施曉春，劉東，單麗君

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)

修形對機車牽引齒輪動態(tài)特性影響

施曉春，劉東，單麗君

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)

以某機車牽引齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，采用有限元方法模擬齒輪實際工況下的嚙合狀態(tài)，根據(jù)模型分析結果對齒輪進行修形，確定出齒輪修形的最佳修形量；計算修形前后齒輪系統(tǒng)的時變嚙合剛度和接觸線長度，計算結果表明二者都是呈周期性變化的，且正相關；建立了齒輪系統(tǒng)動力學數(shù)學模型，對比分析了修形前后齒輪系統(tǒng)動態(tài)響應，修形后齒輪系統(tǒng)的振動明顯降低，說明齒輪傳動更平穩(wěn)，修形效果良好.

齒輪修形；時變嚙合剛度；動力學響應

0 引言

機車牽引齒輪是機車行走機構的核心部件，其性能直接影響到機車運行的穩(wěn)定和安全性.隨著高速鐵路時代到來，機車牽引功率越來越大，牽引齒輪的轉速和載荷也相應提高，齒輪系統(tǒng)工作時不僅面臨著更加嚴重的振動和噪聲，其工作壽命也受到威脅.為增強機車牽引齒輪傳動的平穩(wěn)性，可采用的方法是盡量提高齒輪制造和安裝精度，但同時增加了齒輪的制造成本，并且受到當前制造設備和加工工藝的限制.為解決這一難題，還可對牽引齒輪進行全齒面修形.

本文以某機車牽引齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，采用有限元的方法模擬齒輪實際工況下的嚙合狀態(tài)，根據(jù)輪齒間的接觸應力和靜變形分析結果，對牽引齒輪進行齒面修形，確定合適的修形量，并采用有限元方法，擬合修形前、后齒輪系統(tǒng)的時變嚙合剛度，分析了修形前、后齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應，對比驗證了修形后齒輪傳動更佳的平穩(wěn)性.

1 齒輪傳動的修形

文中所采用機車牽引齒輪參數(shù)如下：主、從動輪齒數(shù)z1=16，z2=91，螺旋角β=7°，法向模數(shù)mn=9.48，壓力角αn=22.5°，齒寬b=127 mm.模擬其啟動工況進行分析，主動輪扭矩為15 800 N·m.

1.1 齒廓修形量的確定

一對齒輪副工作過程是單、雙齒嚙合區(qū)的交替過程，在二者過渡過程中出現(xiàn)載荷突變，會導致輪齒彈性變形增加，基節(jié)改變，造成嚙入嚙出沖擊.要消除這種現(xiàn)象，并減小振動和噪聲，主要的方法就是齒廓修形.

牽引齒輪長期處于滿載狀態(tài)，同時在高速重載條件下，為防止齒根處產(chǎn)生過大的彎曲應力，故此在大小齒輪的齒頂分別采用長修形，即由嚙合起始點或嚙合終點到單齒嚙合區(qū)的起始點或終點.并根據(jù)接觸分析結果，確定進入位置即小齒輪齒頂最大修形量為0.058 mm，退出位置即大齒輪齒頂修形量為0.06 mm[1].

齒輪在高速重載情況下工作，采用明川，哥川推薦的修形曲線:

(1)

式中，Δmax為最大修形量；L為修形長度；x為修形點在修形曲線上的位置；其余參數(shù)及含義同前.建立齒廓修形后三維有限元模型[2].

1.2 齒向修形量的確定

齒輪傳動系統(tǒng)在載荷的作用下將會產(chǎn)生輪齒的彈性變形、剪切變形及齒面接觸變形，導致載荷沿齒寬方向分布不均勻.齒向修形的目的就是減小變形對載荷分布的影響，改善齒輪的偏載情況.

本文在小齒輪上進行齒向修形，提取有限元接觸分析結果，提取小齒輪軸線的變形曲線，以此為齒向修形依據(jù)，根據(jù)反變形原理，結合加工特點，將修形曲線設計成為近似的鼓形齒.

圖1 齒向修形示意圖

(2)

式中：K為待修形輪齒齒向方向任意一點.Rk為采用鼓形齒修形時的修形半徑；ΔL為最大修形量，B為齒寬；ΔW為鼓形偏心距；Lk為任意點沿嚙合線方向的修形量；見圖1.由接觸分析結果可知，設計擬合鼓形齒半徑74 000 mm，最大鼓形量為0.112 1 mm，由于小齒輪為懸臂布置，為取得更好的修形效果，故鼓形齒中心位置遠離電機端，其偏心距ΔW由計算得到21.7 mm.

1.3 全齒修形有限元模型

單一的齒廓修形或是齒向修形無法滿足高速、重載機車牽引齒輪的性能要求，需要對輪齒進行全齒修形.建立全齒修形前后的有限元模型，如圖2所示.可以看出，修形后齒輪在端面出現(xiàn)明顯間隙，二者不再直接接觸.

圖2 全齒修形前后對比圖

對修形前后齒輪系統(tǒng)有限元模型加約束載荷分析[3- 4]，主動輪接觸應力分析結果如圖3.

圖3 修形前后主動輪接觸應力云圖

修形后主動輪的接觸應力由512 MPa降低到455 MPa，并且原偏向于電機方向的偏載消失，齒向載荷分布更均勻，最大載荷位置出現(xiàn)在輪齒中心，向輪齒兩側依次減小，修形效果較好.

2 修形前后的時變嚙合剛度計算

由于齒輪重合度一般不是整數(shù)，齒輪嚙合過程中，同時參與嚙合的齒對數(shù)隨時間作周期性變化，每對參與嚙合的輪齒產(chǎn)生的彈性變形也作周期性變化，此外，輪齒在從齒頂?shù)烬X根的嚙合過程中，彈性變形也不相同，從而引起輪齒嚙合剛度隨時間作周期性變化，整個齒輪系統(tǒng)成為一個非線性時變剛度系統(tǒng).

2.1 接觸線總長度計算

在斜齒輪嚙合過程中，隨著齒輪的轉動，實際處于嚙合狀態(tài)的接觸線總長度隨著時間變化而變化.實際接觸線越長，載荷能更均勻的分布在齒面上，輪齒由于載荷所產(chǎn)生的變形更小，此時輪齒的嚙合剛度更大.因此，計算斜齒輪任意時刻的接觸線總長度對分析齒輪時變嚙合剛度意義重大.

圖4 斜齒輪嚙合過程端面示意圖

以端面重合度為標準， 齒輪嚙合過程如圖4所示，N1N2表示理論嚙合線段，AD為實際嚙合線線段，即一對輪齒從開始進入嚙合到退出嚙合全過程；齒輪在BC段工作過程中只有N對輪齒嚙合，即為N齒嚙合區(qū)，與之相對的AB和CD兩段過程則中有N+1對輪齒嚙合，為N+1齒嚙合區(qū)(N為齒輪副總重合度數(shù)值εγ的整數(shù)部分).本文中，由于螺旋角數(shù)值較小，齒輪副總重合度系數(shù)值εγ<2，故嚙合分為單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū).

在空間展開后，嚙合線段AD則表示一對齒輪的嚙合平面，如圖5中ADEF所示，以Ln，Ln+1，Ln+2，Ln+3代表不同位置的接觸線.在齒輪傳動過程中，嚙合平面保持不動，接觸線向下(或向上)移動，處于嚙合平面內(nèi)的接觸線(圖中實線部分) 表示實際嚙合狀態(tài).可推得，在一個嚙合周期內(nèi)，接觸線總長度L的計算公式為：

(3)

圖5 接觸線長度計算示意圖

由式(3)計算得到的接觸線總長度在圖6中給出.

圖6 嚙合剛度與接觸線總長度

2.2 時變嚙合剛度計算結果

基于修形前、后機車牽引齒輪有限元模型，在一個嚙合周期內(nèi)不同轉角下分別加載求解后，得到齒輪在一個嚙合周期內(nèi)不同轉角下輪齒的變形量，根據(jù)輪齒剛度計算式(4)計算一個嚙合周期內(nèi)不同轉角下嚙合剛度[5].

(4)

式中：Fn是作用于齒廓的法向力；T是主動輪轉矩；rb是基圓半徑；B是接觸齒寬；δ是輪齒沿嚙合線變形.

根據(jù)有限元模型求得的變形量，并帶入齒輪各參數(shù)，可擬合出嚙合剛度kn的變化曲線，如圖7所示[6].可以看出，修形后輪齒嚙合剛度波動變得更加平緩，幅值也略有降低.

圖7 修形前后齒輪嚙合剛度

由圖6可以看出接觸線長度與齒輪的嚙合剛度都是呈周期性變化的，沒有突變，二者是正相關的.

根據(jù)齒輪時變嚙合剛度曲線，擬合出時變嚙合剛度計算表達式為[7]：

(5)

式中,km為平均嚙合剛度；ω0=2πz1/T為齒輪嚙合頻率；an，bn為傅立葉級數(shù)展開系數(shù)，n=1,2,…,N.由于圖6所得剛度曲線波形接近正弦函數(shù)，因此只需取一階分量進行計算即可.

3 齒輪系統(tǒng)動力學模型的建立

3.1 物理模型

以已知某型號機車牽引齒輪的參數(shù)為例建立了齒輪系統(tǒng)的彎-扭-軸耦合振動分析模型.機車牽引齒輪副的動力學振動分析模型如圖8所示[8].

圖8 斜齒輪系統(tǒng)動力學分析模型

在圖8所示的分析模型中，各自由度方向的運動規(guī)律如下：

彎曲振動：由x，y方向自由度描述；

扭轉振動：由θz方向自由度描述；

軸向振動：由z方向自由度描述.

3.2 數(shù)學模型

系統(tǒng)的廣義位移矩陣{δ}可表示為

(6)

式中，xi,yi,zi,θiz(i=1,2)分別為主、從動輪中心點O1,O2在x,y,z方向的平移振動位移和轉角振動位移.

模型建立不考慮輪齒間的齒面摩擦，根據(jù)建立的動力學模型推導出推導出系統(tǒng)的振動微分方程為:

(7)

式中：Mi(i=1,2)為主、從動齒輪質量；Iij(i=1,2;j=y,z)為主、從動齒輪轉動慣量；cij(i=1,2;j=x,y,z)為主、從動齒輪兩端支承阻尼；kij(i=1,2;j=x,y,z)為主、從動齒輪兩端支撐剛度；T1，T2齒輪副驅動轉矩和負載轉矩[9].

模型中質量和轉動慣量由齒輪系統(tǒng)參數(shù)計算得到，齒輪系統(tǒng)嚙合剛度由式(5)計算，齒輪軸的軸向和彎曲剛度基于有限元模型計算得出，齒輪軸的扭轉振動阻尼和齒輪的嚙合阻尼按照經(jīng)驗公式計算[10].

4 修形前后齒輪系統(tǒng)響應分析

齒輪修形前后齒輪系統(tǒng)主要的參數(shù)變化體現(xiàn)在時變嚙合剛度上，為研究修形對齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，以Matlab軟件作為開發(fā)工具，采用定步長Runge-Kutta數(shù)值方法對其振動微分方程進行求解，得到系統(tǒng)各自由度穩(wěn)態(tài)響應.限于篇幅，僅給出啟動工況下，修形前后主、從動齒輪系統(tǒng)垂直方向的時間歷程圖、相平面圖、poincare截面及頻譜圖對比圖，其余不再一一列出，如圖9～10所示.

圖9 未修形主動輪垂直方向仿真結果

圖10 修形后主動輪垂直方向仿真結果

由垂直方向的仿真結果可以看出，該方向的振動幅值在沒有修形時可達到0.48 mm，垂直方向的振動劇烈，這是由于垂直方向除了有嚙合力外還有齒輪和車軸的重力，并且整個車體的質量均加載在該方向.且啟動工況下，系統(tǒng)嚙合頻率為122 Hz，與該系統(tǒng)固有頻率112 Hz非常接近，故此時系統(tǒng)振動非常激烈，幅值可達到其他工況的3倍以上，故取該時刻的運動進行分析頗具代表性.

而修形后主動輪垂直方向的仿真結果可以看出，振動幅值由0.48 mm降低到0.35 mm左右；振動更加平緩一些.由相圖和龐加萊圖可看出，修形后主動輪的振動速度及范圍明顯下降，且運動更加集中，運動規(guī)律更加明顯.頻譜圖則顯示出，系統(tǒng)的振動能量同時下降.修形有效的降低了齒輪系統(tǒng)振動.

5 結論

(1)根據(jù)齒輪系統(tǒng)有限元接觸分析計算結果，確定了最佳修形量，小齒輪齒頂最大修形量為0.058 mm，大齒輪齒頂修形量為0.06 mm，齒向修形最大鼓形量為0.112 1 mm.根據(jù)修形量對有限元模型進行全齒面修形；

(2)采用有限元方法，計算了一個嚙合周期內(nèi)修形前、后齒輪系統(tǒng)時變嚙合剛度，結果表明修形后時變嚙合剛度幅值降低，剛度波動減小、沒有明顯突變，任意時刻嚙合剛度與接觸線總長度正相關，接觸線越長，嚙合剛度越大；

(3)齒輪系統(tǒng)在水平和垂直方向的振動幅值處于同一量級，但由于垂直方向負載較重，成為齒輪系統(tǒng)的主要振動來源.其振動幅值和速度均高于其他方向，頻譜分析也顯示該方向對應頻率為122Hz，為齒輪嚙合頻率，即為系統(tǒng)振動主要因素；

(4)修形后齒輪系統(tǒng)的振動幅值、振動速度、振動能量均明顯下降，齒輪傳動平穩(wěn)，進一步證明所確定的修形量是最優(yōu)的.

[1]吳勇軍,王建軍,韓勤鍇,等. 基于接觸有限元分析的斜齒輪齒廓修形與實驗[J]. 航空動力學報, 2011(2):409- 415.

[2]鄭建輝，施曉春，何衛(wèi)東. 基于APDL 的機車牽引齒輪齒廓修形分析 [J].大連交通大學學報，2015,36(6):15-19.

[3]鮑君華,何衛(wèi)東,李力行.高速機車牽引齒輪的參數(shù)化實體建模及其動力學分析[J]. 機械傳動, 2009, 33(5): 70-75.

[4]何衛(wèi)東,王瑩吉,鮑君華.電力機車傳動系統(tǒng)支撐結構有限元分析[J].大連交通大學學報,2011,32(5):42- 46.

[5]陳思雨,唐進元,王志偉,等. 修形對齒輪系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律 [J]. 機械工程學報，2014,50(13):59- 64.

[6]卜忠紅,劉更,吳立言.斜齒輪嚙合剛度變化規(guī)律研究.[J] 振動與沖擊,2010,25(4):957-962.

[7]KAHRAMAN A, SINGH R. Interactions between time-varying mesh stiffness and clearance non-linearities in a geared system [J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 146(1)：135-156.

[8]李潤方,王建軍. 齒輪系統(tǒng)動力學—振動、沖擊、噪聲 [M]. 北京:科學出版社,1997.

[9]UMEZAWA K. Vibration of power transmission helical gear with narrow face width[J].ASME Paper, 1984, 84：159.

[10]魏靜，孫清朝，孫偉，秦大同，朱才朝，朱萬剛，郭愛貴. 高速機車牽引齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性及非線性因素影響研究 [J]. 振動與沖擊,2012,31(17):38- 43.

Effect of Modification on Dynamic Characteristics of Locomotive Gear System

SHI Xiaochun, LIU Dong, SHAN Lijun

(School of Mechanical Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028,China)

Taking a locomotive traction gear transmission system as the research object, finite element method is used to simulate the meshing state of gear under actual working conditions. By modifying the tooth profile according to the results of contact model analysis, the optimal amount of modification is determined. Then, the time-varying meshing stiffness of the gear system and length of contact line are calculated before and after modification. The calculation results show that there are periodic and positive correlation. The dynamic mathematical model of gear system is established, the dynamic meshing performance of the gear system is compared before and after modification, and the vibration of gear system is greafly reduced. It shows that the gear transmission is more stable with good modification effect.

gear modification; time-varying mesh stiffness; dynamic response

1673- 9590(2017)04- 0110- 06

2016-03-16

遼寧省重大裝備制造協(xié)同中心資助項目

施曉春(1974-)，女，副教授，碩士，主要從事機械設計及理論的研究E- mail:shilikang@sina.com.

A