石方圓，李翠香

（河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北石家莊050024）

隨機(jī)利率及O－U過程下的彩虹期權(quán)定價

石方圓，李翠香

（河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北石家莊050024）

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從Ornstein－Uhlenback過程，利率r （t）服從Vasicek模型，利用保險精算方法給出了彩虹期權(quán)的定價公式，豐富了期權(quán)定價的理論.

Ornstein－Uhlenback過程；隨機(jī)利率；彩虹期權(quán)；保險精算

近年來，隨著全球金融市場的迅猛發(fā)展，期權(quán)在衍生證券中的地位顯得尤為重要，其定價問題也是金融數(shù)學(xué)的核心問題之一，受到越來越多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注和研究.彩虹期權(quán)［1］是一種重要的新型金融衍生產(chǎn)品，它是討論兩個風(fēng)險資產(chǎn)的最大值或最小值期權(quán).資產(chǎn)最大值彩虹期權(quán)在到期日T的收益為

max｛ωmax［S1（T），S2（T）］－ωK，0｝，

資產(chǎn)最小值彩虹期權(quán)在到期日T的收益為

max｛ωmin［S1（T），S2（T）］－ωK，0｝，

其中ω＝±1.當(dāng)ω＝1時為看漲期權(quán)，當(dāng)ω＝－1時為看跌期權(quán).

許多金融產(chǎn)品的定價可以利用彩虹期權(quán)的定價公式，例如外幣期權(quán)、選擇權(quán)債券和貨幣期權(quán)債券等等.因此對彩虹期權(quán)進(jìn)行深入的研究與擴(kuò)展有重要的意義.1982年，Stulz［2］在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動以及利率、波動率為常數(shù)的條件下，研究了彩虹期權(quán)的定價公式.2011年，盛冠楠［3］在Stulz的基礎(chǔ)上加入了跳擴(kuò)散過程，得到了跳擴(kuò)散模型下彩虹期權(quán)的定價公式.

在現(xiàn)實的金融市場中，股票的期望收益率不是隨時間朝一個方向（上升或下降）變化的，資產(chǎn)的價格常常在上升到一定高度后有下降的趨勢，應(yīng)用O－U過程可以削弱上升的趨勢.利率也不是一成不變的常數(shù)，在短時間內(nèi)表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性，但長久來看，利率的變化有一定的均值回復(fù)性.這些在金融市場中都是十分常見的行為.因此，本文將在隨機(jī)利率［4－5］的環(huán)境下，研究股票價格遵循指數(shù)O－U過程［4－6］的彩虹期權(quán)的定價公式.

另外，傳統(tǒng)的定價方法通常假設(shè)金融市場是無套利、均衡、完備的，這與實際市場不太吻合.1998年Bladt和Rydberg［7］首次提出用保險精算方法給期權(quán)定價.該方法無任何經(jīng)濟(jì)假設(shè)，適用于有套利、非均衡、不完備的金融市場.之后許多學(xué)者利用此方法研究了期權(quán)的定價［8－10］.筆者將利用保險精算的方法給彩虹期權(quán)定價.

1 預(yù)備知識

定義1 隨機(jī)過程Si（t）在時間［0，t］上產(chǎn)生的期望收益率ds定義為

定義2 執(zhí)行價格為K，到期日為T的資產(chǎn)最大值彩虹期權(quán)和資產(chǎn)最小值彩虹期權(quán)在0時刻的保險精算價格定義分別為

以下假設(shè)彩虹期權(quán)中兩個資產(chǎn)價格及無風(fēng)險利率r t（）分別服從如下隨機(jī)微分方程（以后簡稱SDE）

其中B（t）＝（B1（t），…，Bn（t））為概率空間（Ω，T，｛t｝，P）上n維布朗運(yùn)動，μi，αi，σij，m，a，σrj為常數(shù).

引理1 假設(shè)資產(chǎn)價格Si（t）服從SDE（6），則有

證 由Ito公式可得

對上式兩邊從0到t積分并整理可得（8）.

由定義1及（8）可得

從而（9）式成立.

綜上，引理1得證.

引理2 假設(shè)r t（）服從SDE（7），則有

證 由Ito公式可得

兩邊從0到t積分并整理可得

然后，從0到T積分可得

引理2得證.

引理3［11］設(shè)B（t）＝（B1（t），…，Bn（t））為測度P下n維布朗運(yùn)動，H（t）＝（H1（t），…，Hn（t））為可料過程，且

則在Q下

引理4［11］設(shè)Λ（t）是正的P－鞅過程，且EP［Λ（T）］＝1.定義概率測度Q，使），則對任意隨機(jī)變量X都有

2 彩虹期權(quán)的定價公式

下面來研究資產(chǎn)最大值彩虹看漲期權(quán)的保險精算定價.

定理1 假設(shè)Si（t）和r t（）分別服從SDE（6）和（7），則到期日為T，執(zhí)行價格為K的資產(chǎn)最大值彩虹看漲期權(quán)在0時刻的保險精算價格為

故

證 因為

把這三項分別記作Π1，Π2，Π3，下面分別估計它們.

則Λ1（t）為正的P－鞅過程，且EP［Λ1（T）］＝1.定義概率測度Q1，使，則由引理4知

且由引理3知

是測度Q1下n個相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動.

把式（11）代入式（9）中得

令

則（η1（T），η2（T））是相關(guān)系數(shù)為ρ1的二維正態(tài)分布.另外，由式（12）（13）（14）可得

故

其次計算Π2.

令

則Λ2（t）為正的P－鞅過程，且EP［Λ2（T）］＝1.定義概率測度Q2，使），則由引理4知

且由引理3知

是測度Q2下n個相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動.類似Π1的證明可得

最后計算Π3.

令

則Λ3（t）為正的P－鞅過程，且EP［Λ3（T）］＝1.定義概率測度Q3，使，則由引理4知

且由引理3知

是測度Q3下n個相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動.類似Π1的證明可得

Π3＝Ke－D（T）［1－N2（－d1，－d2；ρ3）］.

綜上，定理1得證.同理可證以下三個定理.

定理2 假設(shè)Si（t）和r t（）分別服從SDE（6）和（7），則到期日為T，執(zhí)行價格為K的資產(chǎn)最大值彩虹看跌期權(quán)在0時刻的期權(quán)價值為

定理3 假設(shè)Si（t）和r t（）分別服從SDE（6）和（7），則到期日為T，執(zhí)行價格為K的資產(chǎn)最小值彩虹看漲期權(quán)在0時刻的期權(quán)價值為

定理4 假設(shè)Si（t）和r t（）分別服從SDE（6）和（7），則到期日為T，執(zhí)行價格為K的資產(chǎn)最小值彩虹看跌期權(quán)在0時刻的期權(quán)價值為

3 結(jié)束語

對新型期權(quán)進(jìn)行合理定價已經(jīng)成為金融數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.至今為止，很多專家學(xué)者取得了豐碩的研究成果.筆者在這些研究的基礎(chǔ)上，在O－U過程下考慮資產(chǎn)收益率的均值回復(fù)性和利率的隨機(jī)性對期權(quán)價格的影響，用保險精算方法給出了彩虹期權(quán)定價公式.得到的期權(quán)定價公式擴(kuò)展了文獻(xiàn)［1］中的結(jié)論，而且筆者結(jié)論還可以進(jìn)一步擴(kuò)展至多資產(chǎn)最優(yōu)或最差選擇期權(quán)的定價.

［1］Zhang P G.Exotic options［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014：312－315.

［2］Stulz R M.Options on the minimum or maximum of two risky assets［J］.Journal of Financial Economics，1982，10（2）：161－185.

［3］盛冠楠.跳擴(kuò)散模型下極值期權(quán)的定價［D］.廣西：廣西師范大學(xué)，2011.

［4］劉堅，文鳳華.歐式期權(quán)和交換期權(quán)在隨機(jī)利率及O－U過程下的精算定價方法［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2009，29（12）：13－15.

［5］趙攀，肖慶憲.隨機(jī)利率下O－U過程的冪型歐式期權(quán)定價［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，37（11）：1386－1390.

［6］劉兆鵬，劉鋼.基于O－U過程具有不確定執(zhí)行價格的期權(quán)保險精算定價［J］.杭州師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，10（4）：316－319.

［7］M Bladt，H T Rydberg.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions［J］.Insurance Mathematics and Economics，1998，22（1）：65–73.

［8］嚴(yán)海峰，劉三陽.廣義Black－Scholes模型期權(quán)定價新方法——保險精算方法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)，2003，24（7）：730－738.

［9］鄭紅，郭亞軍.保險精算方法在期權(quán)定價模型中的應(yīng)用［J］.東北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，29（3）：429－432.

［10］畢學(xué)慧，杜雪樵.復(fù)合期權(quán)的保險精算定價［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，31（8）：43－47.

［11］Fima C Klebaner.Introduction to stochastic calculus with applications［M］.北京：人民郵電出版社，2008.

Pricing of rainbow options under Ornstein-Uhlenback process and stochastic rate

SHI Fangyuan，LI Cuixiang
（College of Mathematics and Information Science，Hebei Normal University，Shijiazhuang 050024，China）

In this paper，we suppose that the underlying asset price process follow the Ornstein-Uhlenback process，the riskless interest r （t）submit to Vasicek model.The pricing of rainbow options is given by using an actuarial approach.These results enrich the theory of option pricing.

OrnsteinUhlenback process；stochastic interest rate；rainbow option；actuarial approach

O211.6

A

1671-9476（2017）02-0001-06

10.13450／j.cnkij.zknu.2017.02.001

2016-10-18；

2016-11-11

國家自然科學(xué)基金（No.11571089）

石方圓（1991－），女，河北邢臺人，碩士研究生，研究方向：金融工程與風(fēng)險管理.