劉傳孝，王 龍， 張曉雷， 李茂桐，周 桐

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利土木工程學(xué)院，山東 泰安 271018; 2.中國(guó)科學(xué)院 武漢巖土力學(xué)研究所，湖北 武漢 430071)

?

石灰?guī)r斷口細(xì)觀復(fù)雜程度的分形幾何學(xué)分析

劉傳孝1，王 龍2， 張曉雷1， 李茂桐1，周 桐1

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利土木工程學(xué)院，山東 泰安 271018; 2.中國(guó)科學(xué)院 武漢巖土力學(xué)研究所，湖北 武漢 430071)

對(duì)石灰?guī)r進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室內(nèi)單軸、三軸壓縮試驗(yàn)，得到應(yīng)力-應(yīng)變時(shí)間序列及巖石損傷破壞實(shí)驗(yàn)斷口；對(duì)不同圍壓條件下壓縮破壞的實(shí)驗(yàn)斷口進(jìn)行掃描電鏡取像實(shí)驗(yàn)，計(jì)算石灰?guī)r斷口細(xì)觀尺度下的分?jǐn)?shù)維，以定量追溯其損傷破壞特征。得到圍壓提高后(< 20 MPa)的壓縮破壞過(guò)程趨向復(fù)雜、巖石破壞斷口分?jǐn)?shù)維增大的一般規(guī)律；當(dāng)圍壓增加到巖石單軸抗壓強(qiáng)度約2/3時(shí)，高圍壓引發(fā)的徑向新?lián)p傷主導(dǎo)了后期壓縮過(guò)程，致使最終破壞原因趨于簡(jiǎn)單，巖石破壞斷口分?jǐn)?shù)維降至最低。在連續(xù)損傷力學(xué)的基本關(guān)系式中引入分?jǐn)?shù)維約化指標(biāo)，構(gòu)建了描述石灰?guī)r細(xì)觀破壞特征的分形損傷統(tǒng)計(jì)模型。同應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，表明分形損傷理論模型符合實(shí)驗(yàn)關(guān)系曲線，能理想地反映石灰?guī)r三軸壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果的應(yīng)變軟化特性，是對(duì)巖石細(xì)觀損傷破壞特征的有益探討。

巖土工程；石灰?guī)r；損傷；分形幾何學(xué)；細(xì)觀尺度

0 引 言

巖石是由多種礦物晶粒、孔隙和膠結(jié)物組成的復(fù)合體，在長(zhǎng)期地質(zhì)構(gòu)造過(guò)程中，其內(nèi)部形成了大量不同階次的隨機(jī)分布的微觀孔隙和裂紋等缺陷，在單調(diào)加載或重復(fù)加載下巖石的微缺陷導(dǎo)致其黏聚力減弱，微裂紋、微孔隙發(fā)育貫穿，材料逐漸劣化并導(dǎo)致最終破壞。在宏觀尺度上，天然巖體又為多種地質(zhì)構(gòu)造面(節(jié)理、斷層和弱面等)所切割，表明巖石是一種很特殊的復(fù)雜材料，實(shí)質(zhì)上是似連續(xù)、似破斷介質(zhì)。隧道工程的穩(wěn)定性取決于圍巖的性質(zhì)、產(chǎn)狀及其應(yīng)力環(huán)境等，隧道工程圍巖在現(xiàn)場(chǎng)處于單軸、三軸壓縮工作狀態(tài)，雖然與其賦存深度及構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)等有關(guān)，但仍然可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)實(shí)驗(yàn)近似再現(xiàn)其破壞過(guò)程。而巖石是結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜的非連續(xù)和非均質(zhì)體，無(wú)論從微觀到宏觀都呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非連續(xù)、非均質(zhì)特性，表現(xiàn)出非線性、各向異性、隨機(jī)性和流變性等復(fù)雜力學(xué)行為[1]。因此，隧道圍巖損傷破壞機(jī)理的跨尺度空間應(yīng)用問(wèn)題的研究具有必要性。將巖石損傷破壞斷口表面視為具有統(tǒng)計(jì)自相似分形特征，則可以用分形幾何學(xué)理論定量地刻畫斷口的復(fù)雜程度，從而探討隧道工程圍巖在工作狀態(tài)下的細(xì)觀損傷破壞機(jī)理[2-3]。

分形幾何學(xué)理論自誕生以后，在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)、水利、土木、化工、生態(tài)、大氣及地震等領(lǐng)域得到迅速發(fā)展，作為研究非線性復(fù)雜巖石動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)演化特性的一種有效方法，越來(lái)越得到廣泛應(yīng)用[4-13]。正分?jǐn)?shù)維D可應(yīng)用于定量描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)和物理空間結(jié)構(gòu)的破碎度，是定量評(píng)價(jià)系統(tǒng)復(fù)雜程度的重要指標(biāo)，即D越高，系統(tǒng)的復(fù)雜程度越高、幾何體的構(gòu)造越復(fù)雜或越支離破碎。楊圣奇等從巖石內(nèi)部微缺陷分布的隨機(jī)性出發(fā)，結(jié)合Weibull分布定義損傷變量，建立了巖石單軸壓縮下的損傷統(tǒng)計(jì)模型[14-15]。曹文貴等將連續(xù)損傷理論與概率論結(jié)合，從巖石微元強(qiáng)度服從某種隨機(jī)分布角度出發(fā)，建立了在圍壓下巖石損傷軟化的統(tǒng)計(jì)模型[16-17]。謝和平等研究表明，材料的最終宏觀斷裂破壞與其內(nèi)部微裂隙的發(fā)育和聚集有密切的聯(lián)系，斷裂表面是材料損傷破壞后留下的關(guān)于斷裂過(guò)程的記錄。在斷口上蘊(yùn)藏著關(guān)于損傷破壞機(jī)理的信息，通過(guò)研究斷裂表面可以追溯其產(chǎn)生的原因。巖石破壞后的斷口具有自相似的分形特征，用分?jǐn)?shù)維可以對(duì)巖石斷口的復(fù)雜程度進(jìn)行定量描述[2,12]。劉樹新等基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和巖石微元強(qiáng)度服從Weibull隨機(jī)分布的特點(diǎn)，在損傷本構(gòu)模型中引入分形參數(shù)，對(duì)巖石單軸壓縮試驗(yàn)進(jìn)行了研究[18-19]。

筆者運(yùn)用分形幾何學(xué)方法，定量描述壓縮試驗(yàn)破壞后的石灰?guī)r斷口的復(fù)雜程度，以探討石灰?guī)r的細(xì)觀損傷破壞特征。結(jié)合巖石損傷統(tǒng)計(jì)特性與分形幾何學(xué)理論，建立描述石灰?guī)r細(xì)觀破壞特征的分形損傷統(tǒng)計(jì)模型，并對(duì)理論模型的合理性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證。

1 石灰?guī)r細(xì)觀損傷破壞的分形特征

1.1 巖石力學(xué)性質(zhì)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)用石灰?guī)r的賦存深度為506 m，取樣、運(yùn)輸并加工成近似標(biāo)準(zhǔn)試件。尺寸為φ47×88 mm的圓柱形試件應(yīng)用于單軸壓縮試驗(yàn)，尺寸為φ47×92 mm的試件應(yīng)用于圍壓為20 MPa三軸壓縮試驗(yàn)，尺寸為φ48×92 mm的試件應(yīng)用于圍壓為40 MPa三軸壓縮試驗(yàn)。設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)在SAW-2000型微機(jī)控制電液伺服巖石三軸試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，該試驗(yàn)機(jī)采用3套德國(guó)DOLI-EDO公司的EDC控制器，以及MOOG公司的D633比例伺服閥共同完成試驗(yàn)過(guò)程。試驗(yàn)機(jī)剛度高(2×1010N·m-1)、響應(yīng)頻率快，能自動(dòng)控制及測(cè)量試驗(yàn)參數(shù)，并繪制出應(yīng)力-應(yīng)變曲線。巖石力學(xué)性質(zhì)實(shí)驗(yàn)得到的應(yīng)力-應(yīng)變時(shí)間序列，分別如圖4、圖5和圖6中的曲線B，得到的石灰?guī)r損傷破壞斷口，留用于細(xì)觀尺度層次下的掃描電鏡取像實(shí)驗(yàn)。石灰?guī)r基本力學(xué)性質(zhì)實(shí)驗(yàn)參數(shù)，見表1。

表1 石灰?guī)r基本力學(xué)參數(shù)

1.2 巖石損傷破壞斷口的掃描電鏡取像實(shí)驗(yàn)

采用日本電子株式會(huì)社的JSM-6510LV高低真空掃描電鏡，獲取壓縮實(shí)驗(yàn)破壞后的石灰?guī)r斷口圖像。設(shè)計(jì)各類實(shí)驗(yàn)斷口的放大倍數(shù)均分別為200、500、1 000、2 000及4 000倍，顯然屬于細(xì)觀尺度層次。得到石灰?guī)r單軸壓縮實(shí)驗(yàn)斷口的掃描電鏡圖像，如圖1；圍壓20 MPa時(shí)石灰?guī)r三軸壓縮實(shí)驗(yàn)斷口的掃描電鏡圖像，如圖2；圍壓40 MPa時(shí)石灰?guī)r三軸壓縮實(shí)驗(yàn)斷口的掃描電鏡圖像，如圖3。

1.3 巖石損傷破壞的細(xì)觀分形特征

首先用Photoshop對(duì)掃描電鏡圖像進(jìn)行濾鏡處理，之后采用盒子計(jì)數(shù)法計(jì)算濾鏡圖像的分?jǐn)?shù)維。作者采用C++語(yǔ)言對(duì)盒子計(jì)數(shù)法原理編程“RELEASE”，實(shí)現(xiàn)了濾鏡圖像輸入后分?jǐn)?shù)維的直接輸出[15]。得到不同圍壓壓縮實(shí)驗(yàn)石灰?guī)r斷口在細(xì)觀尺度下的分?jǐn)?shù)維，見表2。

圖1 石灰?guī)r單軸壓縮實(shí)驗(yàn)斷口掃描電鏡圖像Fig. 1 Limestone fractures images from scanning electron microscope in uni-axial compressing test

圖2 石灰?guī)r三軸(圍壓20 MPa)壓縮實(shí)驗(yàn)斷口掃描電鏡圖像Fig. 2 Limestone fractures images from scanning electron microscope in tri-axial compressing test (surrounding pressure 20 MPa)

圖3 石灰?guī)r三軸(圍壓40 MPa)壓縮實(shí)驗(yàn)斷口掃描電鏡圖像Fig. 3 Limestone fractures images from scanning electron microscope in tri-axial compressing test (confining pressure 40 MPa)

放大倍數(shù)圍壓/MPa02040分?jǐn)?shù)維×200×500×1000×2000×40001.94201.99601.99672.00582.01502.01552.05372.02272.02242.01551.97001.99041.97511.99001.9990

常規(guī)室內(nèi)巖石三軸試驗(yàn)采用單一圍壓軸對(duì)稱應(yīng)力系統(tǒng)，先對(duì)巖石試件施加一恒定的側(cè)壓力σ2=σ3，然后再增加軸向荷載σ1，直到試件破壞。由表2可以看出，圍壓由0MPa增加到20MPa時(shí)，分?jǐn)?shù)維增大，符合圍壓提高后的壓縮破壞過(guò)程趨向復(fù)雜、巖石破壞斷口分?jǐn)?shù)維增大的一般規(guī)律。但當(dāng)圍壓增加到40MPa時(shí)，預(yù)先施加的圍壓約達(dá)到其單軸抗壓強(qiáng)度(59.286MPa)的2/3，已經(jīng)對(duì)試件造成了徑向新的明顯損傷，在此損傷的基礎(chǔ)上試件壓縮破壞所需的豎向荷載僅為57.937MPa，即高圍壓引發(fā)的新?lián)p傷主導(dǎo)了后期壓縮過(guò)程，破壞原因簡(jiǎn)單，致使巖石破壞斷口分?jǐn)?shù)維基本降至最低。同時(shí)，各級(jí)放大倍數(shù)所對(duì)應(yīng)的同尺度下的最大分?jǐn)?shù)維，均出現(xiàn)在圍壓為20MPa時(shí)巖石的壓縮破壞斷口上，是進(jìn)行分?jǐn)?shù)維約化處理的基礎(chǔ)。

2 石灰?guī)r損傷分形統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型

2.1 單軸壓縮試驗(yàn)分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型

巖石是一種復(fù)雜的非均質(zhì)材料，其內(nèi)部隨機(jī)分布著大量的微裂紋、微空隙等缺陷。假設(shè)巖石強(qiáng)度服從Weibull分布，其概率密度函數(shù)為

(1)

式中：ε為巖石試件的應(yīng)變；m、F為Weibull分布參數(shù)，反映巖石材料的力學(xué)性質(zhì)，可經(jīng)由實(shí)驗(yàn)確定[14-15]。

巖石材料的損傷由內(nèi)部微元體破壞引起，設(shè)在某一級(jí)荷載作用下已破壞的微元體數(shù)目為Nt，與微元體總數(shù)N之比即為損傷變量D。所以，在任意區(qū)間[ε，ε+dε]內(nèi)產(chǎn)生破壞的微元數(shù)目為NP(x)dx，當(dāng)加載到某一水平ε時(shí)，已破壞的微元體數(shù)目為

(2)

將式(2)代入D的表達(dá)式，得

(3)

根據(jù)連續(xù)損傷力學(xué)的基本關(guān)系式，有

σ=Eε(1-δD)

(4)

式中：E為彈性模量；δ為從0到1變化的系數(shù)。

現(xiàn)將式(4)中的系數(shù)δ，用分?jǐn)?shù)維約化處理后的數(shù)值f代替，即令f=分?jǐn)?shù)維/同尺度層次最大分?jǐn)?shù)維，得

σ=Eε(1-fD)

(5)

用分?jǐn)?shù)維約化處理后的數(shù)值代替損傷變量的系數(shù)，即通過(guò)分?jǐn)?shù)維來(lái)調(diào)節(jié)損傷變量的變化，建立了分?jǐn)?shù)維與損傷程度之間的關(guān)系。而斷口上蘊(yùn)藏的關(guān)于損傷破壞機(jī)理的信息，可以通過(guò)分形幾何學(xué)理論定量描述其復(fù)雜程度的途徑追溯，定量評(píng)價(jià)的石灰?guī)r斷口復(fù)雜程度越高，表明其損傷程度越高。

將式(3)代入式(5)，得

(6)

式(6)即為單軸壓縮下巖石材料的分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。

2.2 三軸壓縮試驗(yàn)分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型

對(duì)于三軸壓縮條件下的巖石材料，有連續(xù)損傷力學(xué)的基本關(guān)系式：

σ=Eε(1-δD)+μ(σ2+σ3)δD

(7)

(8)

(9)

聯(lián)立式(8)、式(9)，求解得：

(10)

(11)

3 石灰?guī)r損傷分形本構(gòu)模型實(shí)例

3.1 單軸壓縮分形損傷模型的實(shí)例驗(yàn)證

石灰?guī)r單軸壓縮試驗(yàn)曲線，如圖4中B。

圖4 單軸壓縮實(shí)驗(yàn)曲線與模型理論曲線Fig. 4 Comparison between experimental and theoretical curves in uni-axial compressing experiment

分?jǐn)?shù)維約化參數(shù)的處理是基于同尺度層次的最大分?jǐn)?shù)維，由表2中的分?jǐn)?shù)維可以計(jì)算得到石灰?guī)r斷口各放大倍數(shù)所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)維約化參數(shù)f；表1中的基本力學(xué)參數(shù)結(jié)合f，可以計(jì)算得到建立石灰?guī)r分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型的參數(shù)m；表1中的基本力學(xué)參數(shù)結(jié)合f與m，可以計(jì)算得到參數(shù)F。石灰?guī)r單軸壓縮細(xì)觀損傷分形理論模型的相關(guān)計(jì)算參數(shù)，見表3。

表3 石灰?guī)r單軸壓縮分形損傷模型的計(jì)算參數(shù)

Table 3 Calculation parameters for fractal damage model of limestone in uni-axial compressing experiment

倍 數(shù)×200×500×1000×2000×4000f0.96400.97200.98700.99200.9998m2.67582.38652.51532.60172.4474F/(×10-3)4.45904.45603.60204.52804.5380

將表3中的計(jì)算參數(shù)代入單軸壓縮下巖石材料的分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型即公式(6)，得到石灰?guī)r分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型，繪制各細(xì)觀尺度下的應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線，如圖4?？梢?個(gè)尺度層次(或放大倍數(shù))下單軸理論曲線的集中程度高，但其與試驗(yàn)曲線B的符合程度一般，表明分形損傷理論模型在一定程度上可以反映石灰?guī)r單軸壓縮細(xì)觀損傷破壞過(guò)程。

3.2 三軸壓縮分形損傷模型的實(shí)例驗(yàn)證

3.2.1 圍壓20 MPa的三軸壓縮試驗(yàn)

圍壓為20 MPa的石灰?guī)r三軸壓縮試驗(yàn)曲線，如圖5中B。

圖5 三軸壓縮實(shí)驗(yàn)曲線與模型理論曲線(圍壓20 MPa)Fig. 5 Comparison between experimental and theoretical curves in tri-axial compressing test(confining pressure 20 MPa)

由表2可見，各尺度層次下圍壓為20 MPa時(shí)石灰?guī)r斷口的分?jǐn)?shù)維最大，所以各放大倍數(shù)所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)維約化參數(shù)f均為1；僅通過(guò)表1中的石灰?guī)r力學(xué)實(shí)驗(yàn)參數(shù)，即可計(jì)算得到分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型建立所需的參數(shù)m；通過(guò)參數(shù)m及表1中的基本力學(xué)性質(zhì)，可計(jì)算得參數(shù)F。因此在進(jìn)行圍壓為20MPa的三軸壓縮實(shí)驗(yàn)時(shí)，石灰?guī)r的細(xì)觀損傷分形理論模型的計(jì)算參數(shù)中，分?jǐn)?shù)維約化參數(shù)f為不變量。

將計(jì)算參數(shù)代入三軸壓縮下巖石材料的分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型即公式(8)，得到石灰?guī)r分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。由于計(jì)算參數(shù)f、m及F均為定值，因此各細(xì)觀尺度下的應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線相同，繪制如圖5。比較理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線，二者在峰前段符合程度高，表明分形損傷理論模型比較符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，較好地反映了圍壓20MPa時(shí)石灰?guī)r三軸壓縮細(xì)觀損傷破壞特征。

3.2.2 圍壓40MPa的三軸壓縮試驗(yàn)

圍壓為40MPa的石灰?guī)r三軸壓縮試驗(yàn)曲線，如圖6中B。

圖6 三軸壓縮實(shí)驗(yàn)曲線與模型理論曲線(圍壓40 MPa)Fig. 6 Comparison between experimental and theoretical curves in tri-axial compressing test(confining pressure 40 MPa)

由表2中的分?jǐn)?shù)維計(jì)算得石灰?guī)r斷口各放大倍數(shù)所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)維約化參數(shù)f；通過(guò)參數(shù)f結(jié)合表1中的基本力學(xué)參數(shù)，計(jì)算得石灰?guī)r分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型建立需要的參數(shù)m；結(jié)合參數(shù)f、m與表1中的基本力學(xué)參數(shù)，計(jì)算得參數(shù)F。統(tǒng)計(jì)石灰?guī)r三軸壓縮(圍壓40MPa)細(xì)觀損傷分形理論模型的計(jì)算參數(shù)，見表4。

表4 石灰?guī)r三軸壓縮分形損傷模型的計(jì)算參數(shù)Table 4 Calculation parameters for fractal damage model of limestone in tri-axial compressing experiment

將表4中的計(jì)算參數(shù)代入三軸壓縮下巖石材料的分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型即公式(8)，得到石灰?guī)r分形損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型，繪制各細(xì)觀尺度下的應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線，如圖6。理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線比較表明，在進(jìn)行圍壓為40 MPa的石灰?guī)r三軸壓縮實(shí)驗(yàn)時(shí)，分形損傷理論模型同實(shí)驗(yàn)結(jié)果的符合程度最高，很好地反映了石灰?guī)r三軸壓縮細(xì)觀損傷破壞過(guò)程。

4 結(jié) 論

1)引入分形幾何學(xué)理論研究石灰?guī)r壓縮破壞的實(shí)驗(yàn)斷口，應(yīng)用分?jǐn)?shù)維定量追溯其細(xì)觀損傷破壞原因。

2)隨著試驗(yàn)圍壓的提高(<20 MPa)，石灰?guī)r壓縮破壞斷口的分?jǐn)?shù)維增大，其細(xì)觀損傷破壞過(guò)程趨向復(fù)雜；試驗(yàn)圍壓提高到巖石單軸抗壓強(qiáng)度約2/3時(shí)，新生徑向損傷主導(dǎo)了后續(xù)簡(jiǎn)單的壓縮破壞過(guò)程，石灰?guī)r細(xì)觀損傷斷口的分?jǐn)?shù)維最小。

3)引入分?jǐn)?shù)維約化指標(biāo)，構(gòu)建了描述石灰?guī)r破壞特征的分形損傷統(tǒng)計(jì)模型，同實(shí)驗(yàn)結(jié)果的符合程度較高，在細(xì)觀尺度上比較理想地反映了石灰?guī)r的損傷破壞過(guò)程。

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(責(zé)任編輯：朱漢容)

Fractal Geometry Analysis on Complexity of Limestone Fracture Mesoscale

LIU Chuanxiao1, WANG Long2, ZHANG Xiaolei1, LI Maotong1, ZHOU Tong1

(1. School of Water Conservancy and Civil Engineering, Shandong Agricultural University, Tai’an 271018, Shandong, P. R. China; 2. Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, Hubei, P. R. China)

The stress-strain time series and rock damage experimental fractures were obtained by laboratory uni-axial and tri-axial compressing experiments on limestone. The experimental fractures with the compressive failure of different confining pressures were analyzed by scanning electron microscope imaging experiment. Fractal dimensions in mesoscale space of limestone fractures were calculated to trace the damage feature quantitatively. The general rule that when the confining pressure increases (< 20 MPa), the compressive failure process inclines to be complicated and the fractal dimensions of limestone factures increase was obtained. When the confining pressure increased to about 2/3 uni-axial compressive strength of rock, latter compressing process may be controlled by new radial damage caused by high surrounding pressure, which resulted in that the final failure cause tended to be simple and the fractal dimensions of rock damage factures tended to be the minimum. The fractal dimension reduction index was introduced into the basic relation of continuum damage mechanics, and a fractal damage statistical model describing mesoscale failure mechanism of limestone was established. Comparing with the stress-strain test results, it is indicated that the fractal damage theory model is fitted with the experimental relation curve and can ideally reflect the strain softening feature of limestone tri-axial compression test. The proposed model is a valuable discussion for mesoscale failure mechanism of the damaged rock.

geotechnical engineering; limestone; damage; fractal geometry; mesoscale

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.13

2016- 01-10；

2016- 02-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51004098；51574156)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2014DM019)

劉傳孝(1970—)，男，山東郯城人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事非線性動(dòng)力學(xué)、計(jì)算力學(xué)、巖土力學(xué)與工程方向的科研與教學(xué)工作。E-mail: Lchuanx@163.com。

TU451

A

1674-0696(2017)07-077-06