栗永非，楊彬彬

(新鄉(xiāng)職業(yè)技術學院，河南 新鄉(xiāng) 453006)

滾動軸承的性能指標包括摩擦力矩、振動和噪聲等，對軸承的運行具有重要影響[1-6]，因此滾動軸承性能時間序列的演化問題成為了研究的熱點[7-8]。

目前，傳統(tǒng)的假設檢驗是以已知大量采樣數(shù)據(jù)和概率分布為前提的，對于概率分布未知、趨勢未知和小樣本的情況，基于經(jīng)典統(tǒng)計理論的假設檢驗可能是無效的。為此，以模糊系統(tǒng)的基本原理為依據(jù)，提出改進的模糊關系，建立模糊假設檢驗模型，提出系統(tǒng)屬性模糊假設檢驗的準則、否定域與模糊置信水平，采用Monte Carlo仿真和試驗研究驗證該模型的有效性。

1 模糊假設檢驗模型

1.1 基本原理

滾動軸承性能參數(shù)的時間序列為

X=(x(1),x(2),…,x(t),…,x(T));

T>5，X?R，

(1)

式中:T為數(shù)據(jù)的個數(shù)；R為模糊集。

為評估滾動軸承質量的歷史演變，從X中任意取Xi和Xj，可得

Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(k),…,xi(K));

Xi?Ui;i=1,2,…，

(2)

Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(k),…,xj(K));

Xj?Uj;j=1,2,…;k=1,2,…,K;2

(3)

式中：k為新數(shù)據(jù)序列的個數(shù)；Ui為Xi的屬性集；Uj為Xj的屬性集。

由于Xi和Xj是關于下標i和j的時間序列，能夠從小到大形成連續(xù)的有序對(X1,X2), (X2,X3), (X3,X4)，…，因此，可以通過識別這些有序對的多樣性實現(xiàn)對滾動軸承質量演變的有效評價。為便于敘述，i和j統(tǒng)一用h表示，則(2)式和(3)式表示為

Xh=(xh(1),xh(2),…,xh(k),…,xh(K));

k=1,2，…,K;Xh?Uh;h=i,j，

(4)

式中：Xh為K個小樣本；Uh為隨機的概率分布。在概率分布及趨勢規(guī)律未知的情況下，研究xi和xj是否具有相同的屬性。

1.2 改進的模糊關系

在模糊集理論[9-10]中,通過隸屬函數(shù)研究模糊實體從真到假或從假到真的轉變規(guī)律?；诜π畔⒌哪：僭O檢驗，其否定域可以通過對數(shù)據(jù)信息轉折點確立。

設定參考序列為

X0=(x0(1),x0(2),…,x0(k),…,x0(K))，

(5)

x0(k)=xi(1)，

(6)

以序列Xi中xi(1) 作為參考點或演化的起點。

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，定義隸屬函數(shù)為

γ0h(k,ξ)=

0<γ0h(k,ξ)≤1，

(7)

式中：ξ為分辨系數(shù)，ξ∈[0,1]。

隸屬度為

(8)

隸屬差為

dij(ξ)=|γ0i(ξ)-γ0j(ξ)| ，

(9)

式中：dij(ξ)為關于ξ的函數(shù)且dij(ξ)∈[0,1]。由于很難區(qū)分時間序列屬性的量變和質變，且量變和質變的轉折點是不確定的，因此給定一個重要參數(shù)

(10)

式中：ξ*為最優(yōu)分辨系數(shù)；dij max為最優(yōu)隸屬度的絕對差。

當dij=dij max時，時間序列Xi和Xj的差異最大，若仍然存在(Xi,Xj)?U(U為屬性集)，則拒絕I型錯誤[9-10]。

為了深入研究Xi和Xj之間的屬性變化，根據(jù)模糊集合理論，模糊關系定義為

(11)

rij∈[0,1]，為等價系數(shù)(或Xi和Xj的隸屬度關系)，可由以下模型得到

(12)

式中：η為權重系數(shù)。

由(9)～(12)式可知i=j,rij=1。 這表明R具有自反性。此外，R具有對稱性和傳遞性，因此，R是一個等價關系。R是對模糊關系的改進，被稱為改進等價關系(空間)。

1.3 經(jīng)驗置信水平

為解決模糊集理論的問題，采用權重來定義經(jīng)驗置信水平。

考慮到dij max∈[0,η]，由(12)式得

dij max=(1-rij)η，

(13)

使rij=λ，定義經(jīng)驗置信水平為

PE=PE(η)=(1-λη)×100%。

(14)

若給定PE，則

(15)

1.4 模糊假設檢驗準則

若

rij≥λ,

(16)

則Xi和Xj屬性相同，即(Xi,Xj)?U；

若

rij<λ,

(17)

則Xi和Xj屬性不同，即(Xi,Xj)?U。

該準則稱為基于乏信息的時間序列模糊假設檢驗準則。

關于集合U的特征函數(shù)為

(18)

式中：λ*為最優(yōu)水平。

在經(jīng)驗置信水平PE下，若Xi和Xj關系密切，則用1表示；若不密切，則用0表示。

給定最優(yōu)水平

λ*=0.5 ，

(19)

在轉折點，rij=0.5,則由(13)式得dij max=0.5η，該點即dij max的臨界點。

由(10)～(19)式可知，經(jīng)驗置信水平引入了分解定理。

1.5 否定域

定義原(零)假設H0和備擇假設H1

H0： (Xi,Xj)?U，

(20)

H1： (Xi,Xj)?U，

(21)

則(18)式是模糊假設檢驗的否定域。

設顯著水平α∈[0,1]，有

PE=(1-α)×100%，

(22)

最常用的顯著水平為0.05。

2 經(jīng)驗置信水平的Monte Carlo仿真

使時間序列T=500，借助計算機仿真系統(tǒng)，生成符合正態(tài)分布的10個數(shù)據(jù)序列(其中數(shù)學期望E=0，標準偏差s=0.01)，即獲得Xi和Xj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m;m=10)。那么，可以計算出最大差值，結果見表1。

表1 正態(tài)分布的最大差值(T=500)

表1中，有55個數(shù)據(jù)(不包括主對角線的元素)，即N=55。通過0.01的間隔寬度，將這些數(shù)據(jù)分為8組，可以得到每組數(shù)據(jù)的數(shù)量wl(l=1,2,…,8),見表2。

表2 正態(tài)分布的相關結果(T=500)

設頻率為

(23)

定義經(jīng)驗概率PT為

(24)

當PT=95%時，這個調查的效率是非常明顯的。表2中，第6組數(shù)據(jù)的中位數(shù)δ6=δ=0.055 ，PT=96.4%>95%。由(12)，(14)式可得dij max=δ=0 .055，PE=94.5%，相應地，通過(14)式可以得到η=0.11。結果見表3。

表3 各種分布的數(shù)據(jù)和結果(T=500)

采用同樣的方法，進行瑞利分布、三角分布和均勻分布的Monte Carlo仿真，結果見表3。對于這4種分布，當PT=96.4%時，PE在93.5%～97.5%之間變動，PE的平均值為95.4%，與PT值很接近，差值不超過1%。因此，基于Monte Carlo仿真法獲得的PE值一致，證明了(14)式的正確性。

另外，一般置信水平為PE=95%,相應地η=0.1。

通過賦予水平λ新的意義，可應用文中定義的經(jīng)驗置信水平來解決置信水平的計算問題，而采用模糊集合理論和統(tǒng)計理論都無法解決。

3 滾動軸承性能時間序列的試驗研究

研究涉及滾動軸承的2個性能參數(shù)，即噪聲和摩擦力矩。為了驗證提出模型的正確性，給定2個檢驗統(tǒng)計量

(25)

(26)

式中：Xm為平均值；s為標準差。這2個檢驗統(tǒng)計量的變化可認為是估計時間序列的演化，變化越大演化越嚴重,反之亦然。

3.1 滾動軸承噪聲的演化評估

試驗軸承為圓錐滾子軸承30204，試驗轉速為1 800 r/min，加載60 N的軸向載荷，隨機抽取100套軸承采用傳聲器4165測量軸承的噪聲時間序列，測得100個時間序列，如圖1所示。

圖1 圓錐滾子軸承的噪聲時間序列

描述1：從表面上看，對于噪聲時間序列X，當1≤t≤10時，噪聲處于低且平穩(wěn)過程，當10

采用提出的模糊假設檢驗模型來評估演化歷史，為了研究方便,將時間序列X分成子序列

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(10));1≤t≤10,

X2=(x2(1),x2(2),…,x2(10));11≤t≤20,

X3=(x3(1),x3(2),…,x2(40));21≤t≤60,

X4=(x4(1),x4(2),…,x4(40));61≤t≤100。

令α=0.05，則PE=95%，η=0.1。檢驗結果如下：

檢驗1)H0：(X1,X2)?U對H1：(X1,X2)?U。

考慮到X1和X2的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=40 dB,ξ*=0.250 1,γ01(ξ*)=0.547 3,γ02(ξ*)=0.242 2,d12max=0.305 1,r12=r21=0。顯然，r12=0<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化(當1≤t≤20時，噪聲處于非平穩(wěn)過程)，與描述1一致。

檢驗2)H0：(X2,X3)?U對H1：(X2,X3)?U。

考慮到X2和X3的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=49 dB,ξ*=0.100 1,γ03(ξ*)=0.348 2,γ04(ξ*)=0.312 9,d34max=0.035 3,r34=r43=0.647。顯然，r43=0.647>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時間序列從X2到X3沒有發(fā)生重大變化(當21≤t≤60時，噪聲處于平穩(wěn)過程，與描述1一致。

檢驗3)H0：(X3,X4)?U對H1：(X3,X4)?U。

考慮到X3和X4的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=49 dB,ξ*=0.100 1,γ03(ξ*)=0.348 2,γ04(ξ*)=0.312 9,d34max=0.035 3,r34=r43=0.647。顯然，r43=0.647>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時間序列從X3到X4沒有發(fā)生重大變化(當60≤t≤100時，噪聲處于平穩(wěn)的過程)，與描述1一致。

從檢驗1～3中可以看出，在95%的置信水平下，提出的推理模型是正確的，與事實相符，這也可以通過校驗統(tǒng)計學進行證明。

根據(jù)(25)式和(26)式，子序列X1,X2,X3，X4的均值和標準差分別如圖2和圖3所示。

當1≤t≤10(h=1)時，Xm=43 dB，s=2.684 dB；當11≤t≤20(h=2)時，Xm=48.333 dB，s=

圖2 圓錐滾子軸承噪聲子序列Xh的均值

圖3 圓錐滾子軸承噪聲子序列Xh的標準差

1.699 dB。X1和X2的均值和標準差均相差很大，這表明時間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化；當21≤t≤60(h=3)時,Xm=47.942 dB ，s=2.175 dB；X2和X3的均值和標準差相差不大，這表明時間序列從X2到X3沒有發(fā)生重大變化；當61≤t≤100(h=4)時,Xm=47.258 dB，s=2.25 dB,X3和X4的均值標準差相差很小，這表明時間序列從X3到X4沒有發(fā)生重大變化。

模糊假設檢驗模型被證明。

3.2 滾動軸承摩擦力矩的演化評估

試驗軸承為7000型角接觸球軸承。其動態(tài)摩擦力矩試驗裝置主要包括SS1798B直流穩(wěn)壓電源、反作用飛輪控制箱和真空試驗裝置等。按設定秒為單位輸出電信號，并按設定的30 min為單位間隔均勻采集了T=200個數(shù)據(jù)，試驗獲得摩擦力矩的時間序列為X，如圖4所示。

圖4 滾動軸承摩擦力矩時間序列

描述2：從表面上看，對于時間序列X，當1≤t≤50時，摩擦力矩逐漸增大；當51≤t≤100時，摩擦力矩逐漸減?。划?01≤t≤200時，摩擦力矩處于平穩(wěn)過程，因此，摩擦力矩時間序列X經(jīng)歷了復雜的時間演變，在演變過程中，可能導致軸承的初始磨損[2]。

采用提出的模糊假設檢驗模型來評估上面的演化歷史，為了研究方便,將時間序列X分成子序列

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(50));1≤t≤50,

X2=(x2(1),x2(2),…,x2(50));51≤t≤100,

X3=(x3(1),x3(2),…,x3(50));101≤t≤150,

X4=(x4(1),x4(2),…,x4(50));151≤t≤200。

使α=0.05，則PE=95%，η=0.1。檢驗結果如下：

檢驗4)H0：(X1,X2)?U對H1：(X1,X2)?U。

考慮到X1和X2的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=143 mA，ξ*=0.250 1，γ01(ξ*)=0.520 8，γ02(ξ*)=0.461 7，d12max=0.059 1，r12=r21=0.409。顯然，r12=0.409<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化(當1≤t≤50時，摩擦力矩處于非平穩(wěn)過程)，與描述2一致。

檢驗5)H0：(X2,X3)?U對H1：(X2,X3)?U。

考慮到X2和X3的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=142.9 mA,ξ*=0.000 1,γ02(ξ*)=0.080 5,γ03(ξ*)=0.000 6,d23max=0.079 9,r23=r32=0.201。顯然，r32=0.201<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時間序列從X2到X3發(fā)生了重大變化(當51≤t≤150時，摩擦力矩處于非平穩(wěn)的過程)，與描述2一致。

檢驗6)H0：(X3,X4)?U對H1：(X3,X4)?U。

考慮到X3和X4的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=143.2 mA,ξ*=0.200 1,γ03(ξ*)=0.416 8,γ04(ξ*)=0.411 1,d34max=0.005 7,r34=r43=0.942。顯然，r34=0.942>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時間序列從X3到X4沒有發(fā)生重大變化(當101≤t≤200時，摩擦力矩處于平穩(wěn)的過程)，與描述2一致。

從檢驗4～6可以看出，在95%的置信水平下，提出的推理模型是正確的，與事實相符，這也可以通過校驗統(tǒng)計學進行證明。

根據(jù)(25)式和(26)式，子序列X1,X2,X3,X4的均值和標準差分別如圖5和圖6所示。

圖5 滾動軸承摩擦力矩子序列Xh的均值

圖6 滾動軸承摩擦力矩子序列Xh的標準差

當1≤t≤50(h=1)時，Xm=142.992 mA，s=0.521 mA；當 (即h=2)時，Xm=142.898 mA，s=0.622 mA。X1和X2的均值相差很小，但標準差相差很大，這表明時間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化。

當101≤t≤150(h=3)時，Xm=142.568 mA，s=0.523 mA。X2，X3的均值和標準差均相差很大，這表明時間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化。

當151≤t≤200(h=4)時，Xm=142.536 mA，s=0.466 mA。X3，X4的均值和標準差均相差很小，這表明時間序列從X3到X4沒有發(fā)生重大變化。

模糊假設檢驗模型被證明。

4 結束語

通過在模糊假設檢驗拒絕域中引入權重，確定了改進的等價關系和經(jīng)驗置信水平之間的關系，同時將經(jīng)驗置信水平引入模糊集合理論的分解定理，為乏信息系統(tǒng)的模糊決策奠定了新的基礎。Monte Carlo仿真證明，在95%的經(jīng)驗置信水平下，提出的模糊假設檢驗模型能夠應用于正態(tài)分布、瑞利分布、三角分布和均勻分布4種典型概率分布。滾動軸承性能時間序列演化的試驗研究表明，在乏信息條件下該模型能夠很好地評估模型的歷史演化平穩(wěn)和非平穩(wěn)的過程。