季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800)

復(fù)合LINEX損失下k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計

季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800)

在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下，利用Bayes估計的方法研究了k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計和E-Bayes估計，并且通過隨機模擬檢驗參數(shù)的Bayes估計和E-Bayes估計的合理性和優(yōu)良性，結(jié)果表明：在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下，k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計和E-Bayes估計都是合理的，但是E-Bayes估計的精度更高。

k階Erlang分布；復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)；Bayes估計；E-Bayes估計

0 引言

在統(tǒng)計決策中，參數(shù)估計的優(yōu)劣在很大程度上依靠損失函數(shù)的選擇，常見的有LINEX損失函數(shù)、熵?fù)p失函數(shù)、對稱熵?fù)p失函數(shù)、二次損失函數(shù)和平衡損失函數(shù)等損失函數(shù)下的Bayes估計。

而k階Erlang分布的參數(shù)在不同損失下的Bayes估計暫時還沒有研究結(jié)果，而在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下的不同分布的參數(shù)的Bayes估計已有不少[1-2]。但是在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計和E-Bayes估計還沒有相關(guān)研究成果。

張睿[3]提出的復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)，其表達式如下：

L(θ,δ)=La(θ,δ)+L-a(θ,δ)=e-a(θ,δ)+ea(θ,δ)-2,a>0

(1)

本文在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下，研究k階Erlang分布Bayes估計和E-Bayes估計，并通過隨機數(shù)值模擬檢驗參數(shù)θ的Bayes估計和E-Bayes估計的合理性與優(yōu)良性。

1 參數(shù)θ的Bayes 估計

k階Erlang分布的隨機變量是k個獨立的不同參數(shù)的指數(shù)分布隨機變量的和，它是一種Phase-Type分布，是亞指數(shù)分布的一個特例(各階指數(shù)過程的均值都相等的階亞指數(shù)分布就是k階Erlang分布)，而指數(shù)分布是k階Erlang分布的特例。相比于指數(shù)分布，k階Erlang分布能夠更好地對現(xiàn)實數(shù)據(jù)進行擬合(更適用于多個串行過程，或者無記憶性假設(shè)不顯著的情況下)，故在排隊論中被廣泛應(yīng)用，在保險金融中也被用作索賠分布。

定義1[4]若X1，X2，…，Xk是一列獨立的隨機變量，且都服從指數(shù)分布E(μ)，則隨機變量T=X1+X2+…+Xk具有概率密度，

或者等價地，其分布函數(shù)為，

稱T服從參數(shù)為μ的k階Erlang分布。

為便于估計，令θ=kμ，則k階Erlang分布的密度函數(shù)為:

(2)

其中θ>0。

從k階Erlang分布中抽取容量為n的簡單樣本T1,T2,…,Tn，記T=(T1,T2,…,Tn)，t=(t1,t2,…,tn)為T的觀測值，則樣本t的似然函數(shù)為，

(3)

首先討論k階Erlang分布參數(shù)θ的Bayes估計。

引理1 在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)(1)下，對任何先驗分布π(θ)，θ的Bayes估計為:

(4)

選取Γ(α,β)為k階Erlang分布參數(shù)θ的先驗分布，則先驗分布的密度函數(shù)為，

(5)

證明：參數(shù)θ的后驗密度函數(shù)為，

則由引理1及定理1可得k階Erlang分布參數(shù)θ的Bayes估計。

定理2 在損失函數(shù)(1)下，對于先驗分布Γ(α,β),k階Erlang分布參數(shù)θ的Bayes估計為，

證明：由定理1有

(6)

(7)

由(6)(7)及引理1可得,

2 參數(shù)θ的E-Bayes 估計

下面引入E-Bayes估計的定義：

定義2[6]若δB(α,β)是參數(shù)θ的Bayes估計，含有超參數(shù)α,β，并且δB(α,β)是連續(xù)的，則稱，

(8)

則由超參數(shù)α,β的先驗分布的假設(shè)及E-Bayes估計的定義有下列定理。

定理3 對于k階Erlang分布，若參數(shù)θ的先驗分布為Γ(α,β)，超參數(shù)α,β的先驗分布為D上的均勻分布，則參數(shù)θ的E-Bayes估計為：

其中f(x)=xlnx。

證明：由E-Bayes估計定義可得

其中f(x)=xlnx。

3 隨機模擬

當(dāng)時給定參數(shù)的真值，根據(jù)分布(2)利用Monte Carlo方法隨機模擬一組不同樣本容量的隨機樣本，通過模擬參數(shù)的Bayes估計和E-Bayes估計來驗證其合理性、優(yōu)良性，模擬中取得模擬結(jié)果見表1和表2。

表1 不同樣本容量下參數(shù)θ的Bayes估計

表2 不同樣本容量下參數(shù)θ的E-Bayes估計

由上述模擬結(jié)果表明：從極差方面來看，表1和表2中體現(xiàn)出來的每個估計的極差都不大，參數(shù)的Bayes估計和E-Bayes估計的估計值與真值的偏差都很小，最大只有0.1104和0.1005，而且不管是參數(shù)的Bayes估計還是E-Bayes估計，它們的估計值都會隨著樣本量的增加而更加接近于參數(shù)的真值3.故可以看出k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計和E-Bayes估計都是合理的，而且當(dāng)樣本容量較大時，E-Bayes估計會更優(yōu)。

[1] 韋程東,韋師,蘇韓.復(fù)合LINEX對稱損失下Pareto分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計及應(yīng)用[J].統(tǒng)計與決策,2009(17):7-9.

[2] 韋師,李澤衣.復(fù)合LINEX對稱損失下BurrXII分布參數(shù)的Bayes估計[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2017(1):49-54．

[3] 張睿.復(fù)合LINEX對稱損失下的參數(shù)估計[D].大連:大連理工大學(xué),2007.

[4] 胡運權(quán).運籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社,1986.

[5] 韓明.參數(shù)的E-Bayes估計及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2004(9): 97-106.

[6] 韓明.Pascal分布的參數(shù)估計[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006(4): 510-514.

[7] 茆詩松,王靜龍.高等數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,1998.

[8] 茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計[M].北京:中國統(tǒng)計出版社,1999.

[9]JamesOBerger. 統(tǒng)計決策論及貝葉斯分析[M]. 賈乃光,譯. 北京:中國統(tǒng)計出版社,1998.

(責(zé)任編輯：孫文彬)

Bayes Estimation ofk-th Erlang Distribution Parameter in the Composite LINEX Loss of Symmetry

JI Hai-bo

(School of Liberal and Science, Suqian College, Suqian Jiangsu 223800, China)

Based on the compound LINEX asymmetric loss function, the paper studies the Bayes estimation and E-Bayes estimation ofk-th Erlang distribution parameter, and makes a random numerical simulation test on rationality and optimality of the parameter's Bayes estimation and E-Bayes estimation. The results show that using this method to estimate the parameter ofk-th Erlang distribution are reasonable and feasible, and the E-Bayes estimation is better than Bayes estimation.

k-th Erlang distribution; composite LINEX loss of symmetry; Bayes estimation; E-Bayes estimation

2017-04-27

季海波(1981-),男,江蘇南通人,講師,碩士,主要從事概率統(tǒng)計研究。

O212.62

A

1009-7961(2017)03-0097-04