王來全,夏米西努爾·阿不都熱合曼

（1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，新疆 昌吉 831100；2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046）

一類具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型

王來全1,夏米西努爾·阿不都熱合曼2

（1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，新疆 昌吉 831100；2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046）

考慮了一類具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型,給出了禽類系統(tǒng)和人禽共患系統(tǒng)的無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定和地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定的條件.進(jìn)一步研究了疾病在人群中的持久性,討論了安全干預(yù)措施在禽流感預(yù)防中的效果[1].

禽流感；安全干預(yù)措施；基本再生數(shù)；漸近穩(wěn)定

1 引言

禽流感是一種人禽共患的致命性流感疾病,對(duì)養(yǎng)殖業(yè)和公共衛(wèi)生危害嚴(yán)重，雖然疫苗的研究取得了很大發(fā)展,但由于禽流感病毒抗原復(fù)雜且易變異,亞型多且各亞型間缺乏明顯的交叉免疫,給疫苗的應(yīng)用帶來了很大的困難,預(yù)防禽流感仍需采取嚴(yán)格的生物安全措施.近年來,對(duì)禽流感流行病學(xué)特征的研究成果較多[1-4]，應(yīng)用傳染病數(shù)學(xué)模型揭示禽流感傳播規(guī)律的研究逐漸重視[5],文[6-7]研究了對(duì)患有禽流感的人群實(shí)施分段治療的傳播模型,文[8]討論了具有飽和治療率的SIR模型.但很少有人研究具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型的穩(wěn)定性,為此，我們討論了具有干預(yù)措施的禽流感傳播模型,說明安全干預(yù)措施對(duì)預(yù)防禽流感的傳播具有良好的效果.在本文,我們把禽場(chǎng)工作人員或與禽類密切接觸的人群視為高危人群,其他人群為低危人群,且在感染率不同的情況下,假設(shè)對(duì)高危人群實(shí)施安全干預(yù)措施,討論了禽類系統(tǒng)和人禽共患系統(tǒng)的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和疾病的持久性.最后,分析了安全干預(yù)措施對(duì)預(yù)防禽流感傳播的效果,為控制禽流感在人群中蔓延提供策略.

2 數(shù)學(xué)模型的建立

X(t)表示易感禽類數(shù)量，I1(t)表示禽類感染的數(shù)量，S1(t)，S2(t),I2(t),R(t)分別表示t時(shí)刻低危易感、高危易感、染病和康復(fù)的人群數(shù)量，Q為禽類輸入常數(shù)，d為禽類的自然死亡率，m1為對(duì)禽類的溢出率（因患有禽流感進(jìn)行捕殺移除等），β1為禽類的感染率，c1為易感禽類與病禽的有效接觸次數(shù),M為人群輸入常數(shù)，v1為低危人群向高危人群的轉(zhuǎn)化率,v0為對(duì)高危易感人群實(shí)施的安全干預(yù)措施，β2,β3分別是低危和高危易感人群接觸病禽的感染率,且β3＞β2,μ為人群的自然死亡率,m2為人群的溢出率,c2,c3為在單位時(shí)間內(nèi)病禽與低危和高危人群發(fā)生接觸行為的平均次數(shù),且c3＞c2，k為對(duì)染病人群的治療率,根據(jù)生物意義,以上參數(shù)均大于0.其中:N1(t)=X(t)+I1(t),N2(t)=S1(t)+S2(t)+I2(t)+R(t).假設(shè)模型滿足初始條件X(0)＞0,Ii(0)≥0,Si(0)＞0(i=1,2),R(0)≥0.

3 禽類系統(tǒng)分析

r0＞1時(shí),系統(tǒng)(1)的前兩個(gè)方程不含S1(t),S2(t),I2(t),R(t),因此,要分析系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)e*的全局穩(wěn)定性只需研究如下系統(tǒng)

定理1當(dāng)r0≤1時(shí),e0是全局漸近穩(wěn)定的.

顯然,系統(tǒng)(2)有唯一的地方病平衡點(diǎn)e*,由(2)在e*處Jacobian矩陣的特征值得,當(dāng)r0＞1時(shí),地方病平衡點(diǎn)e*局部漸近穩(wěn)定.下面應(yīng)用Bendixson-Dulac原理,證明系統(tǒng)(2)不存在周期解,說明地方病平衡點(diǎn)e*是全局漸近穩(wěn)定的.

定理2當(dāng)r0＞1時(shí),系統(tǒng)(2)不存在周期解.

因此,系統(tǒng)(2)不存在周期解，從而得到如下定理.

定理3當(dāng)r0＞1時(shí),地方病平衡點(diǎn)e*全局漸近穩(wěn)定.

4 人禽共患禽病系統(tǒng)分析

考慮人禽共患禽病系統(tǒng)，則只需討論如下系統(tǒng)

當(dāng)r0≤1時(shí),易得系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)

r0＞1時(shí),定義病禽感染人群系統(tǒng)的基本再生數(shù)

當(dāng)r0＞1,且R0＞1時(shí)，系統(tǒng)(2)存在正平衡點(diǎn)

其中:

類似定理1,易于得到如下定理.

定理4當(dāng)r0≤1時(shí),系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定.

下面我們分析系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)E*的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性.令則系統(tǒng)(3)在點(diǎn)處的線性近似方程為

其中:

我們通過討論系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處的全局漸近穩(wěn)定性來說明系統(tǒng)(3)在地方病平衡點(diǎn)E*(S1*,S2*,I2*,R*)處的局部漸近穩(wěn)定性[9].

定理5如果r0＞1，且R0＞1,那么系統(tǒng)(3)的地方病平衡

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù):V(x,y,z,w)={x(t)+y(t)+z(t)+w(t)}2,沿著系統(tǒng)（4）對(duì)V(x,y,z,w)求導(dǎo)數(shù)得:

因而,當(dāng)r0＞1,且R0＞1時(shí),要使V(x,y,z,w)=0當(dāng)且僅當(dāng)x(t) =y(t)=0,z(t)=w(t)=0根據(jù)Lyapunov-Lasalle定理,地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

5 安全干預(yù)措施在禽流感預(yù)防中的效果

安全干預(yù)措施主要有:強(qiáng)化高危易感人群的健康教育,加強(qiáng)疫情監(jiān)測(cè),做好對(duì)養(yǎng)禽人員的消毒防護(hù),妥善處理禽類的糞便、病禽飲用過的水源等.在傳染病學(xué)中,基本再生數(shù)R0是區(qū)分疾病流行與否的閾值,為此我們討論基本再生數(shù)R0的相關(guān)參數(shù):安全干預(yù)措施v0與R0的關(guān)系.當(dāng)r0＞1時(shí),對(duì)R0關(guān)于安全干預(yù)措施v0求導(dǎo)數(shù)得

類似的,我們討論基本再生數(shù)R0的相關(guān)參數(shù):禽類因病捕殺的溢出率m1與R0的關(guān)系進(jìn)行討論,當(dāng)r0＞1時(shí),對(duì)R0關(guān)于禽類溢出率m1求導(dǎo)數(shù)得

顯然,基本再生數(shù)R0關(guān)于安全干預(yù)措施v0為單調(diào)遞減的函數(shù),故對(duì)高危易感人群實(shí)施安全干預(yù)措施可以降低禽流感在人群的傳播.同理,由(6)式可知,禽類的溢出率m1與R0成單調(diào)遞減關(guān)系,進(jìn)而說明了及時(shí)捕殺染病的禽類是控制禽流感在人群中傳播的有效途徑.

6 結(jié)論

我們考慮了一類具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型,得到了禽類系統(tǒng)中禽流感流行的基本再生數(shù)r0和人群中禽流感傳播的基本再生數(shù)R0,當(dāng)r0＜1時(shí),無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn),當(dāng)r0＞1且R0＞1時(shí),地方病平衡點(diǎn)持久.最后,應(yīng)用禽流感傳播模型評(píng)估了對(duì)高危人群實(shí)施安全干預(yù)措施和及時(shí)捕殺染病的禽類對(duì)預(yù)防禽流感傳播的影響.

〔1〕Fasina FO,Ifende VI,Ajibade AA.Avian influenza A (H5N1)in humans:Lessons from Egypt[J].Euro Surveill, 2010,15(4):19473.

〔2〕GirardMP,TamJS,AssossouOM,etal.The2009A (H1N1)influenza virus pandemic:A review[J].Vaccine, 2010,28(31):4895-4902.

〔3〕閆鐵成,肖丹,王波，等.中國(guó)大陸130例人感染H7N9禽流感病例流行病學(xué)特征分析[J].中華疾病控制雜志, 2013,17(8):651-654.

〔4〕Iwami S.Takeuchi Y.Korobeinikov A,Liu X.Prevention of avian influenza epidemic:What policy should we choose[J].Theor Biol,2008,252:732-741.

〔5〕Rao D M，Chernyakhovsky A,Rao V.Modelling and analysis global epidemiology of avian influenza[J].Environmental Modelling and Software,2009,24:124-134.

〔6〕Wang W.Backward bifurcation of an epidemic model with constant removal rate of the infectives[J].J Math Anal Appl,2004,291:775-793.

〔7〕郭樹敏,姚峰,李志學(xué).一類具有治療的禽流感模型分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,45(1):192-196.

〔8〕Zhang X,Liu X.Backward bifurcation of an epidemic model with saturated treatment function[J].J Math Anal Appl,2008,348:433-443.

〔9〕Zhang T L,Jia M h,Luo H B,et al.Study on a HIV/ AIDS model with applieation to yunnann province,China[J].Applied Mathematical Modelling,2011,35(4):4379-4392.

O175.1

A

1673-260X（2017）07-0004-02

2017-04-03

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助（11261056）；昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)課題（CJZY2016026）