潘宇洋， 王曉云

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

二階奇攝動滯后型微分方程解的存在性

潘宇洋， 王曉云

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

研究了一類二階奇異攝動滯后型微分方程的邊值問題. 首先利用攝動方法中展開的思想對滯后項進(jìn)行處理, 將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為不含時滯項的近似系統(tǒng). 然后在一定的假設(shè)條件下, 結(jié)合邊界層位于t=1和t=0處這兩種情形, 利用奇異攝動方法和微分不等式技巧等對于方程的解給出了相應(yīng)的存在性定理: 在滿足一定的條件下, 對于足夠小的ε>0, 邊值問題存在滿足條件的解.

二階微分方程; 奇異攝動; 時滯; 邊界層; 微分不等式

0 引 言

眾所周知, 在工程技術(shù)和科學(xué)問題的應(yīng)用領(lǐng)域中, 很多系統(tǒng)都呈現(xiàn)奇異攝動現(xiàn)象[1], 如飛機(jī)和火箭系統(tǒng)[2], 厄爾尼諾現(xiàn)象[3]. 具有奇異攝動現(xiàn)象的系統(tǒng)可以用奇攝動微分方程來描述， 而研究該方程的理論就是攝動方法[4-5]. 近年來, 許多學(xué)者用微分不等式理論研究奇攝動微分方程(組)的問題, 取得豐碩的成果[6-7]. 此外, 許多系統(tǒng)(如控制系統(tǒng))常常會建立帶有時滯項的奇攝動微分方程, 即奇攝動滯后型泛函微分方程[8-10].

本文研究一類奇攝動滯后型泛函微分方程邊值問題的解的存在性. 主要是采用展開方法處理時滯項, 再運(yùn)用奇異攝動法及微分不等式技巧研究如下二階時滯奇攝動微分方程的邊值問題

式中：ε是正的小參數(shù)(0<ε?1)；r是一個很小的正數(shù)；B是常數(shù)； 函數(shù)f(t,y)在區(qū)間[0,1]×R上光滑.

1 預(yù)備知識

定義 1 函數(shù)α∈C2([a,b])為方程

的一個下解，如果

同樣，函數(shù)β∈C2([a,b])是方程(3)的一個上解，如果

α(t)≤y(t)≤β(t).

2 存在性定理及證明

本文中的微分系統(tǒng)(1)～(2)是含有小參數(shù)ε的奇攝動滯后型微分系統(tǒng). 本文利用文獻(xiàn)[11-13]的思想(將滯后項展開轉(zhuǎn)化為不含時滯項的等價系統(tǒng))進(jìn)行研究. 這里, 首先把式(1)中的y(t-r)項按r的冪展開, 即

(6)

將式(6)代入式(1), 得到

t∈[0,1].

由于r是一個非常小的正數(shù), 而后面展開式中含有r2,r3, …的項是r的高階無窮小, 在這里只保留到含r的一次冪這一項, 得到式(1)的近似系統(tǒng), 即

t∈[0,1].

(7)

相應(yīng)的邊值條件為

(8)

注： 由于r足夠小(r>0), 那么在一定的范圍內(nèi), 假設(shè)近似系統(tǒng)的解一致收斂于原問題的解. 這樣, 研究問題(1)～(2)解的存在性轉(zhuǎn)換為研究問題(7)～(8)的解的存在性. 即, 通過研究方程(7)～(8)的解的存在性對應(yīng)得到方程(1)～(2)的解的存在性.

假設(shè)下面幾個條件成立.

H1) 函數(shù)f(t,y)在區(qū)間 [0,1]×R上是C1-光滑的.

H2) 存在一個正數(shù)σ0滿足f(t,y)≥σ0+r>0.

H2′) 存在一個正數(shù)σ0滿足f(t,y)≤σ0-r<0.

H3) 方程(7)的退化問題

有一個解y=φ(t)∈C2([0,1]).

注: 由于f(t,y)在t=1或t=0處含有邊界層, 因此, 分f(t,y)>0和f(t,y)<0兩種情況討論(對于每一個系統(tǒng), 首先要確定邊界層在x=0處還是x=1處, Mohan K. Kadalbajoo[14]給出了一個確定邊界層位置的總結(jié)). 下面分別討論.

2.1 邊界層位于t=1處

假設(shè)f(t,y)≥σ0+r>0在區(qū)間[0,1]上均成立, 其中σ0是一個正數(shù)(根據(jù)文獻(xiàn)[14], 該假設(shè)下邊界層在t=1附近).

將y(t)=φ(t)+v(τ)代入式(7), 得到

φ(t)+v(τ)=0.

考慮邊界層的零階近似項, 有

相應(yīng)的邊界條件變成

由函數(shù)f(x,y)的連續(xù)性，有

σ1= max{f(1,φ(1)+v)+r∶-|B-φ(1)|≤

v≤|B-φ(1)|}.

為了方便證明主要結(jié)論, 先給出關(guān)于邊界層問題(9)～(10)的估計解v0(t)的表達(dá)式和定義的引理.

引理 2 在假設(shè)H1)和H2)下, 對于足夠小的ε>0, 邊界層問題(9)～(10)有一個滿足下面估計的解v0(τ).

且

|B-φ(1)|

其中

證明 首先選取輔助函數(shù)

易知

然后可得

α″(t)+f(1,φ(1)+α(τ))α′(τ)+rα′(τ)≥

(f(1,φ(1)+α(τ))+r))≥0.

同樣可以得到

β″(t)+f(1,φ(1)+β(τ))β′(τ)+rβ′(τ)≤

(f(1,φ(1)+β(τ))+r))≤0.

根據(jù)引理1知, 方程(9)～(10)存在滿足估計式(11)的解v0(τ).

下面證明式(12). 根據(jù)極限的定義和式(11), 得到下面的表達(dá)式

結(jié)合式(13), 并把上面的不等式從0到τ積分, 得到

|z(τ)|≤|B-φ(1)|

因此， 式(12)成立.

下面給出邊界層在t=1處方程(7)～(8)的解的存在性定理.

定理 1 在條件H1),H2)和H3)成立的情況下, 對于足夠小的ε>0, 邊值問題(7)～(8)有滿足下面條件的解

證明 由假設(shè)H1)和H3)知, 對足夠小的ε>0, 存在一個正常數(shù)K, 使得

|φ′(t)|≤K, |φ″(t)|≤K,t∈[0,1],

|f(t,φ(t)+υ0(τ))-f(1,φ(1)+υ0(τ))≤

|fy(t,y)|≤K, (t,y)∈[0,1]×[A,B] .

首先根據(jù)漸近解的構(gòu)造, 選取barrier函數(shù)

t∈[0,1],

t∈[0,1],

其中

以及

其中， 正常數(shù)L的取值會在下面的證明過程中給出.

容易得到以下幾個命題:

i)

ii)

t∈[0,1],

t∈[0,1];

iii)v1(τ)是下面方程的解

iv)γ(t)是下面方程的解

根據(jù)假設(shè)H1)～H3), 利用命題i)～iv), 得到下面的不等式

εα″(t)-f(t,α(t))α′(t)-rα′(t)+α(t)=

v0(τ) +[f(t,φ(t))-f(t,α(t))]φ′(t)+εφ″(t)+

(f(t,α(t))+r)γ′(t)ε-γ(t)ε-γ″(t)ε2-

v0(τ)-fy(t,φ(t)+v0(τ)-εθ1v1(τ)-

θ2v0(τ)-εθ2v1(τ)-εθ2γ(t))(v0(τ)-εv1(τ)-

εγ(t))φ′(t)+(f(t,α(t))+r)γ′(t)ε-γ(t)ε-

(K2-1)γ(t)ε-εK-γ″(t)ε2-

ε(K2-1)|v1(τ)|≥

選取

因此， 對足夠小的ε>0, 有

εα″(t)-f(t,α(t))α′(t)-rα′(t)+α(t)≥0,

t∈[0,1].

同樣, 對于足夠小的ε>0, 用類似的方法得到

εβ″(t)-f(t,β(t))β′(t)-rβ′(t)+β(t)≤0,

t∈[0,1].

因此， 存在滿足下面條件的解

顯然有

α(t)≤β(t),t∈[0,1],α,β∈C1([0,1]),

α(0)≤A≤β(0),α(1)≤B≤β(1).

這樣， 就證明了當(dāng)邊界層位于t=1處問題(7)～(8)解的存在性. 由于問題(7)～(8)是問題(1)～(2)的近似系統(tǒng), 也就說明了問題(1)～(2)的解的存在性.下面給出邊界層位于t=0時的情形.

2.2 邊界層位于t=0處

首先假設(shè)f(t,y)≤σ0-r<0在區(qū)間[0,1]上均成立, 其中σ0是一個正數(shù)(根據(jù)文獻(xiàn)[14], 這種假設(shè)下邊界層在t=0附近).

將y(t)=φ(t)+u(τ)代入式(7), 得到

φ(t)+u(τ)=0.

考慮邊界層的零階近似項, 有

相應(yīng)的邊界條件變成

下面給出邊界層在t=0處方程(7)～(8)的解的存在性定理.

定理 2 在條件H1), H2′)和H3)成立的情況下, 對于足夠小的ε>0, 邊值問題(7)～(8)有滿足下面條件的解

(19)

證明過程類似于定理1的證明, 此處略.

同樣說明了問題(1)～(2)當(dāng)邊界層位于t=0處的解的存在性.

3 結(jié) 論

本文給出了一種研究奇攝動滯后型微分方程解的存在性方法, 用冪級數(shù)展開法把含有小參數(shù)ε的奇攝動滯后型微分方程邊值問題(1)～(2)轉(zhuǎn)換為不含時滯項的奇攝動微分方程邊值問題(7)～(8), 通過研究問題(7)～(8)的解的存在性來研究(1)～(2)的解的存在性, 并根據(jù)邊界層可能存在的位置(t=0或者t=1)分情形討論. 在不同情形下, 給出解的存在性定理, 并利用微分不等式等技巧給出定理的證明.

[1]Roul P, Warbhe U. New approach for solving a class of singular boundary value problem arising in various physical models[J]. J Math Chem, 2016, 54: 1255-1285.

[2]Ardema M D. Singular perturbation in flight mechanics[M]. US: NASA, 1974.

[3]Du Z J, Lin W T, Mo J Q. Perturbation method of studying the EI Nio oscillation with two parameters by using the delay sea-air oscillator model[J]. Chin Phys B, 2012, 21(9): 090201.

[4]Holmes M H. Introduction to perturbation methods[M]. Singapore： World Scientific Publishing, 1999.

[5]Nayfeh A H. Introduction to perturbation techniques[M]. New York： John Wiley & Sons, 1981.

[6]Xie F. On a class of singular boundary value problems with singular perturbation[J]. J Differ Equations, 2012, 252(3): 2370-2387.

[7]周明儒, 杜增吉, 王廣瓦. 奇異攝動中的微分不等式理論[M]. 北京： 科學(xué)出版社, 2012.

[8]Kudu M, Amirali I, Amiraliyev G M. A finite-difference method for a singularly perturbed delay integro-differential equation[J]. J Comput Appl Math, 2016, 308: 379-390.

[9]Humphries A R, Bernucci D A, Calleja R C. Periodic solutions of a singularly perturbed delay differential eqution with two state-dependent delays[J]. J Dyn Diff Equat, 2016, 28: 1215-1263.

[10]Chakravarthy P P, Kumar S D, Rao R N, et al. A fitted numerical scheme for second order singular perturbed delay differential equations via cubic spline in compression[J]. Adv Differ Equat, 2015, 2015(1): 1-14.

[11]Zhou X C, Shi L F, Mo J Q. A class of asymptotic solution for the time delay wind field model of an ocean[J]. Chin Phys B, 2014, 23(4): 040202.

[12]Wang W G, Lin W T, Shi L F, et al. Approximate solution of solitary wave for nonlinear-disturbed time delay long-wave system[J]. Acta Phys Sin, 2014, 63(11): 110204.

[13]Rao F, Wang W M, Li Z B. Hopf bifurcation analysis of a predator-prey system with delay and harvesting[J]. Journal of East China Normal University(Natural Science), 2010, 6: 186-198.

[14]Kadalbajoo M K, Patidar K C. A survey of numerical techniques for solving singularly perturbed ordinary differential equations[J]. Appl Math Comput, 2002, 130: 457-510.

Existence of Solutions of a Class of Singular Perturbation Second-Order Delay Differential Equation

PAN Yu-yang, WANG Xiao-yun

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

The boundary value of a class of second-order singularly perturbed delaying differential equation is studied. First, by using the polynomial expansion in the perturbation method to the delayed terms, the original system is transformed into an equivalent system without delayed terms. Then, under certain hypothetic conditions, different existing theorems can be given according to the positions of the boundary layers which is located att=1 ort=0, through the singular perturbation method and the differential inequality technique. The theorem is: Under certain conditions, the boundary value has a solution to satisfy the condition ifε>0 is small enough.

second-order differential equations; singular perturbation; delay; boundary layer; differential inequality

1673-3193(2017)04-0404-05

2016-11-24

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(11401420)； 山西省自然科學(xué)基金資助項目(201601D102002)； 太原理工大學(xué)2016年校專項/青年基金(2015MS033)； 太原理工大學(xué)引進(jìn)人才基金資助項目(tyut-rc201317a)

潘宇洋(1991-)， 女， 碩士生， 主要從事攝動微分方程及應(yīng)用的研究.

王曉云(1972-)， 女， 副教授， 博士， 主要從事攝動微分方程及應(yīng)用的研究.

O175.8

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.04.002