中間結(jié)果1

表3 中間結(jié)果2

表4 中間結(jié)果3

可驗(yàn)證滿足插值條件，并且滿足特征定理的結(jié)論。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文從Lagrange插值基函數(shù)出發(fā)，構(gòu)造了三角網(wǎng)格上的Lagrange—Thiele型二元有理插值函數(shù)，對(duì)于另外三種三角網(wǎng)格，我們也可以通過(guò)定義相應(yīng)的遞推算法，分別構(gòu)造其上的Lagrange—Thiele型二元有理插值函數(shù)。本文插值算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，使用方便，并且利用Samelson廣義逆可以將這種插值算法推廣到向量值有理插值和矩陣值有理插值情況。

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Lagrange-Thiele Type Rational Interpolation Over Triangular Grid

CHEN Yanqiu, ZHANG Lae

(HunanVocationalandTechnicalCollegeofNonferrousMetals,Zhuzhou412006,China)

In this paper, Lagrange-Thiele type bivariate rational interpolation has been constructed over triangular grid, which is based on Lagrange interpolating polynomial and combined with Thiele' continued fractions, by defining partial inverse differences, the recursive algorithms is given, The Lagrange- Thiele rational interpolating function is satisfied with the given interpolating conditions, the characterization theorems of the rational functions is obtained. At last, an example is given to illustrate the effectiveness of the interpolating algorithms.

Triangular grids; rational interpolation; recursive algorithms; characterization theorems

2017-02-06

湖南有色金屬職業(yè)技術(shù)學(xué)院院級(jí)項(xiàng)目

陳艷秋(1983-)，女，河南商水人，碩士，講師，研究方向:數(shù)值逼近。

O241.3

A

1674-2273(2017)03-0006-03