任增強，李躍忠?，錢永安

(1.東華理工大學機械與電子工程學院,江西南昌330013；2.江西省新能源工藝及裝備工程技術(shù)研究中心（東華理工大學），江西南昌330013；3.江西省計量測試研究院,江西南昌330002)

超聲污水流量測量的數(shù)學建模及影響因素分析

任增強1,2，李躍忠1,2?，錢永安3

(1.東華理工大學機械與電子工程學院,江西南昌330013；2.江西省新能源工藝及裝備工程技術(shù)研究中心（東華理工大學），江西南昌330013；3.江西省計量測試研究院,江西南昌330002)

基于超聲波多普勒效應的原理通過建立多普勒法測量污水的數(shù)學模型，全面分析推導了超聲波發(fā)射、接受過程中的傳導公式，實現(xiàn)了測量多普勒頻移來獲得了流速[1]、流量的數(shù)學公式。在研究多普勒法超聲波傳輸理論的基礎上,根據(jù)聲波動方程的推導分析了超聲波信號在介質(zhì)中的傳播衰減特性，得到超聲信號的傳播衰減特性與介質(zhì)密度、介質(zhì)粘度、顆粒尺寸大小和超聲波頻率有關(guān)。通過使用MATLAB軟件對超聲波在污水模擬介質(zhì)中衰減進行數(shù)值模擬仿真知道，污水的顆粒尺寸、密度和測量使用的超聲波頻率對超聲波回波幅值有重要的影響，很好的印證了理論研究結(jié)果。

污水流量測量;超聲多普勒;超聲波衰減;建模與仿真

在我國經(jīng)濟與工業(yè)技術(shù)迅速發(fā)展的今天，工農(nóng)業(yè)發(fā)展的用水量逐年增長，污水排放現(xiàn)象也愈來愈受到重視，環(huán)保部門也需要實時監(jiān)測污水等流體的流量。同時,工業(yè)生產(chǎn)中,如冶金、石油、化工等領域都需要嚴格地控制流體流量，因此對流量計[2]的計量精度和適用條件提出了更高的要求以滿足工業(yè)需求。而對于特殊污水介質(zhì)的流量測量顯得尤為重要，本文就多普勒方法測量污水的數(shù)學建模及其傳播特性的影響因素進行了全面的分析，通過數(shù)值模擬仿真驗證理論研究成果得出結(jié)論。完善了理論研究和數(shù)學建模，全面分析了多普勒方法測量流體流速和流量的理論研究。

1 連續(xù)波多普勒法測量機理建模

圖1為連續(xù)波多普勒法測量機理[3]示意圖，在污水管道兩側(cè)相對應的位置上安裝超聲波發(fā)射換能器和超聲波接收換能器，管道中流動著攜帶著散射體（固體顆粒、氣泡等）的被測流體，超聲波發(fā)射換能器發(fā)射超聲波信號，經(jīng)介質(zhì)中的散射體反射后再由超聲波接收換能器接受信號。發(fā)射換能器發(fā)射的一定頻率的超聲波信號和接受到的超聲波信號在圖示中信息窗的位置進行疊加，而有效的多普勒信息就體現(xiàn)在該信息窗口處。

圖1 連續(xù)波多普勒法測量機理示意圖

1.1 超聲波發(fā)射過程數(shù)學模型

如圖2所示，發(fā)射換能器Q1是相對靜止的，接收信號的散射體P以速度u運動，發(fā)射換能器發(fā)射的聲源頻率為 fs，聲源Q1所發(fā)出的聲振動傳播至P1需要經(jīng)過時間t1，傳播至P2需要經(jīng)過時間t2，根據(jù)傳播特性的實際情形散射體P行至P1時接收到的聲波事實上是其行至時聲源Q1所發(fā)出的聲振動；同理，散射體P行至P2時接收到聲波事實上是其行至處時聲源所發(fā)出的聲振動。假設散射體P從運動到P2經(jīng)過時間Δt，由此得出以下公式：

圖2 發(fā)射過程數(shù)學模型示意圖

根據(jù)分析得到發(fā)射換能器發(fā)出的聲振動的持續(xù)時間：

散射體P在時間Δt內(nèi)接收到聲源發(fā)射換能器Q1的總振動次數(shù)為 fsΔt'，由此可以得到散射體P接收到的聲振動頻率為：

1.2 超聲波接受過程數(shù)學模型

圖3 接受過程數(shù)學模型示意圖

如圖3所示，接受換能器Q2是相對靜止的，發(fā)射信號的散射體P以速度u運動，接受換能器接受到的頻率為 fr，散射體P在P1處所反射的聲振動傳播到接受換能器Q2需要經(jīng)過時間t1，經(jīng)過時間Δt后散射體P運動至P2處，散射體P在R1處所反射的聲振動傳播至接受換能器Q2需要經(jīng)過時間t1，由此得出以下公式：

設聲源由P1到P2的過程中Q2接收到的聲振動的持續(xù)時間：

接收換能器Q2在時間Δt'內(nèi)接收到聲源P的總振動次數(shù)為 f'Δt，由此得到接受換能器接收到的聲振動頻率為：

1.3 流速、流量公式的推導

根據(jù)上述內(nèi)容得到懸浮顆粒接收到發(fā)射換能器的超聲波信號頻率如下式：

接受換能器接收到散射顆粒反射的超聲波信號頻率如下式：

超聲波多普勒頻移為：

由于超聲波的速度c遠遠大于流體的流速u，因此上式可以化簡為：

由此可以反解出流體的流速為：

若設被測管道流通截面積為A，則可以得到流體的體積流量Q為：

通過以上推導可知，當被測流體、流量計參數(shù)及管道條件不變時，多普勒頻移值與流體流量成正比，所以通過測量多普勒頻差，能夠獲得流體的流速u值和流量Q值[5]。

2 超聲波衰減特性影響分析

超聲波在介質(zhì)中的傳輸一般都是以平面波的形式進行的,也就是說振幅和相位在傳輸?shù)恼麄€過程中都保持著不變[6]。超聲波在介質(zhì)中傳播時，由于介質(zhì)對超聲波的粘滯、熱傳導、散射以及超聲波束自身的擴散作用，使其聲能在傳輸過程中逐漸減弱的現(xiàn)象稱之為聲衰減。

超聲波衰減分成下面四種主要形式：

(1)擴散衰減是由于超聲波波束擴散而造成的；

(2)粘滯衰減是由于介質(zhì)的粘滯性作用而造成的；

(3)熱傳導衰減是由于介質(zhì)的其他原因使聲能轉(zhuǎn)換為熱能而引起的；

(4)散射衰減由于介質(zhì)中的固體顆粒對超聲波的散射而造成的。

擴散衰減[7]是由聲源的自身的特性而引起，我們不做研究。而粘滯衰減、熱傳導衰減[8]和散射衰減主要取決于介質(zhì)的特性，本文對這三類衰減[9]與幅值的關(guān)系進行研究、討論。

根據(jù)聲學理論知，粘滯衰減、熱傳導衰減和散射衰減的表達式都可以用統(tǒng)一的指數(shù)方程式來表示，即：

U=U0e-αL，

其中，U0為超聲波的初始幅值；U為超聲波的回波幅值；L為超聲波在介質(zhì)中傳播的距離；a為總的衰減系數(shù)。

將上式整理為指數(shù)形式為：

由此方程式來更加直觀的分析研究衰減與幅值的關(guān)系。

由于粘滯衰減系數(shù)、熱傳導衰減系數(shù)和散射衰減系數(shù)三者之間是相互獨立、不相干的所以總的衰減系數(shù)可以表示為粘滯衰減系數(shù)αη、熱傳導衰減系數(shù)αξ和散射衰減系數(shù)αs之和，即：

α=?η+αξ+αs。

2.1 超聲波在介質(zhì)中傳播的粘滯衰減模擬仿真

由波動方程[10]的推導條件推導得到粘滯衰減系數(shù)的公式為：

其中，η介質(zhì)的粘度，單位為Pa?s；f超聲波的頻率，單位為Hz；ρ非均勻介質(zhì)的密度，單位為Kg/m3；c聲速，單位為 m/s。

假設超聲波在介質(zhì)中傳播的聲速為1800 m/s，非均勻介質(zhì)的密度為1200 Kg/m3，則其粘滯衰減系數(shù)與超聲波頻率、粘度之間的關(guān)系曲線如圖4所示。

圖4 超聲波頻率與聲粘滯衰減系數(shù)的關(guān)系

假設超聲波在介質(zhì)中的聲速為1800 m/s，超聲波頻率為700 KHz，則其粘滯衰減系數(shù)與介質(zhì)密度之間的關(guān)系曲線如圖5所示。

圖5 介質(zhì)密度與聲粘滯衰減系數(shù)的關(guān)系

2.2 超聲波在介質(zhì)中傳播的熱傳導衰減模擬仿真

基爾霍夫?qū)С鼋橘|(zhì)的熱傳導引起的聲衰減系數(shù)為：

其中，χ熱傳導系數(shù)，單位為W/m?℃；cv介質(zhì)的定容比熱，單位為J/kg?℃；cp介質(zhì)的定壓比熱，單位為J/kg?℃；cv=cp/k，k為介質(zhì)的定壓熱容比率。

假設熱傳導系數(shù)為0.65 W/m?℃，超聲波在介質(zhì)中的聲速為1800 m/s，定壓比熱cp為11000 J/kg?℃，定壓熱容比率k為1.30，則定容比熱cv=cp/k=8462J/kg?℃。介質(zhì)密度、超聲波頻率與熱傳導衰減系數(shù)的關(guān)系分別如圖6、圖7所示。

圖6 介質(zhì)密度與熱傳導衰減系數(shù)的關(guān)系

圖7 超聲頻率與熱傳導衰減系數(shù)的關(guān)系

2.3 超聲波在介質(zhì)中傳播的散射衰減模擬仿真

散射衰減系數(shù)[11]的公式為：

其中，r散射體顆粒粒徑，單位為m；f超聲波的頻率，單位為Hz；c聲速，單位為m/s。

假設同樣的模擬介質(zhì)，超聲波在介質(zhì)中的聲速為1800 m/s，則超聲波頻率、介質(zhì)中顆粒粒徑分別與散射衰減系數(shù)之間的關(guān)系曲線如圖8、圖9所示。

圖8 超聲波頻率與聲散射衰減系數(shù)的關(guān)系

圖9 介質(zhì)顆粒粒徑與聲散射衰減系數(shù)的關(guān)系

3 仿真結(jié)果分析

通過上述數(shù)值模擬的仿真，可以總結(jié)得出以下結(jié)論：

(1)超聲波頻率范圍在500～1MHz范圍內(nèi)，頻率增大，粘滯衰減系數(shù)、熱傳導衰減系數(shù)和散射衰減系數(shù)都會增大，進而接收到的超聲波信號強度變小。

(2)介質(zhì)的粘度小于0.025 Pa?s時，粘度越大，聲粘滯衰減系數(shù)增大，換能器接收到的超聲波信號幅值變小。

(3)介質(zhì)的密度在1～2g/cm3范圍時，隨著介質(zhì)密度的增加，聲粘滯衰減系數(shù)和熱傳導衰減系數(shù)都減小，進而接收到的超聲波信號強度變大。

(4介質(zhì)中的顆粒粒徑在10～200 um范圍時,顆粒尺寸越大,其對超聲波的散射能力就越強，聲散射衰減系數(shù)越大，進而接收到的信號幅值就越弱。

超聲波在介質(zhì)中傳播時,介質(zhì)的各個聲學特性對超聲波信號幅值有著非常重要的影響。而粘滯衰減、熱傳導衰減、散射衰減這三者之間所占的比重可以通過以下條件的模擬數(shù)值進行計算，得出結(jié)果如圖10所示。

假設超聲波在介質(zhì)中的聲速為1800 m/s，介質(zhì)粘度15 mPa?s，介質(zhì)密度為1200 Kg/m3，超聲波頻率為500 KHz，熱傳導系數(shù)為0.65 W/m?℃，定壓比熱cp為11000 J/kg?℃，定熱比率k為1.30，則定容比熱cv=cp/k=8462J/kg?℃，介質(zhì)中顆粒半徑為80 um。

圖10 超聲波衰減影響比重

通過對仿真的結(jié)果分析得出超聲波的散射衰減在三類衰減中的影響比重最大，熱傳導衰減相比而言，影響微乎其微，所以散射對于回波信號的幅值的影響最為顯著。

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Analysis of Mathematical Modeling and Influence Factors of Ultrasonic Sewage Flow Measurement

REN Zeng-qiang1,2,LI Yue-zhong1,2?,QIAN Yong-an3
(1.School of Mechanical and Electronic Engineering,East China University of Technology,Nanchang Jiangxi,330013；2.Jiangxi Province Engineering Research Center of New Energy Technology and Equipment(East China University of Technology),Nanchang Jiangxi,330013;3.Jiangxi Institute of Metrology&Testing,Nanchang Jiangxi,330002)

Based on the principle of ultrasonic doppler effect,the doppler measurement mathematical model of sewage was built.The ultrasonic transmission and reception in the process of conduction formula was analyzed and deduced.The mathematical formula of flow velocity and flow rate can obtain by the doppler frequency shift measurement.On the basis of studying the ultrasonic propagation attenuation characteristic theory in such special medium for sewage,the attenuation of propagation property is simulated by using MATLAB simulation software.The wave equation of ultrasonic signals spreading in medium water is deduced on the basis of doppler ultrasonic transmission theory.According to the acoustic wave equation,they analyses the ultrasonic signal transmission attenuation characteristic in the medium,and know that the ultrasonic signal transmission attenuation characteristic in the medium is relative to medium density,medium viscosity,particle size and ultrasonic frequency.By using the MATLAB software simulating sewage medium ultrasonic attenuation characteristic,they know that the particle size of sewage and the ultrasonic frequency has an important influence on the ultrasonic amplitude value.The theoretical research results are confirmed by the conclusion of numerical simulation.

sewage flow measurement;ultrasonic doppler;ultrasonic attenuation;modeling and simulating

TH

A

1674-0874(2017)02-0021-04

〔責任編輯 高彩云〕

2016-12-08

國家自然科學基金[61663001]；“江西省新能源工藝及裝備工程技術(shù)研究中心”開放基金項目[JXNE2015-06]；江西省科技廳科研院所基礎設施配套項目[2015BBA13046]

任增強（1989-），男，山西呂梁人，碩士，研究方向：電路系統(tǒng)設計與智能化設備。?李躍忠，男，教授，通信作者。