高愛(ài)英

（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

·復(fù)習(xí)與考試·

對(duì)一道力學(xué)選擇題的再思考

高愛(ài)英

（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

本文通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢砟Ｐ徒⒑蛿?shù)學(xué)定量推算，分析出圓錐擺轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和擺線與豎直方向夾角之間的關(guān)系，并繪制出它們之間關(guān)系圖像，糾正了很多復(fù)習(xí)資料的不嚴(yán)謹(jǐn)論述.

圓錐擺；制約關(guān)系；臨界條件

很多復(fù)習(xí)資料頻頻出現(xiàn)這樣一道力學(xué)選擇題：如圖1所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩一端拴著一個(gè)小球，另一端固定在豎直桿上，當(dāng)豎直桿以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球跟著桿一起做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向的夾角為θ，關(guān)于ω與θ關(guān)系圖像，下列圖2中正確的是

圖1

圖2

而該題所附的答案基本如下：對(duì)小球進(jìn)行受力分析，受重力mg、繩子的拉力F，設(shè)繩子與桿的結(jié)點(diǎn)到小球重心的距離為L(zhǎng)，則有

Fcosθ＝mg，

Fsinθ＝mω2Lsinθ.

以上這種答案讓人產(chǎn)生幾點(diǎn)疑惑：（1）從物理量之間的制約關(guān)系看，應(yīng)該是小球轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的變化引起繩子與豎直方向夾角θ的變化，而不是角度θ引發(fā)角速度ω的變化，所以，如果是θ－ω繪圖更好接受吧？（2）從運(yùn)動(dòng)的臨界條件看，假設(shè)θ可以減小到最小θ＝0，繩子給小球的拉力豎直向上，誰(shuí)來(lái)給小球提供向心力讓它完成角速度為圓周運(yùn)動(dòng)呢？（3）所附答案僅僅分析小球離桿的情況，那么沒(méi)有飛離的時(shí)候是什么關(guān)系呢？

下面就從這幾點(diǎn)著手分析.

如果小球的半徑不可忽略，在靜止或者以很小的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它都會(huì)和桿之間直接接觸并產(chǎn)生一個(gè)彈力，且這時(shí)產(chǎn)生的夾角（其中為R小球半徑），如圖3所示.當(dāng)小球以較小的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)小球受力分析，受重力mg、繩子的拉力F和桿的彈力FN，則有

Fcosθ0＝mg，

Fsinθ0－FN＝mω2Lsinθ0.

當(dāng)小球即將要飛離桿的瞬間，則有

FN＝0.

對(duì)應(yīng)著一個(gè)臨界角速度

圖3

結(jié)合以上的分析，可見(jiàn)答案所附圖像是不準(zhǔn)確的.正確的θ－ω圖像應(yīng)該是分段的，如圖4所示.或者繪制ω－θ圖像，也應(yīng)該如圖5所示.

圖4

圖5

1 王貴兵.例談高中力學(xué)中臨界問(wèn)題［J］.中學(xué)物理，2006（11）：60.

2 楊天寶.淺談錐擺系列問(wèn)題的教學(xué)構(gòu)想［J］.物理教師，2009（8）：63.

由（1）、（2）兩式可得

2017－03－07）