王樂洋，溫貴森

1. 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013

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Partial EIV模型的非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)

王樂洋1,2,3，溫貴森1,2

1. 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013

Partial Errors-in-Variables(Partial EIV)模型是EIV模型的擴(kuò)展形式，權(quán)陣構(gòu)造簡單，當(dāng)系數(shù)矩陣中存在非隨機(jī)元素和隨機(jī)元素時(shí)，Partial EIV模型的適用性更強(qiáng)。針對(duì)Partial EIV模型中隨機(jī)模型不準(zhǔn)確的情況，將系數(shù)矩陣和觀測向量分別作為一類數(shù)據(jù)，本文在該模型的基礎(chǔ)上，使用最小二乘方差分量估計(jì)方法，推導(dǎo)相關(guān)計(jì)算公式及迭代算法，分別估計(jì)出相應(yīng)的方差分量估值。并對(duì)出現(xiàn)的負(fù)方差使用非負(fù)最小二乘理論，增加約束條件，對(duì)隨機(jī)模型進(jìn)行修正，得到更加合理的參數(shù)估值。試實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的方法與其他方差分量估計(jì)方法等價(jià)。

Partial EIV模型；EIV模型；最小二乘方差分量估計(jì)；非負(fù)最小二乘

總體最小二乘[1]是顧及了系數(shù)矩陣誤差的平差方法，是Errors-in-Variables(EIV)[2-3]模型的嚴(yán)密估計(jì)方法。在EIV模型的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[4]將系數(shù)矩陣中不同的隨機(jī)元素提取并作為參數(shù)進(jìn)行求解，提出了Partial Errors-in-Variables(Partial EIV)模型。文獻(xiàn)[5]將Partial EIV模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)行兩步間接平差法得到參數(shù)估值，在形式上比文獻(xiàn)[4]簡單。文獻(xiàn)[6]分析了Partial EIV模型算法與一般算法的優(yōu)勢分別為：①Partial EIV模型是EIV模型的更一般的表達(dá)式；②Partial EIV模型是將系數(shù)矩陣中不同的隨機(jī)元素提取并作為參數(shù)進(jìn)行求解，因此Partial EIV模型系數(shù)矩陣中待改正量的個(gè)數(shù)要小于或等于對(duì)應(yīng)EIV模型中待改正量的個(gè)數(shù)，提高了計(jì)算效率；③便利了后續(xù)的精度評(píng)定。總體最小二乘法在近年來發(fā)展迅速[7-13]，在平差時(shí)隨機(jī)模型的不準(zhǔn)確對(duì)參數(shù)估值有很大的影響，方差分量估計(jì)可以對(duì)隨機(jī)模型進(jìn)行修正從而得到更加合理的參數(shù)估值。方差分量估計(jì)(VCE)方法主要有赫爾默特估計(jì)[14-15](Helmert)、最小范數(shù)二次無偏估計(jì)[16](MINQUE)、最優(yōu)不變二次無偏估計(jì)[17-18](BIQUE)及最小二乘方差分量估計(jì)[19-22](LS-VCE)；最小二乘方差分量估計(jì)(LS-VCE)方法是Teunissen提出，該方法使用的是最小二乘準(zhǔn)則，經(jīng)過轉(zhuǎn)換將方差分量作為參數(shù)進(jìn)行解算，得到的方差分量估值具有無偏性，且便利了后續(xù)工作。文獻(xiàn)[20]給出了不同情形下的最小二乘方差分量估計(jì)方法并探索其特性。文獻(xiàn)[21]將最小二乘方差分量估計(jì)應(yīng)用于EIV模型中，將加權(quán)總體最小二乘參數(shù)解的表達(dá)式寫成標(biāo)準(zhǔn)化的最小二乘形式，結(jié)合最小二乘方差分量估計(jì)方法確定方差分量估值，然而算例部分函數(shù)模型的系數(shù)矩陣既有隨機(jī)元素又有非隨機(jī)元素，使用更具有一般性的Partial EIV模型解算更具有代表性。與其他方差分量估計(jì)方法相似，在計(jì)算中可能出現(xiàn)負(fù)方差，函數(shù)模型多余觀測量的不足和隨機(jī)模型結(jié)構(gòu)的不正當(dāng)是出現(xiàn)負(fù)方差的主要原因，在最小二乘方差分量估計(jì)方法的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[22]結(jié)合非負(fù)最小二乘理論，將非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)應(yīng)用到GPS時(shí)間序列中，方差分量估計(jì)方法在本質(zhì)上是相同的。文獻(xiàn)[15]指出由MINQUE可以導(dǎo)出嚴(yán)密的Helmert估計(jì)公式。文獻(xiàn)[23]針對(duì)概括函數(shù)平差模型進(jìn)行公式推導(dǎo)，總結(jié)了不同方差分量估計(jì)方法并指出最小二乘方差分量估計(jì)方法的一般性，通過公式推導(dǎo)得到了MINQUE、Helmert和BIQUE方法均是最小二乘方差分量估計(jì)的特例。相比于其他方法的方差分量計(jì)算公式推導(dǎo)，LS-VCE方法過程更加簡單、易于理解、具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

本文在文獻(xiàn)[5]參數(shù)估計(jì)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合最小二乘方差分量估計(jì)方法計(jì)算系數(shù)矩陣與觀測向量的方差分量估值，在迭代過程中更新協(xié)因數(shù)陣，從而達(dá)到修正參數(shù)估值的效果。針對(duì)估計(jì)中出現(xiàn)的負(fù)方差，增加非負(fù)約束條件，使用非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)方法計(jì)算方差分量估值。通過算例試驗(yàn)對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證，并與已有方差分量估計(jì)方法進(jìn)行比較。與文獻(xiàn)[14]相比，本文方法不需要引入權(quán)比因子，在計(jì)算參數(shù)估值時(shí)迭代次數(shù)要更少，且方便了后續(xù)方差分量估值的精度評(píng)定，當(dāng)計(jì)算中出現(xiàn)負(fù)方差時(shí)，文獻(xiàn)[14]的方法則會(huì)出現(xiàn)不可估的現(xiàn)象。與文獻(xiàn)[21]相比，本文方法繼承了原有Partial EIV模型的優(yōu)勢。

1 Partial EIV模型算法

在某些實(shí)際應(yīng)用中，EIV[24-25]模型中系數(shù)矩陣由一些非隨機(jī)元素與隨機(jī)元素組成，文獻(xiàn)[4]對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行處理，提取了系數(shù)矩陣中的隨機(jī)元素，將EIV模型改寫成Partial EIV模型[4]

函數(shù)模型

(1)

隨機(jī)模型

(2)

文獻(xiàn)[5]對(duì)式(1)進(jìn)行變形得到

(3)

將觀測值a作為參數(shù)進(jìn)行平差，計(jì)算得到[5]

(4)

(5)

經(jīng)計(jì)算得到[5,26]

(6)

(7)

式中，根據(jù)協(xié)方差傳播律可得到Qy1=QC。進(jìn)而可得到標(biāo)準(zhǔn)化最小二乘形式的參數(shù)估值表達(dá)式[5,26]

(8)

進(jìn)而得到觀測量估值及殘差[21]

(9)

2 Partial EIV模型的非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)

2.1 最小二乘方差分量估計(jì)

最小二乘方差分量估計(jì)[19-23]由Teunissen提出，使用的是最小二乘準(zhǔn)則，解算出的方差分量估值具有無偏性；文獻(xiàn)[14]在Partial EIV模型中引入權(quán)比因子，使用赫爾默特方差分量估計(jì)方法確定權(quán)比因子，并通過算例驗(yàn)證了與其他方差分量估計(jì)方法的等價(jià)性。文獻(xiàn)[14]在參數(shù)計(jì)算過程中使用的是文獻(xiàn)[4]的算法，在表達(dá)形式上相對(duì)較復(fù)雜，且文獻(xiàn)[5]指出該算法收斂較慢，影響計(jì)算效率；方差分量估計(jì)的本質(zhì)是相同的，都是對(duì)隨機(jī)模型進(jìn)行修正，即修正觀測值的權(quán)，從而達(dá)到修正參數(shù)估值的效果，最小二乘方差分量估計(jì)是更為一般的方差分量估計(jì)方法，而且最小二乘方差分量估計(jì)有利于后續(xù)對(duì)方差分量估值的精度評(píng)定及其他方面的應(yīng)用，如出現(xiàn)負(fù)方差時(shí)可以增加約束條件使其成為附有約束條件的最小二乘平差，處理出現(xiàn)負(fù)方差的情況，而出現(xiàn)負(fù)方差時(shí)，其他方差分量估計(jì)方法會(huì)出現(xiàn)不可估的情況。針對(duì)總體最小二乘中系數(shù)矩陣與觀測量有不同方差分量的情況，使用LS-VCE對(duì)隨機(jī)模型進(jìn)行修正更加合理。

(10)

(11)

式中，協(xié)因數(shù)陣QC如式(5)所示，經(jīng)過相應(yīng)的變換可以得到方差分量的關(guān)系[19-22]為

E(yvh)=Avhσ

(12)

式中，Avh和yvh均表示對(duì)矩陣進(jìn)行vh[21]操作后的矩陣和向量，σ表示方差分量組成的向量。根據(jù)文獻(xiàn)[20]可得

(13)

(14)

式中，nkj、lk分別表示矩陣N,L中的某一元素；Qk、Ql都表示為系數(shù)矩陣或觀測量的協(xié)因數(shù)陣；Q0為已知的矩陣，一般為零矩陣。

在Partial EIV模型中，觀測向量和系數(shù)矩陣在某些情況具有不同的方差分量，對(duì)于式(2)的隨機(jī)模型存在

(15)

式中，σ1、σ2分別為觀測向量和系數(shù)矩陣誤差的方差分量；Qy1、Qa1為給定的觀測量和系數(shù)矩陣的協(xié)因數(shù)陣。

將式(5)改寫成線性求和形式，即

(16)

Partial EIV模型是顧及了系數(shù)矩陣誤差的總體最小二乘模型，文獻(xiàn)[20]從經(jīng)典的Gauss-Markov模型出發(fā)分析了最小二乘方差分量估計(jì)方法，相比于Partial EIV模型的數(shù)學(xué)模型，Gauss-Markov的數(shù)學(xué)模型可以表示為

(17)

對(duì)式(17)進(jìn)行平差解算可得到參數(shù)的表達(dá)式

(18)

誤差向量ey可以表示成多個(gè)分量求和的形式。在Partial EIV模型的解算中，式(8)和式(18)與Gauss-Markov模型解算得到的參數(shù)表達(dá)式及協(xié)因數(shù)陣的形式相同，這與文獻(xiàn)[21]中EIV模型的最小二乘方差分量估計(jì)是一致的。

迭代計(jì)算分為參數(shù)估計(jì)和方差分量估計(jì)，具體的迭代步驟為：數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：A、y、Qy、Qa、h、a、B、收斂條件ε=10-10。

外循環(huán)：

(3) 用式(15)更新Qy和Qa；設(shè)計(jì)迭代次數(shù)j=0；

內(nèi)循環(huán)：

(2) 由式(5)更新QC；

(5) 由式(16)更新QC；

(7) 由式(14)更新N和L，計(jì)算σ(i+1)=N-1L，i=i+1；

2.2 非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)

最小二乘方差分量估計(jì)方法是根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則使得其誤差平方和取最小，與其他方差分量估計(jì)方法類似，在進(jìn)行方差分量解算時(shí)也會(huì)出現(xiàn)負(fù)方差，這與方差分量的自身含義是相互沖突的，出現(xiàn)負(fù)方差的原因有兩種[22]：①函數(shù)模型觀測量的不足，即多余觀測量的不足。多余觀測量也叫自由度，增加模型的多余觀測量可以提高數(shù)據(jù)解算精度。②結(jié)構(gòu)不正當(dāng)?shù)碾S機(jī)模型，隨機(jī)模型又表現(xiàn)在觀測值的權(quán)中，然而觀測數(shù)據(jù)初始的權(quán)往往是不精確的，嚴(yán)重影響了平差結(jié)果的精度。非負(fù)最小二乘方法[27-28]是在最小二乘準(zhǔn)則下增加非負(fù)約束條件而得，在最小二乘方差分量估計(jì)的基礎(chǔ)上增加約束條件使得方差分量非負(fù)，因此可以將非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)作為附有約束條件的最小二乘問題，其準(zhǔn)則[22,28]為

(19)

(20)

式中，u是拉格朗日乘子，對(duì)式(20)求偏導(dǎo)計(jì)算得到

ui+1=Nσi+1-L

(21)

(22)

(23)

式中，n(:,k)表示矩陣N的第k列。

由式(23)可以看出，迭代計(jì)算出的方差分量估值，若某一分量出現(xiàn)負(fù)值，通過式(23)進(jìn)行約束。非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)可以當(dāng)成附有約束條件的最小二乘方差分量估計(jì)，其約束條件可以表達(dá)成

(24)

在計(jì)算參數(shù)協(xié)因數(shù)陣時(shí)，根據(jù)附有約束條件的平差方法，由協(xié)因數(shù)傳播律可得到方差分量估值的協(xié)因數(shù)陣為

(25)

具體迭代步驟為：

外循環(huán)：

(3) 用式(14)更新N和L；令σ(0)=0，u(0)=-L；設(shè)計(jì)迭代次數(shù)j=0；

內(nèi)循環(huán)：

(1) 用式(22)計(jì)算σ(j+1)；式(23)計(jì)算u(j+1)；

(2) 更新u(j)=u(j+1)，j=j+1；

(4) 更新σ(i+1)=σ(j+1)，i=i+1；

(7) 由式(25)計(jì)算方差分量估值的協(xié)因數(shù)陣。

3 算例與分析

3.1 算例1

數(shù)據(jù)采用文獻(xiàn)[5,21]直線擬合數(shù)據(jù)，已知坐標(biāo)觀測值(xi,yi)和相應(yīng)的權(quán)值(pxi,pyi)，見表1。

表1 坐標(biāo)觀測值及相應(yīng)的權(quán)值[5,21]

Tab.1 Coordinate observations and corresponding weights[5,21]

點(diǎn)號(hào)觀測數(shù)據(jù)權(quán)值yixipyipxi15．90．01．01000．025．40．91．81000．034．41．84．0500．044．62．68．0800．053．53．320．0200．063．74．420．080．072．85．270．060．082．86．170．020．092．46．5100．01．8101．57．4500．01．0

直線擬合的模型[5,21]為

(26)

[ξ1ξ2]T為待估參數(shù)，直線擬合模型是常見的含有非隨機(jī)元素與隨機(jī)元素的模型，在使用Partial EIV模型進(jìn)行解算時(shí)還需要給出向量h和固定矩陣B，由式(26)可知，向量h和矩陣B的形式為

(27)

表2 算例1中不同方法的解算結(jié)果

圖1 算例1的方差分量估值變化圖Fig.1 The changes of estimates variance components of the first example

文獻(xiàn)[14]與文獻(xiàn)[15]推導(dǎo)了方差分量估值的方差公式為

(28)

(29)

方差分量估計(jì)是針對(duì)隨機(jī)模型不準(zhǔn)確進(jìn)而修正隨機(jī)模型并再次平差的方法，本文以Partial EIV模型為基礎(chǔ)的的最小二乘方差分量估計(jì)方法重新確定了兩類觀測值的權(quán)陣，得到的權(quán)值見表3，可以發(fā)現(xiàn)與文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[21]重新確定的權(quán)值是相等的。

表3 修正后的觀測值權(quán)值

3.2 算例2

模擬一個(gè)二維仿射變換，對(duì)文獻(xiàn)[29]的數(shù)據(jù)進(jìn)行改化，已知6個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)真值a1=0.9，b1=-0.8，c1=1，a2=0.6，b2=0.7，c2=0.5和原始坐標(biāo)、目標(biāo)坐標(biāo)的真值，相應(yīng)的協(xié)因數(shù)陣為Qa=0.005·diag([1 1 2 2 3 3 1 1 5 5 4 4 2 2 7 7 1 1 8 8 3 3 6 6]T)，Qy=0.005·diag([1 1 3 3 6 6 1 1 1 1 8 8 4 4 3 3 6 6 5 5 4 4 5 5 2 2]T)，用Matlab軟件mvnrnd函數(shù)給真值加上均值為0，協(xié)方差分別為Qy和3Qa的隨機(jī)誤差，得到隨機(jī)一組坐標(biāo)值見表4。

表4 原始坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)模擬坐標(biāo)值

二維仿射變換模型[29]為

(30)

表4中提供了26組坐標(biāo)，向量h和確定矩陣B、y、a的形式分別為

(31)

圖2 算例2的方差分量估值變化圖Fig.2 The changes of estimates variance components of the second example

LSVCENNLSVCE＾σ2t-0．39928613740．2272864028＾σ2s4．82001357904．2378998227var(＾σ2t)2．4171895145var(＾σ2s)5．6349152342

圖中，LS-VCE的迭代次數(shù)都為37次，NNLSVCE的迭代次數(shù)為14次，而在使用文獻(xiàn)[14]方法進(jìn)行求解時(shí)，因?yàn)榉讲罘至砍霈F(xiàn)負(fù)值的現(xiàn)象，計(jì)算時(shí)則出現(xiàn)不收斂的情況。

3.3 算例分析

(1) 由表2可以看出本文方法與文獻(xiàn)[14、21]得到的待估參數(shù)結(jié)果及方差分量估值相等，對(duì)應(yīng)的方差分量估值方差也相等，圖1顯示了方差分量估值的變化圖，兩種方法的迭代次數(shù)都為21次，表3顯示了修正方差分量所對(duì)應(yīng)的權(quán)值。在不考慮方差分量估計(jì)情況下，文獻(xiàn)[5]的參數(shù)估計(jì)需要迭代7次，文獻(xiàn)[30]需要迭代8次；文獻(xiàn)[14]計(jì)算中進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)需要迭代267次，而本文只需要94次，在一定程度提高了計(jì)算效率，且在計(jì)算方差時(shí)本文只需要根據(jù)協(xié)方差傳播律獲得，如式(25)，相對(duì)更簡單。

(2) 用最小二乘方法計(jì)算算例2方差分量估值時(shí)出現(xiàn)負(fù)值，而文獻(xiàn)[14]的方法則出現(xiàn)不可估的情況，使用非負(fù)最小二乘理論得到的方差分量估值變化圖見圖2。在非負(fù)約束下，通過解算其余方差分量估值從而達(dá)到準(zhǔn)則下的整體最優(yōu)解。非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)可以看成為附有限制條件的間接平差，在結(jié)合LS-VCE后，非負(fù)方差分量估計(jì)實(shí)質(zhì)上就為非負(fù)最小二乘估計(jì)，因此本文方法與文獻(xiàn)[22]方法是等價(jià)的。

(3) Partial EIV模型是將系數(shù)矩陣中的重復(fù)的隨機(jī)元素提取，使得模型需要改正的待改正量個(gè)數(shù)相對(duì)更少。對(duì)于Partial EIV模型的隨機(jī)模型，其協(xié)因數(shù)陣構(gòu)造簡單，更具有一般性的Partial EIV模型在解算海量數(shù)據(jù)時(shí)更能體現(xiàn)其優(yōu)勢。在式(5)計(jì)算協(xié)因數(shù)陣時(shí)，BQaBT與EIV模型的系數(shù)矩陣的協(xié)因數(shù)陣QA相等，與文獻(xiàn)[30]求解公式一致，相應(yīng)的在進(jìn)行方差分量估計(jì)時(shí)是等價(jià)的。

4 結(jié) 論

本文以Partial EIV模型為基礎(chǔ)，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)的隨機(jī)模型不準(zhǔn)確時(shí)，結(jié)合最小二乘方差分量估計(jì)方法對(duì)隨機(jī)模型進(jìn)行修正，推導(dǎo)了以Parial EIV模型為基礎(chǔ)的最小二乘方差分量估計(jì)公式，將觀測向量誤差和系數(shù)矩陣誤差分別作為一類數(shù)據(jù)，從而計(jì)算出兩個(gè)方差分量估值；并且當(dāng)方差分量估值出現(xiàn)負(fù)的時(shí)候，使用非負(fù)最小二乘理論，增加非負(fù)約束條件，可以處理方差分量出現(xiàn)負(fù)值的現(xiàn)象。計(jì)算過程分為參數(shù)估計(jì)與方差分量估計(jì)，Partial EIV模型的優(yōu)勢是減少了待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，如算例1直線擬合在不考慮方差分量估計(jì)時(shí)Partial EIV模型解算的迭代次數(shù)比EIV模型少，雖然對(duì)Partial EIV模型進(jìn)行解算之后參數(shù)的表達(dá)式與文獻(xiàn)[29]等價(jià)，但是使用更具一般性的Partial EIV模型更能體現(xiàn)其代表性。將Partial EIV模型與最小二乘方差分量估計(jì)結(jié)合可以得到與EIV模型一樣的結(jié)果，但在參數(shù)估計(jì)上使用Partial EIV模型一定程度上提高運(yùn)算效率，該方法繼承了Partial EIV模型原有的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)總體最小二乘理論進(jìn)行了必要的完善。本文只討論了Partial EIV模型系數(shù)矩陣與觀測向量不相關(guān)時(shí)出現(xiàn)負(fù)方差的處理，而針對(duì)相關(guān)觀測情況及負(fù)方差產(chǎn)生的具體原因及分析是今后需要研究的工作。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

Non-negative Least Squares Variance Component Estimation of Partial EIV Model

WANG Leyang1,2,3,WEN Guisen1,2

1. Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China; 2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring, NASG, Nanchang 330013, China; 3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China

As an extended form of the errors-in-variables (EIV) model, and the weight matrix is easy to structure, the applicability is stronger when both non-random elements and random elements exist in the coefficient matrix. According to the inaccurate stochastic model in the Partial EIV model, the coefficient matrix and observation vector are used as a kind of data respectively. The least squares variance component estimation method based on Partial EIV model is used and the relevant calculated formulas and iterative algorithm are derived. Then the corresponded variance components are estimated. The non-negative least squares is used when the negative variance appears, then add constraint condition to correct the rand model, so the estimated parameters are more reasonable. The experiments show that the results obtained by the method of this paper and other methods are equivalent.

Partial EIV model; EIV model; least squares variance component estimation; non-negative least squares

National Natural Science Foundation of China (Nos.41664001; 41204003); Support Program for Outstanding Youth Talents in Jiangxi Province (No.20162BCB23050); National Key Research and Development Program(No.2016YFB0501405); Science and Technology Project of the Education Department of Jiangxi Province (No.GJJ150595); the Project of Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province(No.DLLJ201705); Innovation Fund Designated for Graduate Students of ECUT(No.DHYC-2016005)

WANG Leyang (1983—), male, PhD, associate professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.

王樂洋，溫貴森.Partial EIV模型的非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)[J].測繪學(xué)報(bào)，2017,46(7)：857-865.

10.11947/j.AGCS.2017.20160501. WANG Leyang,WEN Guisen.Non-negative Least Squares Variance Component Estimation of Partial EIV Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(7):857-865. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160501.

P228

A

1001-1595(2017)07-0857-09

國家自然科學(xué)基金(41664001;41204003)；江西省杰出青年人才資助計(jì)劃項(xiàng)目(20162BCB23050)；國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(2016YFB0501405)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ150595)；江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金資助項(xiàng)目(DLLJ201705)；東華理工大學(xué)研究生創(chuàng)新專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DHYC-2016005)

2016-10-11

王樂洋(1983—)，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榇蟮販y量反演及大地測量數(shù)據(jù)處理。

E-mail： wleyang@163.com

修回日期： 2017-05-27