宋文彬，喬文昇，馬 霞

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第十研究所，成都 610036）

基于四面體六棱長(zhǎng)的三站測(cè)時(shí)差立體定位方法

宋文彬，喬文昇，馬 霞

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第十研究所，成都 610036）

針對(duì)在三站測(cè)時(shí)差立體定位中輻射源位置不能唯一確定的情形，提出一種簡(jiǎn)單易懂、計(jì)算方便、可操作性強(qiáng)的解析解方法，以解決求解雙曲面方程組的繁瑣問(wèn)題。首先利用三站相互之間的距離、由量測(cè)時(shí)差值換算得到的兩個(gè)距離差值，以及輻射源至主站的距離（設(shè)為變量r）總共6個(gè)參數(shù)，立足于已知6條邊長(zhǎng)判斷能否構(gòu)成四面體的理論，求得r的取值范圍；然后在r的值域范圍內(nèi)任意給定某個(gè)具體值，加上已知三站的地理位置，通過(guò)解三元一次方程組的形式獲得目標(biāo)在三站所在平面內(nèi)垂直投影的坐標(biāo)（設(shè)為變量Xh），并計(jì)算出目標(biāo)至垂直投影的距離（設(shè)為變量h）；最后由Xh和h給出目標(biāo)在地心地固直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

三站，無(wú)源定位，TDOA，解析幾何

0 引言

無(wú)源定位中的多站到達(dá)時(shí)差（Time Difference of Arrival，簡(jiǎn)稱(chēng)TDOA）定位技術(shù)因不需要全局時(shí)間同步，而且定位精度高、實(shí)時(shí)性好，在傳感網(wǎng)絡(luò)定位系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。在TDOA定位中，一個(gè)時(shí)差估計(jì)值對(duì)應(yīng)的是以?xún)蓚€(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)為焦點(diǎn)的一對(duì)雙曲面，多個(gè)時(shí)差估計(jì)值對(duì)應(yīng)多條雙曲面，這些雙曲面的交點(diǎn)即為被測(cè)信號(hào)源的位置。一般情況下，求解雙曲面方程組非常繁瑣，不容易得到方程的解析解，而且會(huì)出現(xiàn)多值現(xiàn)象，需要進(jìn)行解模糊處理［1-2］。有時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假定傳感器與信號(hào)源位于同一平面內(nèi)，利用平面內(nèi)的雙曲線(xiàn)進(jìn)行相交求解［2］。目前TDOA定位主要采用約束線(xiàn)性最小二乘算法，典型的如Chan等［3］提出的二次糾正最小二乘法，Huang等［4］基于拉格朗日乘子法提出的線(xiàn)性糾正最小二乘法以及Yang等［5］提出的基于牛頓迭代法的約束總體最小二乘法等。另外還有其他一些基于迭代［6］、統(tǒng)計(jì)［7］或者濾波［8-9］等手段的求解方法。本文針對(duì)三站TDOA立體定位問(wèn)題，繞開(kāi)復(fù)雜的雙曲面方程組求解過(guò)程，采用立體解析幾何的方法直接給出滿(mǎn)足兩量測(cè)時(shí)差條件的信號(hào)源所有可能位置的解空間。

1 三站測(cè)時(shí)差立體定位方法

1.1 三站測(cè)時(shí)差定位問(wèn)題

圖1 三站測(cè)時(shí)差立體定位示意圖

如圖1所示，設(shè)空間有A、B、C三站，其中C為主站，A、B為輔站。三站測(cè)時(shí)差定位系統(tǒng)同時(shí)測(cè)量輻射源T的輻射到達(dá)主站C與輔站B之間的時(shí)間差△t1、到達(dá)主站C與輔站A之間的時(shí)間差△t2。假定T至C的距離為r，則T至B、A的距離分別為r+d1和 r+d2，其中 d1=c△t1，d2=c△t2，c 為光速。因?yàn)橹挥?個(gè)站，無(wú)法唯一確定輻射源T的位置，一般做法是認(rèn)為臺(tái)站與輻射源均在同一水平面內(nèi)，利用兩條雙曲線(xiàn)相交得到輻射源的位置。然而在工程應(yīng)用中，大部分情況是3個(gè)臺(tái)站位于地面，高度往往不同，而且輻射源位于空中，如果采用二維解算的方法，將會(huì)帶來(lái)不小的定位誤差。如果直接在立體空間求解，兩條雙曲線(xiàn)就變作兩個(gè)雙曲面，相關(guān)的方程組如下。

其中（xi，yi，zi），i=0，1，2是主站與兩輔站的坐標(biāo)，以解析解的形式討論式（1）存在實(shí)根的情況是極其繁雜的。

1.2 三站測(cè)時(shí)差立體定位算法原理

如圖1所示，三站之間的距離分別令作a，b，c，加上輻射源T至它們的距離r，r+d1，r+d2，一共6個(gè)正數(shù)，其中r為未知數(shù)。如果輻射源存在的話(huà)，即空間存在4個(gè)點(diǎn)，它們之間的直線(xiàn)距離等于以上6個(gè)正數(shù)。針對(duì)該問(wèn)題，參照2008年曾中君證明的六正數(shù)構(gòu)成四面體六棱長(zhǎng)的充要條件［10］，增加4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的情形，只須將曾中君推導(dǎo)的不等式由“〉”改為“≥”，具體如下。

即如果變量 r使得式（2）成立，且使得 r，r+d1，r+d2均為正數(shù)，則按照曾中君證明的充要條件可得出，a，b，c，r，r+d1，r+d26 個(gè)正數(shù)能夠構(gòu)成一個(gè)四面體的六棱長(zhǎng)，四面體的4個(gè)頂點(diǎn)分別為3個(gè)基站的位置和滿(mǎn)足時(shí)差條件的輻射源T的位置；反之如果變量 r不能同時(shí)使得不等式（2）和 r，r+d1，r+d2均為正數(shù)成立，則 a，b，c，r，r+d1，r+d26 個(gè)數(shù)將不能夠構(gòu)成一個(gè)四面體的六棱長(zhǎng)，也就不存在滿(mǎn)足時(shí)差條件的輻射源T。

將式（2）化簡(jiǎn)可得：

1.3 三站測(cè)時(shí)差立體定位算法步驟

三站測(cè)時(shí)差立體定位方法包含以下4個(gè)具體步驟：

1.3.1 計(jì)算基線(xiàn)長(zhǎng)度

設(shè)主站C和輔站B、A的經(jīng)緯高分別為li，mi，hi，i=0，1，2，利用式（4）、式（5）計(jì)算基線(xiàn)長(zhǎng)度 a，b，c。先利用式（4）計(jì)算三站在地心地固（ECEF）直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值 xi，yi，zi。

其中子午圈第一偏心率平方e2=0.00669438，橢球卯酉圈曲率半徑，赤道半徑R=6378 137m。再利用式（5）計(jì)算出它們之間的直線(xiàn)距離。

1.3.2 計(jì)算滿(mǎn)足不等式條件的r的取值范圍

首先保證輻射源T至三站的距離均為正數(shù)，有約束條件 r〉max（0，-d1，-d2），其中 max表示取最大值。

接著討論式（3）對(duì) r的約束作用，定義△=B2-4AC，有以下7種情況：

②當(dāng)A〉0，△≤0時(shí)：對(duì)r的取值沒(méi)有進(jìn)一步約束；

④當(dāng)A＜0，△＜0時(shí)：不存在符合條件的r值；

⑦當(dāng)A=B=0時(shí)：若C≥0，則對(duì)r的取值沒(méi)有進(jìn)一步約束；若C＜0，則不存在符合條件的r值。

1.3.3 計(jì)算輻射源T在三站所在平面內(nèi)投影的坐標(biāo)

在計(jì)算出的取值范圍內(nèi)任意給定某個(gè)r值，利用3個(gè)線(xiàn)性式（6）～式（8）解出輻射源（如圖1中H點(diǎn)所示）。在3個(gè)觀測(cè)站所在平面內(nèi)垂直投影的坐標(biāo) xH，yH，zH。

線(xiàn)性方程之一是式（6），它代表三站所在的平面（見(jiàn)圖1中ΔABC）：

線(xiàn)性方程之二是式（7），它代表以主站C為圓心、r為半徑的球面與以輔站B為圓心、r+d1為半徑的球面相交所確定的環(huán)所在的平面（見(jiàn)圖1中ΔTEH，點(diǎn)E為點(diǎn)H在直線(xiàn)BC上的垂足）：

線(xiàn)性方程之三是式（8），它代表以主站C為圓心、r為半徑的球面與以輔站A為圓心、r+d2為半徑的球面相交所確定的環(huán)所在的平面（見(jiàn)圖1中ΔTFH，點(diǎn)F為點(diǎn)H在直線(xiàn)AC上的垂足）：

1.3.4 計(jì)算輻射源T的坐標(biāo)

首先定義參數(shù)p，q，s，其含義是直線(xiàn)TH的方向數(shù)，大小分別為：

再計(jì)算線(xiàn)段TH的長(zhǎng)度h：

最后輻射源T在ECEF直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)xT，yT，zT為：

再利用坐標(biāo)變換公式將xT，yT，zT轉(zhuǎn)成經(jīng)緯高，通過(guò)高度信息進(jìn)一步定出目標(biāo)位置或范圍。

2 仿真分析

設(shè)A、B、C三站的地理位置及測(cè)得的兩個(gè)時(shí)差的值如下頁(yè)表1所列，經(jīng)計(jì)算得三站之間的距離分別為：a=18 332.8，b=20 372.5，c=362 78.1（單位：m），輻射源至觀測(cè)站的距離差分別為：d1=-11 700，d2=1 800（單位：m，這里令光速為 3×108m/s）。

如果采用求解雙曲面方程組的方法，方程組形式見(jiàn)式（1），其中（xi，yi，zi）（i=0，1，2）的值可由三站的經(jīng)緯高經(jīng)坐標(biāo)變換至ECEF坐標(biāo)系得出?；?jiǎn)需要經(jīng)過(guò)兩次平方才能完全去除開(kāi)方操作，因此，需要討論因平方引入增根的問(wèn)題?；?jiǎn)后剩下的就是求解三元二次方程組了，在求解的過(guò)程中，也涉及到可能存在無(wú)解的情形。與本文提出的僅需求解三元一次方程組和無(wú)需討論增根的方法相比，顯然要復(fù)雜得多。下面詳細(xì)介紹如何使用本文提出的方法求解上述仿真實(shí)例。

表1 仿真場(chǎng)景參數(shù)設(shè)置

將上述5個(gè)參數(shù)代入式（3）得到：

以及△=8.883×1043m10?？梢?jiàn)它屬于1.3.2節(jié)中的第①種情形，得到r的取值范圍為：r≥158315.0m。

圖2 目標(biāo)可能位置的經(jīng)緯度

圖3 目標(biāo)可能位置的高度

本文取滿(mǎn)足條件的r值（158 315≤r≤218 315），利用上節(jié)中的算法，計(jì)算目標(biāo)可能的位置，結(jié)果如圖 2、圖 3所示，其中實(shí)線(xiàn)是式（11）中取“+”號(hào)的結(jié)果，虛線(xiàn)是取“-”號(hào)的結(jié)果。現(xiàn)假設(shè)經(jīng)輻射源識(shí)別目標(biāo)為面目標(biāo)，高度范圍為0 m～1 000 m，則它屬于虛線(xiàn)段范圍，計(jì)算得目標(biāo)的經(jīng)緯度范圍分別為［121.115 44，121.116 67］與［31.053 97，31.055 07］，在水平面的分布范圍約為170 m；若目標(biāo)為空目標(biāo)，高度范圍為5 000 m～15 000 m，則它屬于實(shí)線(xiàn)段范圍，計(jì)算得目標(biāo)的經(jīng)緯度范圍分別為［121.113 92，121.133 25］與［31.052 3，31.066 62］，在水平面的分布范圍約為2 452 m。如果是采用二維定位方法，則只能求出水平面內(nèi)的某一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn)，而忽略了很多其他可能的解。

3 結(jié)論

本文利用已知六邊長(zhǎng)能否構(gòu)成四面體這個(gè)充要條件，僅用輻射源至主站距離這一個(gè)參數(shù)，解出了輻射源存在解的邊界條件。每一個(gè)符合要求的值，均對(duì)應(yīng)了1～2個(gè)輻射源可能的位置。相比于常用的二維求解方法，解的空間極大地拓展了，而且合理利用了三站的高度信息；相比于聯(lián)立雙曲面方程組及其數(shù)值求解的方法，這里只要求解三元一次方程組，大大地節(jié)省了繁瑣的雙曲面方程組求解過(guò)程和解模糊的處理，具有良好的工程應(yīng)用前景。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，利用雙時(shí)差求得目標(biāo)所有可能位置后，通過(guò)進(jìn)一步研判它可能在的大致高度，即可得出目標(biāo)更加準(zhǔn)確的地理位置。

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An Algorithm of Tri-station 3D TDOA Positioning Based on Six Side-length Values of a Tetrahedron

SONG Wen-bin，QIAO Wen-sheng，MA Xia
（No.10 Research Institute，China Electronics Technology Group Corporation，Chengdu 610036，China）

Aimed at the ambiguity occurring in the passive tri-station 3D TDOA positioning system，a simple，lowly-computational and highly-operable algorithm is proposed to resolve the hyperbolic location equations.Firstly，using six parameters which includes the distances between every two stations，the distance differences obtain from two measured time differences，and the distance between the radiation source and the main station（let it be r），simultaneously based on the theory of judging whether six positive number be able to construct the lengths of a tetrahedron’s six sides，the permissive value range of r is gotten.Secondly，for any value of r in the permissive range，the detailed positions of three stations is given，the coordinate of the target’s vertical projection （let it be Xh）in the plane of three stations can be calculated by resolving three-variable linear equations.Moreover，the distance between the target and the projection （let it be h）can be also calculated.Lastly，the target’s earth-center and earth-fixed（ECEF）coordinate is analytically expressed by the parameters of Xhand h.

tri-station，passive location，TDOA，analytic geometry

TN957.52

：A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.06.034

2016-05-05

：2016-06-07

宋文彬（1981- ），男，江西九江人，博士，高級(jí)工程師。研究方向：目標(biāo)跟蹤、目標(biāo)識(shí)別與圖像處理。

1002-0640（2017）06-0150-04