王志忠，陳丹華，宋迎春

1. 中南大學地球信息科學與物理學院，湖南 長沙 410083； 2.中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410083

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具有不確定性平差算法

王志忠1,2，陳丹華2，宋迎春1

1. 中南大學地球信息科學與物理學院，湖南 長沙 410083； 2.中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410083

觀測不確定性常常影響參數(shù)估計的有效性。將不確定度作為參數(shù)融入平差模型，可以有效地降低不確定性的影響。本文提出有界不確定性誤差約束下，隨機誤差與不確定性誤差平方和最小的平差準則，并給出了一個不確定性平差模型迭代算法。通過仿真實例，對不確定性最小二乘法與總體最小二乘法進行了比較。結(jié)果顯示：在一定程度上，不確定性最小二乘方法的估計結(jié)果要略優(yōu)于總體最小二乘方法，且在不確定性較大時，該方法有較好的適用性。

平差模型；平差準則；不確定性；總體最小二乘估計；先驗信息

測繪數(shù)據(jù)獲取過程中，常存在復雜的不確定性[1]，它通常以不確定信息形式表現(xiàn)出來。它比一般的噪聲更復雜，其分布、均值和方差等統(tǒng)計特性不清楚[2]，描述非常困難。不確定度是對不確定性的一種度量，它可以用方差、均方差、誤差區(qū)間、誤差橢圓、誤差橢球來表示[3,4]。在測繪數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，應用不確定度理論，研究不確定度評定方法，尋找減小不確定度的算法等已成為研究熱點[5-10]。文獻[11—13]對測量不確定度理論進行了研究，拓展了測量平差數(shù)據(jù)處理的理論與方法。整體平差算法也可以看成是對于不確定性平差算法的一種探索，它在一定程度上減弱了不確定性因素的影響[14-18]。由于不確定性的統(tǒng)計信息(如均值和方差等)和概率分布函數(shù)無法確定，人為地確定它們的統(tǒng)計性質(zhì)本身就在增加新的不確定性，從而影響參數(shù)估計的可靠性[19-20]。

利用先驗信息來抑制不確定性是不確定性觀測數(shù)據(jù)平差的有效方法，但是，測繪工程中基于先驗信息的平差算法比較復雜[21]。文獻[22]直接將不確定度作為一個參數(shù)融入函數(shù)模型中，建立min-max平差準則，即讓殘差中的最大不確定性達到最小，從而使得參數(shù)解中的不確定性達到最小化，在算法中對不確定度進行抑制，引入嶺參數(shù)對模型進行求解，得到了較好的效果。本文在該方法的基礎(chǔ)上，基于隨機誤差和不確定性誤差平方和最小的新平差準則，提出了一種新的迭代求解算法，簡化了文獻[22]中的算法，同時也避免了迭代不收斂的情況。

1 不確定性平差模型及平差準則

考慮更廣一類平差模型，即不確定性平差模型

(1a)

(1b)

不確定性誤差的有界性可看成是A和L已知的先驗信息。不確定性往往不具有統(tǒng)計性質(zhì)，可以用區(qū)間來評定。文獻[22]中，分別用以A、L為圓心，α、β為半徑的圓來描述A、L的不確定性，本文沿用此種方法；在文獻[22]中，采用min-max準則對有界不確定性平差模型進行解算，該準則的缺點是不能用觀測信息和先驗有界信息估計不確定誤差ΔA和ΔL，同時，未知參數(shù)X的估計結(jié)果中不含不確定度β，即不確定誤差ΔL對平差解算結(jié)果沒有影響。為了解決這個問題，本文建立了在有界不確定性誤差約束下隨機誤差和不確定性誤差平方和最小準則，簡稱為不確定性最小二乘準則，即

(2a)

s.t.

(2b)

(2c)

參照文獻[13]中對帶線性不等式約束平差模型的簡單算法及文獻[25—26]中解算總體最小二乘問題的Euler-Lagrange逼近法，本文引入Lagrange乘子，結(jié)合庫恩-塔克條件，對上述二次規(guī)劃問題進行求解。

應用廣義Lagrange法構(gòu)造如式(3)所示的目標函數(shù)

(3)

式中，λ、μ≥0、u≥0都是Lagrange乘子。不確定性最小二乘估計由庫恩-塔克條件確定，即

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

(4e)

(4f)

(4g)

式中，?表示Kronecker積；μ≥0；u≥0。將式(4a)、式(4b)和式(4d)代入式(4g)，整理得到

(5)

由式(4a)、式(5)可得

(6)

由式(5)可得到法方程式

(7)

將式(4c)和式(6)代入式(7)整理得

(8)

式中

(9)

由式(8)變形得到

(10)

將式(6)代入式(4d)得

(11)

將式(6)代入式(4b)得到

(12)

(1)μ>0，u>0。由式(4e)和(4f)得

(13a)

(13b)

由式(13)解方程組得

(14a)

(14b)

將μ和u代入式(11)和式(12)可得到不確定性ΔL和ΔA。

(15)

不確定性ΔL和ΔA可表示為

(16a)

(16b)

式中，u由式(15)確定。

(3)μ>0，u=0(u<0視為u=0)。由式(7)解方程得

(17)

不確定性ΔL和ΔA可表示為

(18a)

(18b)

式中，μ由式(17)確定。

(4)μ=0(μ<0視為μ=0)，u=0(u<0視為u=0)，不確定性ΔL和ΔA可表示為

(19a)

(19b)

(20)

(21)

式中

(22)

由式(4a)和式(5)可得到

(23)

將式(23)代入式(22)和式(9)得到

(24)

(25)

將式(24)和式(25)代入式(21)得到

(26)

(27)

(28)

此時，迭代算法是收斂的。

在上述不確定性平差模型中，若假設(shè)β=0，α→+∞，即為總體最小二乘模型，由(4e)有μ=0，μ*=1，再由式(15)有，u=+∞，u*=0。式(8)簡化為

(29)

與文獻[25]中式(3.3.27)一致。

2 不確定性平差模型解算方法

不確定性平差問題求解采用不確定性最小二乘逼近法。

輸入：系數(shù)矩陣A，觀測值L，不確定度α和β，精度要求為ε。

step 1：選定初始值V(0)=0,μ(0)=0,u(0)=0，置k=0。

如果μ=0,u=0

置μ(k+1)=0,u(k+1)=0。

step 5：計算

step 6：計算

3 不確定性平差模型解算與分析

為了檢驗算法的有效性，本文以2D仿射變換的數(shù)學模型為例進行模擬分析。建立如下的2D仿射變換不確定性平差模型

假定變換參數(shù)的真實值為X=[0.8-0.521]，無誤差的觀測數(shù)據(jù)，即坐標真實值如表1所示。

表1 無誤差觀測數(shù)據(jù)

考慮到觀測誤差的存在，利用Matlab數(shù)學軟件，隨機生成服從N(0,0.193 8)的相對誤差序列，即保證相對誤差以99%的概率落在[-50%,50%]的區(qū)間內(nèi)，不確定度α=4.77、β=9.90，由此得到絕對誤差Δat、Δbt、Δas、Δbs，由真實值加上絕對誤差計算得到帶不確定性的觀測數(shù)據(jù)，見表2。雖然從模擬數(shù)據(jù)中生成了不確定性誤差ΔA、ΔL，但算法認為它們是未知的。本文采用總體最小二乘方法(total least-squares,TLS)和不確定性最小二乘方法(uncertainty least-squares,ULS)進行參數(shù)求解，并分析和比較兩種方法的效果。

表2 帶不確定性觀測數(shù)據(jù)

圖1 TLS與ULS擬合結(jié)果Fig.1 TLS and ULS fitting results

為檢驗不確定性最小二乘方法的適用性，本文對上述實驗獨立重復進行1000次，得到該方法優(yōu)于總體最小二乘方法的概率為0.531。同時，經(jīng)本文研究發(fā)現(xiàn)，不確定性的大小對實驗結(jié)果有一定影響。在不同的相對誤差下，重新計算α、β的大小，進行上述試驗，得到不確定性最小二乘方法優(yōu)于總體最小二乘方法的概率p、不確定性最小二乘估計結(jié)果的誤差error與β取值大小的關(guān)系見表3及圖2。從圖2可以看出，不確定性越大，不確定性最小二乘方法優(yōu)于總體最小二乘方法的概率越高。

圖2 ULS估計結(jié)果性質(zhì)Fig.2 Character of ULS estimate results

Tab.3 The relationship between ULS estimate results and uncertainty

4 結(jié) 論

在測量數(shù)據(jù)的獲取過程中，經(jīng)常存在不確定性，影響參數(shù)估計的可靠性。目前的測量平差方法是基于“觀測值的不確定性就是隨機性”這一基本假設(shè)的，實際測量工程中有許多不同于隨機誤差的不確定性因素。擴展誤差理論與測量平差方法處理測量數(shù)據(jù)中的不確定度，必須對觀測中不確定性因素進行數(shù)值化、參數(shù)化，把它們?nèi)谌肫讲钅Ｐ椭?，這需要有理論和方法上的突破。

本文將不確定性作為參數(shù)融入函數(shù)模型中，將不確定信息轉(zhuǎn)化為先驗約束信息，利用殘差中不確定性傳播規(guī)律，建立了一種有界不確定性誤差約束下隨機誤差和不確定性誤差平方和最小的平差準則，并用迭代算法得到了不確定性平差模型的解算方法，稱為不確定性最小二乘方法。本文通過仿真實例求解，對總體最小二乘方法和不確定性最小二乘方法的估計結(jié)果進行了比較，認為在一定程度上，不確定性最小二乘方法的估計結(jié)果要優(yōu)于總體最小二乘方法，并且在不確定性較小時，該方法有較好的估計精度。

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(責任編輯：叢樹平)

An Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty

WANG Zhizhong1,2，CHEN Danhua2，SONG Yingchun1

1. School of Geosciences and Info-physic, Central South University, Changsha 410083, China；2. School of Mathamatic and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China

The uncertainty of observation often affects the validity of parameter estimation, and the effects of uncertainty can be reduced effectively by incorporating uncertainty into the adjustment model as an observation error parameter. An adjustment criterion is proposed under the bound constrain of uncertainty, in which the sum of squares of random error and uncertainty error should be minimized, and provided an iteration algorithm to solve the adjustment model. With simulation examples, the estimation results of uncertainty least-square method are compared with that of total least-square method. The results show that the estimation results of uncertainty least-square method are better than that of total least-square method to a certain extent and more applicable when uncertainty is greater.

adjustment model；adjustment criterion；uncertainty；total least-squares estimation；prior information

The National Natural Science Foundation of China (No. 41574006)

WANG Zhizhong(1963—)，male, PhD, PhD supervisor, majors in surveying data processing.

SONG Yingchun

王志忠，陳丹華，宋迎春.具有不確定性平差算法[J].測繪學報，2017,46(7)：834-840.

10.11947/j.AGCS.2017.20160522. WANG Zhizhong，CHEN Danhua，SONG Yingchun.An Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(7):834-840. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160522.

P207

A

1001-1595(2017)07-0834-07

國家自然科學基金(41574006)

2016-10-12

王志忠(1963—)，男，博士，博士生導師，研究方向為測量數(shù)據(jù)處理。

E-mail： wzz8713761@163.com

宋迎春

E-mail： csusyc@csu.edu.cn

修回日期： 2017-02-27