江長(zhǎng)云, 孫志宏, RAHMAN Habibur, 蔡聞然, 高明揚(yáng), 王 歡, 劉 智

(東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 上海 201620)

平面彈性五桿機(jī)構(gòu)的振動(dòng)與構(gòu)件彈性振動(dòng)的平衡優(yōu)化

江長(zhǎng)云, 孫志宏, RAHMAN Habibur, 蔡聞然, 高明揚(yáng), 王 歡, 劉 智

(東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 上海 201620)

采用SPACAR軟件建立平面彈性五桿機(jī)構(gòu)的有限元模型, 在Matlab環(huán)境下對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析. 仿真結(jié)果表明, 通過(guò)不斷增大曲柄轉(zhuǎn)速, 機(jī)構(gòu)的振動(dòng)和構(gòu)件的彈性振動(dòng)均不斷加劇. 將機(jī)構(gòu)的振動(dòng)、構(gòu)件的彈性振動(dòng)以及二者的綜合作為3種不同的優(yōu)化目標(biāo), 利用部分冗余伺服電機(jī)(PRSM)法對(duì)SPACAR建立的有限元模型進(jìn)行平衡優(yōu)化, 探討3種優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化效果. 結(jié)果表明: 以構(gòu)件的振動(dòng)為目標(biāo)函數(shù)雖然可以改善桿件的彈性振動(dòng), 但是會(huì)使機(jī)構(gòu)的整體振動(dòng)加??；以機(jī)構(gòu)振動(dòng)力矩為目標(biāo)函數(shù)或者以構(gòu)件的振動(dòng)和機(jī)構(gòu)的振動(dòng)二者的綜合為目標(biāo)函數(shù)均可同時(shí)平衡機(jī)構(gòu)的振動(dòng)和構(gòu)件的彈性振動(dòng), 但前者對(duì)機(jī)構(gòu)振動(dòng)的平衡效果更好.

五桿機(jī)構(gòu)；彈性；平衡；動(dòng)力學(xué)；部分冗余伺服電機(jī)法

機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 其總質(zhì)心位置隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)而變化, 所產(chǎn)生的慣性力通過(guò)固定鉸鏈點(diǎn)傳遞給機(jī)架引起機(jī)構(gòu)的整體振動(dòng)(shaking), 一般用振動(dòng)力、振動(dòng)力矩表示. 現(xiàn)代機(jī)械的發(fā)展趨勢(shì)是高速化和輕型化, 高速化會(huì)大幅增加機(jī)構(gòu)的慣性力, 而輕型化使構(gòu)件在高速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中更容易產(chǎn)生彈性振動(dòng)(vibration). 對(duì)于彈性機(jī)構(gòu), 機(jī)構(gòu)的慣性力使機(jī)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)力和振動(dòng)力矩, 而振動(dòng)力和振動(dòng)力矩又導(dǎo)致構(gòu)件的振動(dòng)、變形, 構(gòu)件變形必定會(huì)改變慣性力, 從而增加振動(dòng)力和振動(dòng)力矩, 因此, 慣性力傳遞到機(jī)架而形成的機(jī)構(gòu)整體振動(dòng)與構(gòu)件的彈性振動(dòng)是兩個(gè)耦合的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)[7]. 機(jī)構(gòu)整體振動(dòng)與構(gòu)件彈性振動(dòng)均會(huì)惡化機(jī)構(gòu)的工作性能, 影響執(zhí)行端軌跡的精度, 所以對(duì)彈性機(jī)構(gòu)進(jìn)行平衡時(shí), 有必要同時(shí)考慮這兩個(gè)動(dòng)力學(xué)指標(biāo).

對(duì)平面彈性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的文獻(xiàn)已有很多, 但研究?jī)?nèi)容主要集中在機(jī)構(gòu)振動(dòng)的平衡[1]或構(gòu)件彈性振動(dòng)的抑制[2]這兩個(gè)方面. 文獻(xiàn)[3-4]通過(guò)控制附加的冗余驅(qū)動(dòng)器在振動(dòng)力、振動(dòng)力矩的最大值附近施加的冗余驅(qū)動(dòng)力矩，使機(jī)構(gòu)的振動(dòng)得到了較好的平衡. 文獻(xiàn)[5-7]利用部分冗余伺服電機(jī)法(PRSM法)對(duì)彈性機(jī)構(gòu)的振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)平衡優(yōu)化并取得了良好的平衡效果. 與冗余驅(qū)動(dòng)法相比, PRSM法不需要添加額外的元件, 具有一定的優(yōu)越性[5]. 其中, 文獻(xiàn)[6]利用PRSM法調(diào)節(jié)平面彈性五桿機(jī)構(gòu)兩曲柄的轉(zhuǎn)速來(lái)減小機(jī)構(gòu)的振動(dòng), 但是并沒(méi)有研究對(duì)構(gòu)件彈性振動(dòng)的優(yōu)化效果.

本文在文獻(xiàn)[6]研究工作的基礎(chǔ)上, 以平面彈性五桿機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象, 忽略負(fù)載和間隙的影響, 利用彈性動(dòng)力學(xué)仿真軟件建立該機(jī)構(gòu)的有限元模型, 利用PRSM法對(duì)該機(jī)構(gòu)的振動(dòng)和構(gòu)件的彈性振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)平衡優(yōu)化, 探討不同優(yōu)化指標(biāo)對(duì)彈性五桿機(jī)構(gòu)動(dòng)平衡優(yōu)化效果的影響.

1 有限元理論分析

1.1 機(jī)構(gòu)振動(dòng)分析

彈性五桿機(jī)構(gòu)有限元模型[8]如圖1所示, 由曲柄(1)、連桿(2)、連桿(3)、曲柄(4)和機(jī)架組成. 兩曲柄各劃分為一個(gè)梁?jiǎn)卧? 兩連桿各劃分為兩個(gè)梁?jiǎn)卧? 故整個(gè)系統(tǒng)由6個(gè)梁?jiǎn)卧M成.Ui(i=1～22)表示廣義坐標(biāo), (1)～(4)表示桿件編號(hào), 1～7表示節(jié)點(diǎn)編號(hào), ①～⑥表示梁?jiǎn)卧幪?hào).

圖1 彈性五桿機(jī)構(gòu)有限元模型Fig.1 The finite model of elastic five-bar mechanism

梁?jiǎn)卧倪\(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

現(xiàn)將各單元的運(yùn)動(dòng)微分方程組裝起來(lái), 整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(2)

機(jī)構(gòu)的振動(dòng)力和振動(dòng)力矩實(shí)際上是機(jī)構(gòu)對(duì)機(jī)架所施加的力和力矩. 機(jī)架的受力示意圖如圖2所示. 機(jī)構(gòu)所受的4個(gè)力, 分別與副反力F1x、F1y、F7x、F7y大小相等, 方向相反.

圖2 機(jī)架受力分析Fig.2 The force analysis of rack

Tin1、Tin4為電機(jī)的輸入力矩, 可求得機(jī)構(gòu)的振動(dòng)力Fsh和振動(dòng)力矩Msh[4]為

(3)

(4)

式中:l5為節(jié)點(diǎn)1到7的距離.

1.2 構(gòu)件彈性振動(dòng)分析

由于將構(gòu)件劃分為梁?jiǎn)卧? 因此，構(gòu)件的彈性振動(dòng)分析可以簡(jiǎn)化成梁?jiǎn)卧恼駝?dòng)分析. 需特別申明, 本文中梁?jiǎn)卧恼駝?dòng)是指橫向振動(dòng)(忽略梁的縱向振動(dòng)), 梁?jiǎn)卧恼駝?dòng)幅度用梁的軸線橫向位移來(lái)描寫(xiě). 平面彈性梁?jiǎn)卧猍9]如圖3所示, 節(jié)點(diǎn)p、q的位置向量分別為(xp,yp)、(xq,yq), 角度φp、φq分別代表了Rpnx、Rqnx與x軸的夾角.Rpnx與Rpny為過(guò)節(jié)點(diǎn)p的相互垂直的向量, 而Rqnx和Rqny過(guò)節(jié)點(diǎn)q的相互垂直的向量. 當(dāng)梁?jiǎn)卧醋冃螘r(shí),Rpnx和Rqnx沿著梁軸線,Rpny和Rqny垂直于梁的軸線. 其中, 平面旋轉(zhuǎn)矩陣Rp和Rq具體為

(5)

圖3 平面彈性梁?jiǎn)卧狥ig.3 Planar flexible beam element

梁?jiǎn)卧猭的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為

(6)

平面梁?jiǎn)卧膹澢冃问疽鈭D如圖4所示.

圖4 平面彈性梁?jiǎn)卧膹澢冃蜦ig.4 Bending deformations of the planar beam element

(7)

式中:ny=[0, 1]T,l(k)=[(xq-xp), (yq-yp)]T.

在如圖1所示的彈性五桿機(jī)構(gòu)有限元模型中, 兩連桿分別劃分為兩個(gè)梁?jiǎn)卧? 連桿2由梁?jiǎn)卧诤土簡(jiǎn)卧劢M成, 連桿3由梁?jiǎn)卧芎土簡(jiǎn)卧萁M成, 所以, 連桿2和連桿3中點(diǎn)彎曲變形V2和V3[11]可以分別表示為

(8)

2 彈性五桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真研究

以文獻(xiàn)[6]中平面彈性五桿機(jī)構(gòu)作為實(shí)例, 曲柄(1)桿長(zhǎng)為80 mm, 截面寬為3.3 mm, 高為1.1 mm； 連桿(2)桿長(zhǎng)為250 mm, 截面寬為2.9 mm, 高為1.8 mm；連桿(3)幾何參數(shù)與連桿(2)一致；曲柄(4)桿長(zhǎng)為100 mm, 截面寬為4.2 mm, 高為1.4 mm；機(jī)架長(zhǎng)為250 mm. 轉(zhuǎn)動(dòng)副B的集中質(zhì)量為0.012 4 kg, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1.116×10-7kg·m2；轉(zhuǎn)動(dòng)副C的集中質(zhì)量為0.014 6 kg, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1.314×10-7kg·m2；轉(zhuǎn)動(dòng)副D的集中質(zhì)量為0.013 3 kg, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1.197×10-7kg·m2. 構(gòu)件材料: 鋼, 密度ρ=7 800 kg/m3, 彈性模量E=2×1011Pa, 剪切模量G=8×1010Pa.

由于彈性五桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型是非線性、強(qiáng)耦合的時(shí)變微分方程, 求解過(guò)程比較麻煩. 因此, 本文利用SPACAR軟件直接建立平面彈性五桿機(jī)構(gòu)有限元模型. SPACAR軟件是一款基于非線性有限元理論的多自由度機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真軟件[10-11]，它需要在Matlab軟件環(huán)境下運(yùn)行使用, 這也為SPACAR軟件與Matlab優(yōu)化工具箱的結(jié)合提供了可能.

令兩曲柄的轉(zhuǎn)速ω1和ω4相等, 且初始角度均為0°， 改變兩曲柄轉(zhuǎn)速, 使之從0增至250 r/min, 得到彈性五桿機(jī)構(gòu)的振動(dòng)力和振動(dòng)力矩的最大幅值的變化曲線如圖5所示, 連桿(2)和連桿(3)中點(diǎn)彎曲變形的最大幅值的變化曲線如圖6所示.

圖5 振動(dòng)力和振動(dòng)力矩變化曲線Fig.5 The change of shaking force and shaking moment

圖6 連桿中點(diǎn)彎曲變形變化曲線Fig.6 The change of bending deformation

從圖5可以看出, 隨著轉(zhuǎn)速的增大, 機(jī)構(gòu)的振動(dòng)力和振動(dòng)力矩也在不斷增大, 說(shuō)明曲柄轉(zhuǎn)速增大, 機(jī)構(gòu)整體振動(dòng)加劇. 從圖6可以看出, 曲柄轉(zhuǎn)速增大, 構(gòu)件中點(diǎn)的彎曲變形增加, 且隨著轉(zhuǎn)速的增長(zhǎng),彎曲變形增長(zhǎng)的速率也增大. 因此, 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 彈性連桿存在振動(dòng), 且隨著曲柄轉(zhuǎn)速的增加, 機(jī)構(gòu)整體振動(dòng)和連桿彈性振動(dòng)的程度均加劇.

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(9)

(10)

(11)

式中:W1、W2、W3、W4、W5、W6為加權(quán)系數(shù), 其值分別取為W1=W2=0.5,W3=W4=W5=W6=0.25.

以上述3種目標(biāo)函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo), 通過(guò)Matlab優(yōu)化工具箱里的遺傳算法(GA)進(jìn)行優(yōu)化, 得到如表1所示的優(yōu)化效果.

表1 3種目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化效果

注：-代表下降, +代表上升.

圖7～10分別表示以目標(biāo)函數(shù)OF1為優(yōu)化目標(biāo)時(shí), 振動(dòng)力、振動(dòng)力矩、連桿(2)中點(diǎn)彎曲變形和連桿(3)中點(diǎn)彎曲變形各動(dòng)力學(xué)指標(biāo)優(yōu)化前后曲線.

圖7 振動(dòng)力平衡情況Fig.7 Shaking force balancing

圖8 振動(dòng)力矩平衡情況Fig.8 Shaking moment balancing

圖9 連桿(2)中點(diǎn)彎曲變形平衡情況Fig.9 Balancing of bending deformation of the midpoint of the connecting rod (2)

圖10 連桿(3)中點(diǎn)彎曲變形平衡情況Fig.10 Balancing of bending deformation of the midpoint of the connecting rod (3)

通過(guò)對(duì)圖7～10以及表1分析, 可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:

(1) 目標(biāo)函數(shù)OF1和OF3均可同時(shí)平衡機(jī)構(gòu)的振動(dòng)和構(gòu)件的彈性振動(dòng).

(2) 目標(biāo)函數(shù)OF1對(duì)機(jī)構(gòu)振動(dòng)的平衡效果優(yōu)于目標(biāo)函數(shù)OF3, 而目標(biāo)函數(shù)OF3對(duì)構(gòu)件彈性振動(dòng)的平衡效果優(yōu)于目標(biāo)函數(shù)OF1.

(3) 目標(biāo)函數(shù)OF2雖然可以改善桿件的彈性振動(dòng), 但是會(huì)使機(jī)構(gòu)的整體振動(dòng)加劇, 其中, 振動(dòng)力最大幅值增大了11.29%. 所以, 不能盲目地按照目標(biāo)函數(shù)OF2來(lái)優(yōu)化構(gòu)件的彈性振動(dòng), 需與機(jī)構(gòu)的振動(dòng)同時(shí)優(yōu)化.

因此, 若機(jī)構(gòu)振動(dòng)是主要平衡目標(biāo), 則可以單獨(dú)以機(jī)構(gòu)振動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)；若構(gòu)件彈性振動(dòng)是主要平衡目標(biāo), 則需將機(jī)構(gòu)振動(dòng)和構(gòu)件彈性振動(dòng)二者綜合為優(yōu)化目標(biāo).

3 結(jié) 語(yǔ)

本文首先采用SPACAR軟件直接建立平面彈性五桿機(jī)構(gòu)的有限元模型, 對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析. 結(jié)果發(fā)現(xiàn), 隨著曲柄轉(zhuǎn)速的不斷增加, 機(jī)構(gòu)的整體振動(dòng)和構(gòu)件的彈性振動(dòng)均不斷加劇. 為了使機(jī)構(gòu)達(dá)到平衡, 利用五次多項(xiàng)式二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)曲線擬合出其中一根曲柄的轉(zhuǎn)速, 將機(jī)構(gòu)的整體振動(dòng)、構(gòu)件的彈性振動(dòng)以及二者的綜合作為3種不同的優(yōu)化目標(biāo), 將SPACAR與Matlab優(yōu)化工具箱結(jié)合, 利用PRSM法對(duì)平面彈性五桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行平衡優(yōu)化. 優(yōu)化結(jié)果表明: 彈性機(jī)構(gòu)動(dòng)平衡優(yōu)化時(shí), 若機(jī)構(gòu)振動(dòng)是主要平衡目標(biāo), 則單獨(dú)以機(jī)構(gòu)振動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo), 可以在有效平衡機(jī)構(gòu)振動(dòng)的同時(shí)改善構(gòu)件的彈性振動(dòng)；若構(gòu)件彈性振動(dòng)是主要平衡目標(biāo), 則需將機(jī)構(gòu)振動(dòng)和構(gòu)件彈性振動(dòng)二者的綜合作為為優(yōu)化目標(biāo).

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(責(zé)任編輯: 杜 佳)

Vibration Balancing Optimization of Elastic Five-Bar Planar Linkages

JIANGChangyun,SUNZhihong,RAHMANHabibur,CAIWenran,GAOMingyang,WANGHuan,LIUZhi

(College of Mechanical Engineering, Donghua University, Shanghai 201620, China)

An elastic five-bar finite model is directly established with the SPACAR program and the dynamic simulation analysis is discussed in the Matlab environment. Increasing gradually the speed of the cranks, the simulation results show that the shaking of the whole mechanism and the vibration of the elastic bars are continually aggrandized. Regarding the shaking of the mechanism, the vibration of two connecting rods and the integrated function of both as three different optimization goals, the dynamic property of the elastic five-bar linkages is optimized based on partial redundant servo motor (PRSM) approach, and then the optimization results of three different goals are analyzed. Taking comprehensive analyses into account, the conclusion is firmly achieved. On one hand, considering the vibration of linkages as the objective function, it is possible to decrease the elastic vibration of bars, yet the shaking is intensified in the meantime. On the other hand, with shaking moment or the integrated function of both as the objective function, both the vibration and the shaking can be diminished at the same time, while the effect of the former on balancing of the shaking is better.

five-bar linkages; elastic; balancing; dynamics; partial redundant servo motor(PRSM)approach

1671-0444 (2017)03-0425-05

2016-05-04

江長(zhǎng)云(1992—)，女，河南信陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論. E-mail:chyjiang23@126.com 孫志宏(聯(lián)系人)，女，教授， E-mail：zhsun@dhu.edu.cn

TH 113.25

A