李 言， 李麗紅， 李 爽， 白 斌， 劉保相

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院 河北 唐山 063000)

基于集對(duì)聯(lián)系熵的三支決策模型及應(yīng)用

李 言， 李麗紅， 李 爽， 白 斌， 劉保相

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院 河北 唐山 063000)

信息熵是信息系統(tǒng)中不確定性研究的有效理論工具之一.首先，構(gòu)建集對(duì)聯(lián)系熵建立三支決策規(guī)則，利用集對(duì)同熵、集對(duì)反熵、集對(duì)異同和異反熵對(duì)三支決策不確定性進(jìn)行度量，進(jìn)一步對(duì)延遲決策的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析預(yù)測(cè).其次，考慮延遲決策的決策風(fēng)險(xiǎn)，受錯(cuò)判風(fēng)險(xiǎn)敏感程度、知識(shí)粒度和決策時(shí)機(jī)的影響，分析影響因素間的關(guān)系，給出延遲決策風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)表達(dá)形式.再次，針對(duì)知識(shí)粒度的不同對(duì)進(jìn)一步?jīng)Q策的作用不同，將集對(duì)聯(lián)系熵進(jìn)行改進(jìn)，當(dāng)集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)集合拓展為普通集合時(shí)，出現(xiàn)“拒識(shí)域”，集對(duì)聯(lián)系熵可進(jìn)一步拓展.最后，用實(shí)例進(jìn)行模型有效性驗(yàn)證.

三支決策； 信息熵； 集對(duì)聯(lián)系熵； 延遲決策； 風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)

0 引言

文獻(xiàn)[1]提出了決策粗糙集，把決策域劃分為正域、負(fù)域和邊界域3個(gè)部分，帶動(dòng)了三支決策理論的發(fā)展.三支決策對(duì)應(yīng)于粗糙集模型的正域、負(fù)域和邊界域，從正、負(fù)域中可以分別獲取接受、拒絕決策，當(dāng)無(wú)法使用接受或拒絕決策時(shí)，則采用延遲決策.需要明確的是，三支決策的延遲決策不同于不作為、不決策，而是一種新的決策類(lèi)型.延遲決策向確定決策的轉(zhuǎn)化需要兩個(gè)重要步驟：等一等的過(guò)程，需要待新的條件或信息出現(xiàn)，再對(duì)信息深入分析，使決策傾向性更加明朗；做出決策.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)延遲決策域的處理進(jìn)行了多方面的探索，現(xiàn)有的研究主要集中在三支決策分類(lèi)閾值的確定、不承諾代價(jià)敏感分類(lèi)及邊界域樣本處理等方面.文獻(xiàn)[2-3]提出了三支決策分類(lèi)閾值的自適應(yīng)算法和模擬退火算法，并將其應(yīng)用于垃圾郵件過(guò)濾問(wèn)題.文獻(xiàn)[4]提出基于構(gòu)造性覆蓋算法的三支決策閾值確定方法和邊界域樣本處理方法.文獻(xiàn)[5]研究了代價(jià)敏感三支決策模型，并將其應(yīng)用于人臉識(shí)別問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]討論了三支決策閾值的系數(shù)確定方法.

隨著三支決策理論在多領(lǐng)域中的應(yīng)用，三支決策的延遲決策需付出的代價(jià)與決策風(fēng)險(xiǎn)引起學(xué)者們的關(guān)注.文獻(xiàn)[7-10]將集對(duì)分析方法與三支決策理論結(jié)合，指出了三支決策、粗糙集和集對(duì)在形式上的統(tǒng)一性，給出了三支決策的集對(duì)分析數(shù)學(xué)模型，并給出三支決策集對(duì)分析模型中決策正確性的可靠程度.當(dāng)同異反聯(lián)系函數(shù)中的參數(shù)b為0時(shí)，三支決策轉(zhuǎn)化為二支決策問(wèn)題，是三支決策理論的擴(kuò)展和三支決策應(yīng)用的新途徑.本文進(jìn)一步構(gòu)建集對(duì)聯(lián)系熵作為三支決策不確定性的度量，用以對(duì)決策方案信息進(jìn)行刻畫(huà)，對(duì)延遲決策的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，并通過(guò)實(shí)例證明了模型的正確性和可操作性.

1 相關(guān)理論

1.1 三支決策

三支決策理論的基本思想是在實(shí)體評(píng)價(jià)函數(shù)上引入兩個(gè)閾值，并構(gòu)造所需要的三個(gè)域.設(shè)U是有限、非空實(shí)體集或者決策方案集，C是有限條件集，條件集可能包含指標(biāo)、目標(biāo)或約束.決策任務(wù)是基于給定條件對(duì)每一個(gè)實(shí)體x∈U做出相應(yīng)決策.條件集C給出了決策的依據(jù)，通過(guò)構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)給出決策.當(dāng)信息不確定或者不完整時(shí)，可能無(wú)法確定實(shí)體是否滿足條件，也就是評(píng)價(jià)函數(shù)是對(duì)實(shí)體滿足條件的一種估計(jì)而非精確值，由于這種估計(jì)的不確定性，采用二值決策可能比較困難，在評(píng)價(jià)函數(shù)值既不很高也不很低時(shí)，不論是接受或拒絕都顯得不合理.此時(shí)引入三支決策，給定閾值α和β：

1) 當(dāng)評(píng)價(jià)函數(shù)值大于或等于α?xí)r，接受該實(shí)體.

2) 當(dāng)評(píng)價(jià)函數(shù)值小于或等于β時(shí)，拒絕該實(shí)體.

3) 當(dāng)評(píng)價(jià)函數(shù)值在α和β之間時(shí)，既不拒絕也不接受，選擇不承諾決策.

構(gòu)成的3個(gè)兩兩不相交的域，分別記為正域(POS)、負(fù)域(NEG)和邊界域(BND).粗糙集是典型的三支決策模型，粗糙集模型的正域、負(fù)域和邊界域可以解釋為接受、拒絕和不承諾3種決策的結(jié)果.

1.2 三支決策的集對(duì)分析模型

定義2[8]將集對(duì)中的集合Y看作評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)集合，根據(jù)?x∈X,y∈Y. 有關(guān)系R、無(wú)關(guān)系R以及不確定有無(wú)關(guān)系R，稱序偶子集：

為集合X與Y在問(wèn)題W下的同一性、對(duì)立性和不確定性序偶集.并將

u(X,Y)=a+bi+cj，

(1)

其中：a,b,c∈[0,1]，且有a+b+c=1.

將同異反聯(lián)系度函數(shù)u(X，Y)=a+bi+cj作為評(píng)價(jià)函數(shù)(此時(shí)的i和j僅具有符號(hào)含義而不進(jìn)行賦值)，根據(jù)決策最小風(fēng)險(xiǎn)原則，三支決策的三個(gè)域定義為：

}.

據(jù)此構(gòu)造的三支決策規(guī)則為：當(dāng)x∈POS(u)，做出接受決策；當(dāng)x∈NEG(u)，做出拒絕決策；當(dāng)x∈BND(u)，做出不承諾決策.

為了同時(shí)凸顯同異反聯(lián)系狀態(tài)和知識(shí)粒度在三支決策中的作用，有必要引入集對(duì)聯(lián)系熵來(lái)度量三支決策不確定性，從而對(duì)延遲決策結(jié)果進(jìn)行預(yù)判，進(jìn)一步控制三支決策風(fēng)險(xiǎn).

圖1 決策示意圖Fig.1 Decision-making dagram

圖2 決策示意圖Fig.2 Decision-making dagram

2 基于集對(duì)聯(lián)系熵的三支決策

三支決策的研究源于問(wèn)題的不確定性，熵是系統(tǒng)不確定性的度量.隨著對(duì)粗糙集理論研究的深入，信息熵被陸續(xù)引入到粗糙集研究中.文獻(xiàn)[11]討論了知識(shí)粗糙性和信息熵的關(guān)系，證明了熵與互信息對(duì)于定義在知識(shí)上的偏序“較細(xì)”都是單調(diào)下降的.文獻(xiàn)[12]指出粗糙熵和模糊熵隨知識(shí)粒度的變化規(guī)律不一定符合人們的認(rèn)知規(guī)律，從信息熵角度提出了一種粗糙集不確定性的度量方法.文獻(xiàn)[13]提出一種基于粗糙集和信息熵的屬性約簡(jiǎn)算法.以上研究表明，熵作為不確定性的度量，很適合作為三支決策信息度量與刻畫(huà)的運(yùn)算工具[14-17].集對(duì)聯(lián)系熵的構(gòu)建則可以系統(tǒng)展示三支決策的不確定狀態(tài).

2.1 集對(duì)聯(lián)系熵的構(gòu)建

為三支決策問(wèn)題的集對(duì)同熵和集對(duì)反熵，其中：

稱

(2)

(3)

為三支決策的集對(duì)異同熵和集對(duì)異反熵，其中pi為第i個(gè)知識(shí)“屬于”Y的可靠程度，稱

SH(X,Y)=HP(X,Y)+(HB1(X,Y)+HB2(X,Y))i+HN(X,Y)j

(4)

為三支決策的集對(duì)聯(lián)系熵.其中HB(X,Y)=HB1(X,Y)+HB2(X,Y)，由式(2)和(3)給出，即集對(duì)異同熵和集對(duì)異反熵之和又稱為集對(duì)差異熵.

給定三支決策問(wèn)題，集對(duì)聯(lián)系熵的基本性質(zhì)如下：

性質(zhì)1HP(X,Y)≥0,HN(X,Y)≥0,HB1(X,Y)≥0,HB2(X,Y)≥0均成立，即集對(duì)同熵、集對(duì)反熵、集對(duì)異同熵和集對(duì)異反熵均滿足非負(fù)性.(證明略)

性質(zhì)2 當(dāng)S/N=1或P/N=1時(shí)，集對(duì)同熵、集對(duì)反熵、集對(duì)異同熵和集對(duì)異反熵均為0,則此時(shí)的三支決策為確定性決策.

集對(duì)聯(lián)系熵作為一個(gè)整體，由于參數(shù)i、j的取值變化，會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化.當(dāng)j取-1時(shí)，如果集對(duì)聯(lián)系熵僅剩余包含i的部分，集對(duì)同熵和集對(duì)異熵相等，此時(shí)整體決策不確定性最大.

j.

借助集對(duì)聯(lián)系熵，可直觀看到，兩個(gè)問(wèn)題的集對(duì)同熵和反熵相同，此時(shí)整體決策不確定性最大，問(wèn)題1的集對(duì)異同熵小于異反熵，說(shuō)明問(wèn)題1的延遲決策結(jié)果傾向拒絕決策更加合理，問(wèn)題2的集對(duì)異同熵大于異反熵，說(shuō)明問(wèn)題2的延遲決策結(jié)果傾向接受決策更加合理.

2.2 三支決策規(guī)則

以集對(duì)聯(lián)系熵為決策度量函數(shù)，可以構(gòu)造三支決策規(guī)則(此時(shí)的i和j僅具有符號(hào)含義而不進(jìn)行賦值)，三支決策的3個(gè)域定義為：

決策正域中是決策為“接受”的相應(yīng)結(jié)果，此時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)小于劃分為決策負(fù)域或邊界域的風(fēng)險(xiǎn)；決策負(fù)域中是決策為“拒絕”的相應(yīng)結(jié)果，此時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)小于劃分為決策正域或邊界域的風(fēng)險(xiǎn)；邊界域中是“不承諾”的相應(yīng)結(jié)果，此時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)小于劃分為決策正域或負(fù)域的風(fēng)險(xiǎn).

進(jìn)一步地，HP(X,Y)=HN(X,Y)時(shí)，HB1(X,Y)>HB2(X,Y)，提示延遲決策有向接受決策的傾向；HB1(X,Y)

基于集對(duì)聯(lián)系熵構(gòu)造的三支決策準(zhǔn)確率為:

正確接受率為

錯(cuò)誤接受率為

正確拒絕率為

錯(cuò)誤拒絕率為

3 風(fēng)險(xiǎn)分析

對(duì)三支決策接受域、拒絕域的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)可以歸結(jié)為確定性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)問(wèn)題，延遲決策域的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)則不同，如何先期預(yù)測(cè)延遲決策這一待選擇狀態(tài)的后期風(fēng)險(xiǎn)是三支決策應(yīng)用中不可逾越的根本問(wèn)題.經(jīng)初步分析給出延遲決策的風(fēng)險(xiǎn)R(B)的影響因素.

1) 延遲決策風(fēng)險(xiǎn)影響因素

① 受拒絕決策和接受決策的風(fēng)險(xiǎn)影響，將本應(yīng)做出接受決策做出了拒絕決策，或者本應(yīng)做出拒絕決策卻做出了接受決策，決策風(fēng)險(xiǎn)是不同的，因此延遲決策的風(fēng)險(xiǎn)受錯(cuò)判風(fēng)險(xiǎn)敏感度影響,

R(B)∝max(λPN,λNP).

其中：λPN是本應(yīng)做出接受決策卻做出拒絕決策的代價(jià)；λNP為本應(yīng)做出拒絕決策卻做出接受決策所要付出的代價(jià).即決策風(fēng)險(xiǎn)更依賴于對(duì)錯(cuò)判風(fēng)險(xiǎn)更敏感的一方.

② 延遲決策的風(fēng)險(xiǎn)與下次決策的時(shí)機(jī)有關(guān)，也就是與“等一等再?zèng)Q策”的時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)，若沒(méi)有利用好“等一等”的機(jī)會(huì)，急于做出接受或拒絕決策，有可能增加錯(cuò)誤接受率或錯(cuò)誤拒絕率.若時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，錯(cuò)過(guò)了決策時(shí)機(jī)，可能會(huì)使做出的決策失去意義，因此延遲決策的風(fēng)險(xiǎn)受不承諾周期時(shí)間影響，

minR(B)=R(B)tD，t∈(t0,tD)，R(B)單減；t∈(tD,t1)，R(B)單增.

③ 隨著學(xué)習(xí)和對(duì)事物的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，會(huì)使支持接受決策或拒絕決策的屬性特征增加，決策風(fēng)險(xiǎn)會(huì)發(fā)生改變，因此延遲決策的風(fēng)險(xiǎn)是獨(dú)立屬性個(gè)數(shù)的函數(shù)R(B)∝δ(x)，δ(x)為變化的獨(dú)立屬性個(gè)數(shù).

2) 各影響因素間的關(guān)系

3個(gè)影響因素并非相互獨(dú)立，而一定程度上是相關(guān)聯(lián)的，獨(dú)立屬性個(gè)數(shù)受決策時(shí)機(jī)影響，錯(cuò)判風(fēng)險(xiǎn)又與獨(dú)立屬性有關(guān).將錯(cuò)判風(fēng)險(xiǎn)和獨(dú)立屬性影響作為主要因素，決策時(shí)機(jī)為限制條件，構(gòu)造3個(gè)主要影響因素間的多元函數(shù)，對(duì)延遲決策風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行描述：

R(B)ti=f(max(λPN,λNP),δ(x))，

其中：ti為第i個(gè)能夠做決定的時(shí)刻，當(dāng)ρ的取值趨于1時(shí)，說(shuō)明ti+1時(shí)刻與ti時(shí)刻的決策結(jié)果趨于穩(wěn)定，此時(shí)的延遲決策可以向二支決策轉(zhuǎn)化.

4 模型推廣

1) 正同熵和負(fù)反熵為確定的值，構(gòu)造的接受和拒絕域也是確定的.但是，邊界域部分由于決策標(biāo)準(zhǔn)集的含義不同，每一個(gè)邊界域的知識(shí)可能表示一個(gè)不同的領(lǐng)域，如大小、顏色，因此邊界域每一個(gè)知識(shí)都有一個(gè)隸屬程度p，此時(shí)的三支決策評(píng)價(jià)函數(shù)為

SH(X,Y)=HP(X,Y)+(HB1(X,Y)+HB2(X,Y))i+HN(X,Y)j，

其中：

圖3 決策示意圖Fig.3 Decision-making dagram

HP(X,Y)、HN(X,Y)計(jì)算同上.

2) 把評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)集拓展為普通集合如圖3所示.

決策問(wèn)題中便存在了“拒識(shí)域”[12]，即圖中的“#”域部分，此時(shí)的拒識(shí)域不能簡(jiǎn)單歸為不確定域，因?yàn)殡S著延遲決策的知識(shí)粒化和搜索，拒識(shí)域的粒度不變，此時(shí)的決策風(fēng)險(xiǎn)也未知，可以作為一種新的決策類(lèi)型處理，此時(shí)基于集對(duì)聯(lián)系熵的評(píng)價(jià)函數(shù)定義為：

其中：

PZ為拒識(shí)域與全集U的占比.

5 應(yīng)用實(shí)例

小A決定購(gòu)買(mǎi)一套商品房，他目前的購(gòu)房能力如下：可用于購(gòu)房的資金為30萬(wàn)元，家庭月收入9 000元，并且以每年10%速度穩(wěn)定增長(zhǎng).在做出最終的決定之前，他收集了大量關(guān)于房屋購(gòu)買(mǎi)相關(guān)信息的建議，在最終決定是否采納這些建議之前，希望可以通過(guò)這些信息的整合，以最終決定是否購(gòu)買(mǎi)及購(gòu)買(mǎi)房屋的位置.提取條件屬性中的部分屬性作為示例進(jìn)行分析，選擇的屬性有房屋位置與工作單位距離(a1)、房屋樓層是否符合要求(a2)、環(huán)境配套接受程度(a3)、價(jià)格接受程度(a4).對(duì)應(yīng)決策屬性為是否值得購(gòu)買(mǎi)(d).以某小區(qū)為例進(jìn)行分析，其決策形式背景如表1所示.

則此小區(qū)的購(gòu)買(mǎi)意向的同異反聯(lián)系度為

集對(duì)同勢(shì)和集對(duì)反勢(shì)相等[8]，消費(fèi)者處于買(mǎi)和不買(mǎi)的猶豫狀態(tài)，此時(shí)做出的決策必然是“暫時(shí)不買(mǎi)房”，即采取三支決策的延遲決策.

表1 決策形式背景

進(jìn)一步對(duì)延遲決策進(jìn)行再?zèng)Q策，對(duì)4個(gè)評(píng)價(jià)因素進(jìn)行排序，選取Z={x1,x4,x6,x8}，計(jì)算各屬性與決策結(jié)果的同異反聯(lián)系函數(shù):

由集對(duì)勢(shì)和決策結(jié)果之間的關(guān)系，得出四個(gè)屬性的排序?yàn)椋篴4>a2>a3>a1.即買(mǎi)房決策中，價(jià)格因素是考慮最多，其次是樓層、小區(qū)環(huán)境和距離因素.對(duì)價(jià)格因素和距離因素進(jìn)行心理評(píng)估，x2與x6接受程度為0.7，因此取p=0.7，計(jì)算集對(duì)聯(lián)系熵：

HB1(X,Y)>HB2(X,Y).

集對(duì)異同熵大于集對(duì)異反熵，根據(jù)三支決策規(guī)則，此時(shí)延遲決策應(yīng)作出“接受域”的結(jié)果，即“買(mǎi)房決策”.

接下來(lái)考慮決策時(shí)機(jī)、決策粒度、錯(cuò)判風(fēng)險(xiǎn)敏感度因素，對(duì)延遲決策結(jié)果進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估.

決策粒度分為價(jià)格上漲趨勢(shì)和收入上漲趨勢(shì)兩方面去評(píng)價(jià)，結(jié)合2016上半年的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)形式，該地房?jī)r(jià)穩(wěn)中有升，平均每月環(huán)比上漲0.3%，然而消費(fèi)者的工資收入年均環(huán)比上漲10%，工資上漲增幅小于房?jī)r(jià)上漲增幅，R(B)隨δ(x)變細(xì)而上升.

錯(cuò)判風(fēng)險(xiǎn)敏感度主要指在應(yīng)該買(mǎi)的時(shí)候做出“不買(mǎi)”的決策，可能失去最好的價(jià)格優(yōu)勢(shì).在不該買(mǎi)的時(shí)候做出“買(mǎi)”的決策，也可能承擔(dān)很多利息的同時(shí)套牢了資金，結(jié)合其經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)，房貸支出占家庭總收入的比例不大，因此λPN>λNP.

綜合二者，f(max(λPN,λNP),δ(x))隨變量變化呈現(xiàn)綜合上漲的趨勢(shì)，ρ也隨之增大，因此延遲決策的時(shí)間越早、且選擇接受結(jié)果即“買(mǎi)房”的決策風(fēng)險(xiǎn)更小.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文將集對(duì)方法與三支決策相融合，定義了集對(duì)聯(lián)系熵統(tǒng)一刻畫(huà)三支決策的不確定風(fēng)險(xiǎn)，并初步探討了延遲決策的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)因素，同時(shí)根據(jù)知識(shí)粒度對(duì)決策的影響，給出了集對(duì)聯(lián)系熵的拓展方法.隨著延遲決策的進(jìn)行，決策接受域和拒絕域會(huì)發(fā)生變化，需持續(xù)進(jìn)行三支決策，并通過(guò)適當(dāng)設(shè)立時(shí)間閾值的方式，得到理想的決策結(jié)果.對(duì)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的合理量化是下一步的研究目標(biāo).

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Three-way Decisions Model and Application Based on Set Pair Information Entropy

LI Yan, LI Lihong, LI Shuang, BAI Bin, LIU Baoxiang

(CollegeofScience,NorthChinaUniversityofScienceandTechnology,Tangshan063000,China)

Information entropy was an effective theory on uncertainty research in information system. Firstly, a set pair of information entropy should be constructed to establish three-way decision rules. The uncertainties of three-way decision rules were measured by the similar-entropy, anti-entropy, and different-entropy. Then prediction risks of delay decisions needed to be analyzed and predicated further. Secondly, in view of decision-making risks of delayed decision-making, which was influenced by the miscarriage risk sensitivity, knowledge of particle size and the timing of decisions, the function formula of delayed decision-making risks could be given through the analysis of relationship between the influencing factors. Furthermore, different knowledge size played different role in further decision-making. The set pair information entropy could be improved. When standard set expanded to general collection, a new domain “rejection domain” appeared. The set pair information entropy could be improved further. Finally, an instance was applied to verify the validity of the model.

three-way decisions; information entropy; set pair information entropy; delay decision; risk function

2017-04-05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61370168)；河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(E2017209178)；華北理工大學(xué)青年科學(xué)基金項(xiàng)目(Z201517).

李言(1990—)，女，河北晉州人，助教，主要從事粗糙集、三支決策等方面的研究，Email：danliyan@163.com.

TP399

A

1671-6841(2017)03-0052-07

10.13705/j.issn.1671-6841.2017070