周 輝, 丁 銳, 曹浩峰, 曹 毅

(1. 江南大學 機械工程學院, 江蘇 無錫 214122；2. 上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海 200240；3. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室, 江蘇 無錫 214122)

六自由度混聯(lián)機構雅可比矩陣求解及奇異位形分析

周 輝1, 3, 丁 銳1, 3, 曹浩峰1, 3, 曹 毅1, 2, 3

(1. 江南大學 機械工程學院, 江蘇 無錫 214122；2. 上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海 200240；3. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室, 江蘇 無錫 214122)

提出一種由2個不同的三自由度并聯(lián)機構串接而成的混聯(lián)機構, 針對下端和上端并聯(lián)模塊分別建立速度雅可比矩陣, 然后通過上下兩個并聯(lián)模塊的運動關系, 建立整個混聯(lián)機構的整體雅可比矩陣.雅可比矩陣是分析機構奇異位形的基礎, 通過令機構整體雅可比矩陣行列式為零, 從而得到機構奇異的非線性方程來研究混聯(lián)機構的奇異位形, 同時運用MAPLE軟件繪制出機構的奇異軌跡.該方法建立了由2個并聯(lián)模塊組成的混聯(lián)機構的雅可比矩陣, 具有一定的理論意義.

混聯(lián)機構；雅可比矩陣；并聯(lián)模塊；奇異位形

混聯(lián)機構結合了傳統(tǒng)串聯(lián)機構和并聯(lián)機構的優(yōu)點, 具有承載能力強、剛度大、精度高、工作空間大等優(yōu)點, 有效地擴大了機器人的應用領域[1].近年來混聯(lián)機構引起了學術界的關注, 但是由于混聯(lián)機構構型復雜, 其理論研究仍不成熟, 嚴重影響了混聯(lián)機構的發(fā)展[2].

雅可比矩陣在機器人的運動學分析中具有重要地位, 機器人的分離速度控制、靜力分析、靈活性和可操作度分析等都要用到機器人的雅可比矩陣, 因此, 機器人雅可比矩陣的準確、快速求解顯得尤為重要[3].目前，對單個并聯(lián)機構的雅可比矩陣及奇異位形的研究相對比較成熟.Hunt[4]教授最先開始研究并聯(lián)機構奇異性.隨后Fichter[5]、Merlet[6]、Gosselin[7]、Di-Gregorio[8]、黃真[9]等學者在該領域都做出了重大研究貢獻, 對于后續(xù)系統(tǒng)地研究機構奇異有著重要的意義[10].文獻[11]對2-PRS-PRRU并聯(lián)機構進行了分析, 通過所求的雅可比矩陣, 分析了機構的逆解奇異、正解奇異和混合奇異.文獻[12]分析了3/6-SPS型Stewart機構奇異軌跡的解析表達式, 基于此原理提出了分析并聯(lián)機構奇異位形的等效機構法.文獻[13]對Stewart并聯(lián)機構位于給定姿態(tài)時的位置奇異軌跡進行了系統(tǒng)的研究, 基于所建立的并聯(lián)機構的力雅可比矩陣, 推導出該機構位于給定姿態(tài)時的三維位置奇異軌跡的3次符號表達式.文獻[14]基于對偶螺旋理論, 基于約束子矩陣和運動子矩陣給出了非全對稱少自由度并聯(lián)機構完整雅可比矩陣的推導方法.混聯(lián)機構由于機構間運動影響, 其奇異性問題更復雜, 對于研究混聯(lián)機構奇異位形的文獻還很少.文獻[15]對2(2-UPR+SPR)串并聯(lián)機構進行了研究, 建立了上下2個相同并聯(lián)模塊組成的混聯(lián)機構的雅可比矩陣.文獻[16]求解了由2個并聯(lián)機構串接而成的混聯(lián)機構的雅可比矩陣, 從而分析了機構的運動性能.

本文提出的混聯(lián)機構由2個不同的并聯(lián)機構模塊串接而成, 通過構建上下兩端并聯(lián)模塊的速度雅可比矩陣, 然后根據(jù)上下2個并聯(lián)模塊的運動關系, 建立整個混聯(lián)機構的整體雅可比矩陣.在此基礎上, 通過雅可比矩陣分析機構的奇異位形, 對機構的推廣應用可提供一定的理論基礎.

1 混聯(lián)機構的描述

本文混聯(lián)機構由2個并聯(lián)機構串聯(lián)起來, 每個并聯(lián)機構都有3個自由度.混聯(lián)機構結構圖如圖1所示.由圖1可知, 位于混聯(lián)機構下端部分的并聯(lián)機構具有2條SPS支鏈和1條RPR支鏈, 其中RPR支鏈3個運動副相互垂直，呈R1⊥P⊥R2.上面并聯(lián)機構具有2條SPS支鏈和1條RRR支鏈, 其中RRR支鏈的3個轉動副相互垂直, 呈R3⊥R4⊥R5, R2和R3的轉動軸線相互垂直.下面并聯(lián)機構模塊的驅動是位于3條分支上的3個移動副, 上面并聯(lián)機構模塊的驅動是2個位于分支上的移動副和另一條支鏈上中間的R4轉動副.上下2個并聯(lián)機構的動平臺和靜平臺都是正三角形.

圖1 混聯(lián)機構結構圖Fig.1 Structure diagram of the hybrid mechanism

整個混聯(lián)機構的總構件數(shù)目n=15, 包括一個靜平臺、一個動平臺、一個中間平臺.運動副數(shù)目g=18, 包括8個球副S、5個移動副P、5個轉動副R.由于SPS支鏈都可以繞著自身兩端的球副旋轉, 所以每條SPS支鏈存在一個局部自由度, 因此局部自由度數(shù)目ζ=4.運用計算空間機構自由度的Grübler-Kutzbach公式得到此混聯(lián)機構的自由度[17]為

(1)

式中:fi為運動副的自由度；ν為冗余自由度.

由式(1)可知, 此雙并聯(lián)型混聯(lián)機構具有6個自由度.

2 雅可比矩陣求解

為了進一步分析機構末端執(zhí)行器與機構輸入之間的速度關系, 可以求解混聯(lián)機構的雅可比矩陣, 且機構的雅可比矩陣在機構奇異性分析和運動精度的分析中也具有重要作用[5].雖然雅可比矩陣是從機構速度關系中推導得到的, 但其只與機構的位形、機構類型、尺寸有關, 與機構的速度等運動參數(shù)無關, 而且雅可比矩陣是一個時變線性變換[18].

2.1 下端并聯(lián)機構模塊

如圖2所示, 2SPS+RPR并聯(lián)機構模塊由靜平臺B和動平臺m通過3條支鏈連接而成.靜平臺B是邊長為a的等邊三角形, 運動平臺m是邊長為b的等邊三角形, 兩平臺中心點分別為O和o, 頂點分別用Ai和Bi(i=1, 2, 3)表示.

圖2 下端并聯(lián)模塊坐標系Fig.2 Lower parallel module coordinate system

3個驅動分支包括2個SPS驅動分支r1和r2, 1個RPR驅動分支r3.2條SPS支鏈ri通過兩端Ai點和Bi點的球副S和中間作為驅動的移動副P將靜平臺和動平臺連接起來(i=1, 2)；RPR支鏈r3則通過A3點的轉動副R、作為驅動的移動副P及B3點的轉動副R將動平臺和靜平臺連接起來.

如圖2所示, 以機構靜平臺中心O為原點建立右手直角坐標系OXYZ,X軸平行于A1A2,Y軸在B面內垂直于A1A2,Z軸垂直于靜平臺.以機構動平臺中心o為原點建立坐標系oxyz,x軸平行于B1B2,y軸垂直于B1B2,z軸垂直于動平臺.

機構靜平臺端點在OXYZ坐標系中可表示為

(2)

機構動平臺端點在oxyz坐標系中可表示為

(3)

動平臺各端點在坐標系OXYZ中可表示為

(4)

則其具體表達式為

(5)

δi表示驅動桿的單位矢量, 則δi=(Bi-Ai)/ri.由式(2)和(5)可得:

(6)

ei表示從o點到Bi點的矢量, 則ei=Bi-o, 其中,o表示點o的位置矢量.由式(5)可得:

(7)

R1表示RPR支鏈轉動副R1在{B}中的單位矢量.R2和mR2分別表示RPR支鏈轉動副R2在{B}和{m}中的單位矢量.

(8)

(9)

(10)

因為轉動副R1和R2垂直, 則有:

R1·R2=0

(11)

將式(8)和(10)代入式(11), 則有

(12)

(13)

式中:sα,sβ,sγ分別表示sinα, sinβ, sinγ；cα,cβ,cγ分別表示cosα, cosβ, cosγ.

將式(4)和(13)的兩種表達方式比較可得:

(14)

將式(14)代入式(12)中, 可得:

(15)

由于R1⊥P⊥R2, 所以δ3·R1=0,δ3·R2=0.將式(6)中δ3的表達式代入式(8)和(10)中可得:

eyl+X0=0

(16)

(17)

假設o到O的向量為r0, 則r0=r0[zlzmzn]T, 其中r0表示點o到O的距離.則有:

(18)

(19)

將式(19)代入式(17)中并展開, 然后將式(18)代入, 可得:

(20)

由式(2)和(5)可得各驅動桿長表達式為

(21)

式中:P0=X0xl+Y0xm+Z0xn,Q0=X0yl+Y0ym+Z0yn.

觀察P0和Q0可以發(fā)現(xiàn),P0=[X0Y0Z0]T·[xlxmxn]T,Q0=[X0Y0Z0]T·[ylymyn]T, 其中[X0Y0Z0]就是動平臺上坐標系原點o在靜坐標系OXYZ中的表達.由式(19)可得,P0=r0[zlzmzn]T·[xlxmxn]T=0, 同理Q0=0.

這樣式(21)可以簡化為

(22)

由式(20)可得:

(23)

由此可得：

若cβ=0, 則X0和Z0都等于零, 即動平臺與靜平臺重合, 此時機構產(chǎn)生奇異, 所以cβ≠0.那么γ的表達式可寫成:

(24)

將式(19)代入式(22)中, 并將其中的γ用φ-π/3表示, 化簡后得到:

(25)

(26)

由YXZ歐拉角旋轉方式對應的(Rα,Rβ,Rγ)表達形式[19]可知轉動雅可比矩陣(Jω)為

(27)

所以機構的混合雅可比矩陣(Jθ)為

(28)

2.2 上端并聯(lián)機構模塊

2SPS+RRR并聯(lián)機構如圖3所示.此并聯(lián)模塊通過3條驅動支鏈連接靜平臺B和動平臺m.上端并聯(lián)模塊的靜平臺為下端并聯(lián)模塊的動平臺.靜平臺B是邊長為b、中心點為O的等邊三角形, 動平臺m是邊長為d、中心點為o的等邊三角形, 兩平臺的三角形頂點分別用Bi和Di(i=1, 2, 3)表示.

圖3 上端并聯(lián)模塊坐標系Fig.3 Upper parallel module coordinate system

3個驅動分支包括2個SPS驅動分支r1和r2, 1個RRR驅動分支r3.2條SPS支鏈rj分別通過位于支鏈兩端Bj點和Dj點的球副S以及中間作為驅動的移動副P連接靜平臺和動平臺(j=1, 2)；RRR支鏈r3則通過B3點的轉動副R, 作為驅動的轉動副R及D3點的轉動副R將動平臺和靜平臺連接起來, 此支鏈的3個轉動副相互垂直.

如圖3所示, 以機構靜平臺中心O為原點建立坐標系OXYZ,X軸垂直于B2B3,Y軸平行于B2B3, Z軸垂直于靜平臺.以機構動平臺中心o為原點建立坐標系oxyz,x軸垂直于D2D3,y軸平行于D2D3,z軸垂直于動平臺.

機構靜平臺端點在OXYZ坐標系中可表示為

(29)

機構動平臺端點在oxyz坐標系中可表示為

(30)

式中:e為動平臺中心點o到各端點的距離, 上端并

動平臺各端點在坐標系OXYZ中可表示為

(31)

則其具體表達式為

(32)

δi表示3條支鏈的單位矢量, 則δi=(Di-Bi)/ri(i=1, 2, 3).由此可得:

(33)

由2SPS+RRR機構中各轉動副的方位, 可得第3條支鏈的3個轉動副對靜平臺坐標系的矢量為

(34)

由于R1、R2、R3相互垂直, 因此這3個矢量相互點乘結果均為0.

(35)

R1·B2B3=0

(36)

由式(35)和(36)可得:

yl=0

(37)

(38)

(39)

把式(37)代入式(38)和(39)中可得:

(40)

采用XZY歐拉角來表示2SPS+RRR機構中坐標系oxyz相對于坐標系OXYZ的旋轉, 即動坐標系oxyz先與靜坐標系OXYZ重合, 然后繞靜平臺坐標系X軸旋轉α角, 接著繞新坐標系的z′軸旋轉β, 最后繞新坐標系的y″軸旋轉γ角得到.則描述機構姿態(tài)的旋轉矩陣可表示為

(41)

由yl=0, 可得β=0.從而旋轉變換矩陣(41)可以簡化為

(42)

由式(31)和(42)兩種變換矩陣可得:

(43)

把式(43)代入式(40)中可得:

(44)

由式(44)可以看出, 此機構動平臺位置Xo、Yo、Zo相互耦合.Xo、Yo、Zo是關于其廣義坐標α、γ、Zo的函數(shù).動平臺中心點o相對于靜平臺中心點O的線速度可表示為

(45)

此機構的動平臺m相對于靜平臺B的角速度可表示為歐拉角速度的疊加, 如式(46)所示.

(46)

由式(45)和(46)可得:

(47)

式(47)為上端并聯(lián)機構模塊的末端6維速度與廣義坐標速度間的映射關系,Jo為機構的速度解耦矩陣.

2.3 混聯(lián)機構整體雅可比矩陣的建立

對于混聯(lián)機構中的旋轉變換矩陣, 定義下端并聯(lián)機構的靜平臺為B1, 動平臺為m1, 上端并聯(lián)機構的靜平臺為B2, 動平臺為m2, 則它們之間的變換關系可以表示為

(48)

由于上端并聯(lián)機構的靜平臺坐標系相對于下端并聯(lián)機構動平臺的坐標系繞著Z軸旋轉了-30°, 則:

(49)

機構末端平臺中心o2在基坐標系B1中可表示為

(50)

式(50)對時間求導可以得到:

(51)

機構末端平臺m2相對于基坐標系B1的角速度[15]可表示為

(52)

由式(51)和(52)可知, 混聯(lián)機構末端平臺m2相對于基坐標系B1的速度為

(53)

在此定義一種運算, 設p=[pxpypz]T, 則G(p)滿足

(54)

則JR1和JR2的表達式可以寫為

(55)

由2.1和2.2節(jié)分別求解的下端并聯(lián)模塊和上端并聯(lián)模塊的雅可比矩陣可得:

(56)

為了區(qū)分2個并聯(lián)機構模塊, 位于下端的并聯(lián)機構2SPS+RPR稱為機構1, 位于上端的并聯(lián)機構2SPS+RRR稱為機構2, 故對輸入?yún)?shù)加下標加以區(qū)分.

將式(56)代入式(53)中, 可得

(57)

(58)

式中:JF為整個混聯(lián)機構的正向雅可比矩陣.

3 六自由度混聯(lián)機構奇異性分析

機構的奇異位形是機構的固有屬性, 是機構在運動過程中的某些特殊的位置, 其對機構的各方面, 如力傳遞性能、關節(jié)控制等, 都有著巨大的影響.串聯(lián)機構的奇異位形是指機構末端失去自由度, 而并聯(lián)機構的奇異位形是指動平臺得到了局部的瞬時自由度, 所以當機構處于奇異位形, 會造成機構自由度變化, 引起機構瞬時可控制關節(jié)數(shù)目減少, 降低了機構的可操作性, 機構失去穩(wěn)定性[20], 導致機構的操作速度會趨于無窮大, 對機構造成不良的沖擊, 機構可能因此被破壞.機構的自由度變化導致在實際使用過程中可操作度變化.機構處于奇異位形時, 機構的雅克比矩陣行列式為零[21].因此, 在設計和應用混聯(lián)機構時, 需對其奇異位形進行分析, 并避開各奇異位形點.

運用代數(shù)法分析混聯(lián)機構的奇異位形, 即通過判別混聯(lián)機構的雅可比矩陣是否滿秩來判定機構是否位于奇異位形.通過求解機構的速度雅可比矩陣, 得到一個6×6的方陣.然后求解此雅可比矩陣的行列式, 再令雅可比矩陣的行列式值為零, 從而求得此非線性方程的根, 得到機構位于奇異位形時的位置與姿態(tài)參數(shù).

代數(shù)法易于理解且使用廣泛, 但是混聯(lián)機構行列式等于零所對應的非線性方程非常復雜, 求解難度很大.由2.3節(jié)求得了雙并聯(lián)型混聯(lián)機構的正向整體雅可比矩陣的符號解, 由于機構的參數(shù)過多, 故對機構的結構參數(shù)用表1中的數(shù)據(jù)代入, 這樣整個行列式就只剩6個參數(shù), 即關于下端并聯(lián)機構模塊的r0、α1、β1和上端并聯(lián)機構模塊的α2、γ2、Z0.

表1 混聯(lián)機構結構參數(shù)

給定雙并聯(lián)型混聯(lián)機構下端3個參數(shù), 求解混聯(lián)機構末端在三維空間中的奇異軌跡的分布, 然后通過MAPLE軟件繪制出此條件下機構的奇異軌跡分布圖.混聯(lián)機構末端在不同的下端并聯(lián)機構模塊的位置姿態(tài)參數(shù)下得到的奇異軌跡分布情況如圖4所示.

為了得到更為一般性的情況下雙并聯(lián)型混聯(lián)機構的奇異軌跡, 任意給定整個機構的3個參數(shù), 從而求解混聯(lián)機構末端在三維空間中的奇異軌跡的分布.給定機構的結構參數(shù)如表1所示, 混聯(lián)機構末端在不同的條件下, 在三維空間中的奇異軌跡的分布如圖5所示.

圖4 混聯(lián)機構處于不同的下端并聯(lián)機構模塊的位置姿態(tài)參數(shù)下奇異軌跡

Fig.4 Singularity trajectory of the hybrid mechanism in the different position and orientation parameters of the lower parallel modules

圖5 混聯(lián)機構處于不同條件下的奇異軌跡

Fig.5 Singularity trajectory of the hybrid mechanism in the different condition

觀察圖4和5的奇異軌跡可以發(fā)現(xiàn), 機構不同模塊給定不同的參數(shù)時, 另3個參數(shù)會有不同的奇異位形軌跡.由圖4可知: 當給定下端機構的參數(shù), 下端姿態(tài)相同,r0越大, 上端3個參數(shù)的奇異軌跡的缺口越往上；當r0相同,α1、β1值越大時, 缺口的變化越平緩.圖5給出了整個混聯(lián)機構任意的3個參數(shù)時的奇異軌跡, 末端給定不同參數(shù)時整個混聯(lián)機構的奇異軌跡非常復雜而且多變.同時在混聯(lián)機構的位形空間中, 奇異點的出現(xiàn)是連續(xù)的一個曲面或者高維曲面.通過對雙并聯(lián)型混聯(lián)機構的奇異位形分析, 可以得到機構在不同狀態(tài)下的奇異位形曲面的分布, 對更加深入地了解此機構的奇異位形有著重要的理論意義.

4 結 語

(1) 本文介紹了雙并聯(lián)型六自由度混聯(lián)機構的結構形式, 根據(jù)六自由度混聯(lián)機構的結構特點及幾何約束, 分別建立了上端、下端2個并聯(lián)機構模塊的速度傳遞雅可比矩陣, 然后通過上下并聯(lián)模塊的運動關系, 將2個獨立并聯(lián)機構模塊的速度耦合和約束關系聯(lián)系起來, 分析了整個混聯(lián)機構的速度傳遞關系, 從而建立了整個混聯(lián)機構整體正向雅可比矩陣.

(2) 通過判定整體雅可比矩陣是否滿秩來判斷機構是否奇異, 分析機構的奇異位形, 通過令雅可比矩陣行列式為零得到了一個非線性方程, 給定機構的結構參數(shù)及其中不同條件下的3個參數(shù), 由MAPLE軟件得到其符號解, 并繪制出混聯(lián)機構的奇異軌跡圖.

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(責任編輯: 徐惠華)

Solution of Jacobian Matrix and Analysis on Singularity Configuration of a 6-DoF Hybrid Mechanism

ZHOUHui1, 3,DINGRui1, 3,CAOHaofeng1, 3,CAOYi1, 2, 3

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 3. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Wuxi 214122, China)

A hybrid mechanism which is in serial connection with two 3-DoF parallel mechanisms with different configuration is presented. The integrated Jacobian matrix is combined by the upper and lower parallel modules, through the motion relationship of the two parallel modules. Jacobian matrix is the basis of analyzing the singularity of mechanism. By making the integral Jacobian matrix determinant of the mechanism equal to zero, the nonlinear equation about the singularity of the mechanism is obtained, which is used to study the singularity configuration of the hybrid mechanism, meanwhile the trajectory of singularity is drawn by MAPLE. The Jacobian matrix of the hybrid mechanism composed of two different parallel modules is established, which has a certain theoretical significance.

hybrid mechanism; Jacobian matrix; parallel module; singularity configuration

1671-0444 (2017)03-0416-09

2016-05-10

國家自然科學基金資助項目(50905075)；機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室開放課題資助項目(MSV201407)；江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室開放課題資助項目(FM-201402)

周 輝(1973—)，女，河北秦皇島人，講師，碩士，研究方向為混聯(lián)機器人機構學理論及機器人技術.E-mail：roboticscenter@qq.com 曹 毅(聯(lián)系人)，男，教授，E-mail：caoyi@jiangnan.edu.cn

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