鄭超凡，吳曉光，張成

中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430064

任意邊界及耦合條件下的多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性

鄭超凡，吳曉光，張成

中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430064

［目的］為了克服邊界及耦合條件對(duì)多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性研究的束縛，［方法］基于歐拉梁理論模型，采用Rayleigh-Ritz法建立多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)計(jì)算模型，對(duì)其在任意邊界和任意彈性耦合條件下的自由振動(dòng)特性進(jìn)行研究。在傳統(tǒng)三角余弦級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上，引入4項(xiàng)輔助正弦三角級(jí)數(shù)，改善以往求解過(guò)程中在邊界處存在的不連續(xù)或者跳躍現(xiàn)象。將位移容許函數(shù)的未知傅里葉展開(kāi)系數(shù)看作廣義變量，結(jié)合Rayleigh-Ritz法對(duì)其求極值，將結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題。［結(jié)果］通過(guò)與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了收斂速度與計(jì)算精度。［結(jié)論］所得結(jié)果可為多跨梁結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用提供理論參考。

改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)；任意邊界條件；Rayleigh-Ritz法；多跨梁；結(jié)構(gòu)振動(dòng)

0 引 言

梁結(jié)構(gòu)在航天、航海、建筑、橋梁、水利等工程領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛，梁結(jié)構(gòu)特別是多跨梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性一直是學(xué)者們多年來(lái)所關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于梁的振動(dòng)特性研究比較廣泛，主要研究方法包括模態(tài)疊加法［1］、傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法［2］、數(shù)值法［3-4］和解析法［5-8］等。多跨梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性研究主要集中在雙跨梁結(jié)構(gòu)上，鮮有對(duì)雙跨以上梁結(jié)構(gòu)的研究。主要研究方法包括差分法［9］、動(dòng)態(tài)剛度矩陣法［10］和模態(tài)疊加法［11］，其中模態(tài)疊加法通過(guò)振型疊加進(jìn)行求解；數(shù)值法通過(guò)數(shù)值手段離散控制微分方程及邊界控制條件進(jìn)行求解；差分法通過(guò)建立系統(tǒng)差分離散方程進(jìn)行求解。

然而，目前大部分的研究工作僅局限于經(jīng)典邊界以及剛性耦合條件，對(duì)于一般邊界及彈性耦合條件下的單跨梁與多跨梁振動(dòng)特性的研究甚少?；诖?，本文將提出一種多跨梁數(shù)理模型，適用于任意跨、任意邊界條件、任意耦合條件下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性研究。首先，將結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)展開(kāi)為改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式，引入4項(xiàng)正弦級(jí)數(shù)來(lái)消除以往求解過(guò)程中邊界處的不連續(xù)或跳躍現(xiàn)象；然后，將函數(shù)展開(kāi)的未知傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)作為廣義向量，利用Rayleigh-Ritz法進(jìn)行求解，將結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題；最后，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證本文方法的合理性。

1 多跨梁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

1.1 結(jié)構(gòu)物理模型

任意邊界及耦合條件下的多跨梁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型如圖1所示。圖中：x為第1跨梁的橫向坐標(biāo)；xi為第i跨梁的橫向坐標(biāo)（i=1，2，…，n）。以第i跨梁為例，在梁的兩端分別設(shè)置剛度值為的橫向位移彈簧，以及剛度值為的旋轉(zhuǎn)約束彈簧，令模擬 xi=0的邊界條件，模擬 xi=Li（ Li為第 i跨梁的跨度）的邊界條件。當(dāng)模擬兩端固定邊界條件時(shí)，令當(dāng)模擬自由邊界條件時(shí)，令當(dāng)模擬簡(jiǎn)支邊界條件時(shí)，令在任意耦合條件下，跨與跨之間的耦合效應(yīng)主要由橫向位移與橫向彎矩構(gòu)成，因此第i跨與第i-1跨、第i+1跨的耦合邊界條件主要通過(guò)耦合彈簧進(jìn)行模擬。設(shè) ki，i-1，Ki，i-1為第i跨與第i-1跨之間的耦合彈簧剛度值；ki，i+1，Ki，i+1為第 i跨與第 i+1 跨之間的耦合彈簧剛度值。當(dāng) ki，i-1=Ki，i-1=1×1010時(shí)，第 i跨與第i-1 跨即為剛性耦合；當(dāng) ki，i-1=Ki，i-1=0 時(shí)，即無(wú)耦合；當(dāng) 0＜ ki，i-1，Ki，i-1＜1×1010時(shí)，即為彈性耦合。因此，當(dāng)結(jié)構(gòu)邊界條件發(fā)生變化時(shí)，只需改變彈簧的剛度值即可。

圖1 彈性邊界條件下的多跨梁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.1 Multi-span beams with elastic boundary condition

1.2 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

基于歐拉梁理論模型，第i跨梁的控制微分方程為

式中：Di，wi，ρi，ai分別為第i跨梁的彎曲位移函數(shù)、彎曲剛度、密度、橫截面面積；ω為結(jié)構(gòu)固有頻率。

對(duì)于第i跨梁，在xi=0端的邊界條件為

在xi=Li端的邊界條件為

對(duì)于n跨梁，最左端（第1跨梁左端）的邊界條件為

最右端（第n跨梁右端）的邊界條件為

以上式中：ki，j為第i跨與第j跨之間的線性彈簧剛度值，N/m；Ki，j為第 i跨與第 j跨之間的旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值，（N·m）/rad；為第 i跨梁兩端的線性彈簧剛度值，N/m；為第i跨梁兩端的旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值，（N·m）/rad。

1.3 位移容許函數(shù)

以往的求解方法一般根據(jù)邊界條件設(shè)置梁的容許函數(shù)，當(dāng)邊界條件改變時(shí)需要重新推導(dǎo)整個(gè)求解過(guò)程，計(jì)算量大、通用性差。

常用的位移容許函數(shù)包括簡(jiǎn)單函數(shù)、正交多項(xiàng)式函數(shù)和三角函數(shù)等。對(duì)于多項(xiàng)式容許函數(shù)，若展開(kāi)為低階多項(xiàng)式，則不能滿足結(jié)構(gòu)在高階次的振動(dòng)求解要求；若展開(kāi)為高階多項(xiàng)式，則會(huì)由于數(shù)值計(jì)算的截?cái)嗾`差導(dǎo)致穩(wěn)定性較差。當(dāng)容許函數(shù)為傳統(tǒng)傅里葉三角級(jí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)取無(wú)窮項(xiàng)就可以構(gòu)成一個(gè)完整的無(wú)限維度向量空間，具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度，但其位移導(dǎo)數(shù)在邊界處可能存在不連續(xù)或跳躍現(xiàn)象，從而導(dǎo)致收斂速度極慢。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，在一般彈性邊界下正交各向異性矩形薄板［12］的彎曲自由振動(dòng)分析和環(huán)扇形板［13］的面內(nèi)振動(dòng)分析中，提出了一種改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。本文將該方法進(jìn)一步應(yīng)用于多跨梁的振動(dòng)特性分析中，通過(guò)引入正弦三角級(jí)數(shù)作為輔助函數(shù)，對(duì)傳統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，以滿足任意邊界以及耦合條件。

式中：Ai，m，Bi，n為傅里葉展開(kāi)系數(shù)；λi，m，λi，n為角頻率。

由式（10）可知，在整個(gè)求解區(qū)域 R ：（0，Li）內(nèi)，函數(shù)表達(dá)式除了傳統(tǒng)傅里葉余弦級(jí)數(shù)以外，還包括4項(xiàng)單重傅里葉正弦級(jí)數(shù)。由于梁的振動(dòng)控制微分方程是四階偏微分方程，因此要求其位移函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且四階導(dǎo)數(shù)在邊界上各點(diǎn)存在。通過(guò)引入4項(xiàng)單重傅里葉正弦級(jí)數(shù)，位移函數(shù)對(duì)于?xi∈R：（0，Li）均可以展開(kāi)并一致收斂于任意函數(shù) f(xi)∈C3（C為收斂值），即改進(jìn)的傅里葉三角級(jí)數(shù)可以滿足式（2）～式（9）的任意邊界條件及耦合條件。

1.4 能量泛函與求解步驟

由于本文中的位移函數(shù)足夠光滑，其弱解（近似解）和強(qiáng)解（精確解）在數(shù)學(xué)意義上是等效的，因此采用基于能量原理的Rayleigh-Ritz法求解未知傅里葉展開(kāi)系數(shù)。

多跨梁結(jié)構(gòu)的拉格朗日能量泛函L為

式中：V為多跨梁結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能；T為多跨梁結(jié)構(gòu)的總動(dòng)能。

設(shè)結(jié)構(gòu)本身儲(chǔ)存的應(yīng)變勢(shì)能為Vp，邊界處模擬彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為Vs，耦合處橫向位移彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能分別為Vc1和Vc2，則多跨梁結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能為

將式（12）～式（17）代入式（11），然后代入式（18）對(duì)傅里葉展開(kāi)系數(shù) Ai，m和 Bi，n求極值，得到一組關(guān)于未知系數(shù)的線性方程。矩陣化處理，得

式中：K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；M為結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量矩陣；A為未知傅里葉系數(shù)向量，其表達(dá)式為

因此，多跨梁的模態(tài)特性（固有頻率及其對(duì)應(yīng)的特征向量）即為求解式（19）的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值。每個(gè)特征向量包含了構(gòu)成相應(yīng)結(jié)構(gòu)模態(tài)的所有傅里葉展開(kāi)系數(shù)，將特征向量代入式（10）即可得到相應(yīng)的模態(tài)振形。

2 計(jì)算結(jié)果與對(duì)比

基于多跨梁結(jié)構(gòu)理論模型，對(duì)其在不同邊界條件下的振動(dòng)特性進(jìn)行求解，并與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文方法的合理性。首先分析收斂性，對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)?；然后分析不同工況下的多跨梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性。梁的物理參數(shù)和材料參數(shù)如表1所示，其中E為楊氏模量，I為橫截面的慣性矩。

表1 梁的物理參數(shù)和材料參數(shù)Table 1 A list of beam parameters and material properties

2.1 收斂性分析

多跨梁的位移函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)后，最終結(jié)果是否收斂取決于截?cái)嘀礠。以表1中的第1跨梁和第2跨梁構(gòu)成的雙跨懸臂梁為研究對(duì)象，設(shè)第1跨和第2跨之間為剛性耦合，第1跨左端為固定邊界條件，第2跨右端為自由邊界條件。不同級(jí)數(shù)截?cái)嘀档那?0階固有頻率和精確解如表2所示。由表2可知，截?cái)嘀祵?duì)計(jì)算結(jié)果的精度基本無(wú)影響，即本文提出的方法具有良好的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性。在后續(xù)的計(jì)算中，位移函數(shù)的截?cái)嘀稻=12。

2.2 多跨梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性分析

本節(jié)將對(duì)經(jīng)典邊界與彈性邊界的多跨梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性進(jìn)行分析，并與有限元分析（Finite Element Analysis，F(xiàn)EA）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。有限元模型采用Beam 188單元，網(wǎng)格長(zhǎng)度設(shè)為0.01 m。選取彈性邊界以及彈性耦合條件下的3跨梁作為研究對(duì)象，如圖2所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)如表1所示，邊界條件參數(shù)如表3所示。

表4所示為經(jīng)典邊界條件下雙跨懸臂梁結(jié)構(gòu)前10階固有頻率的對(duì)比結(jié)果，表5所示為彈性邊界以及彈性耦合條件下3跨梁結(jié)構(gòu)前10階固有頻率的對(duì)比結(jié)果。由表4和表5可知，本文方法和FEA方法的計(jì)算結(jié)果吻合度很高。

表2 傅里葉級(jí)數(shù)在不同截?cái)嘀礠的前10階固有頻率Table 2 The first ten order natural frequencies for various numbers of terms in Fourier series

圖2 彈性邊界以及彈性耦合條件下的3跨梁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.2 Elastically coupled three-span beams with elastical boundary supports

表3 3跨梁結(jié)構(gòu)的兩端邊界及耦合邊界的模擬彈簧剛度值Table 3 Stiffness values for the boundary and coupling springs of three-span beams

表4 經(jīng)典邊界條件下雙跨懸臂梁結(jié)構(gòu)的前10階固有頻率對(duì)比Table 4 The first ten order natural frequencies for double-span cantilever beams with traditional boundary condition

表5 彈性邊界及彈性耦合條件下3跨梁結(jié)構(gòu)的前10階固有頻率對(duì)比Table 5 The first ten order natural frequencies for elastically coupled three-span beams with elastical boundary condition

由前文可知，根據(jù)結(jié)構(gòu)的固有頻率即可得到結(jié)構(gòu)的物理彎曲模態(tài)振型。表4和表5中前6階固有頻率對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱歸一化模態(tài)振型如圖3和圖4所示。圖4中，由于跨與跨之間的耦合彈簧作用，部分模態(tài)振型存在不連續(xù)現(xiàn)象。

圖3 雙跨懸臂梁結(jié)構(gòu)的前6階模態(tài)振型Fig.3 The first six order mode shapes for the double-span cantilever beams

圖4 3跨梁結(jié)構(gòu)的前6階模態(tài)振型Fig.4 The first six order mode shapes for the three-span beams

3 結(jié) 論

本文基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)和Rayleigh-Ritz法對(duì)多跨梁結(jié)構(gòu)在任意邊界及耦合條件下的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，得到以下結(jié)論：

1）通過(guò)引入4項(xiàng)傅里葉正弦三角級(jí)數(shù)，克服了傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)在邊界處可能存在不連續(xù)或跳躍現(xiàn)象的問(wèn)題。

2）采用線性彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧模擬梁結(jié)構(gòu)兩端的邊界條件，以及跨與跨之間的耦合條件，改變彈簧剛度值即可模擬任意邊界及耦合條件，有利于結(jié)構(gòu)的參數(shù)化研究。

3）采用Rayleigh-Ritz法對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行求解并與FEA計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的合理性。

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Vibration analysis of multi-span beam system under arbitrary boundary and coupling conditions

ZHENG Chaofan，WU Xiaoguang，ZHANG Cheng

National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise，China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China

In order to overcome the difficulties of studying the vibration analysis model of a multi-span beam system under various boundary and coupling conditions,this paper constructs a free vibration analysis model of a multi-span beam system on the basis of the Bernoulli-Euler beam theory.The vibration characteristics of a multi-span beam system under arbitrary boundary supports and elastic coupling conditions are investigated using the current analysis model.Unlike most existing techniques,the beam displacement function is generally sought as an improved Fourier cosine series,and four sine terms are introduced to overcome all the relevant discontinuities or jumps of elastic boundary conditions.On this basis,the unknown series coefficients of the displacement function are treated as the generalized coordinates and solved using the Rayleigh-Ritz method,and the vibration problem of multi-span bean systems is converted into a standard eigenvalue problem concerning the unknown displacement expansion coefficient.By comparing the free vibration characteristics of the proposed method with those of the FEA method,the efficiency and accuracy of the present method are validated,providing a reliable and theoretical basis for multi-span beam system structure in engineering applications.

improved Fourier series；arbitrary boundary conditions；Rayleigh-Ritz method；multi-span beam；structural vibration

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.04.015

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20170727.1015.012.html期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

鄭超凡，吳曉光，張成.任意邊界及耦合條件下的多跨梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性［J］.中國(guó)艦船研究，2017，12（4）：95-101.

ZHENG C F，WU X G，ZHANG C.Vibration analysis of multi-span beam system under arbitrary boundary and coupling conditions［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（4）：95-101.

2016-11-30< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：

時(shí)間：2017-7-27 10:15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61503354）

鄭超凡，男，1980年生，碩士，高級(jí)工程師。研究方向：船舶振動(dòng)沖擊與噪聲。E-mail：55523527@qq.com

吳曉光，男，1960年生，博士，研究員。研究方向：船舶工程。E-mail：WXG—701@163.com

張成（通信作者），男，1987年生，碩士，工程師。研究方向：船舶振動(dòng)沖擊與噪聲。

E-mail：zhangcheng1987530@163.com