文︳袁仁平

找準切入點才能事半功倍
——一道習(xí)題的教學(xué)思考

文︳袁仁平

圖1

生1：可以求出的值，必須將AF，F(xiàn)D的長度單位統(tǒng)一。

生2：有平行線分線段成比例定理及其推論，還有相似三角形、相似多邊形的對應(yīng)邊成比例。

師：不錯，我們先看圖中有無相似三角形，△AEF和△ABD包含了已知與要求的絕大多數(shù)線段，最值得我們關(guān)注，但是它們相似嗎？

生3：不一定。因為除了公共角相等外，沒別的條件了。

師：那怎么辦？還有別的三角形嗎？

生4：還有△AEF和△CDF，只是也沒有充足的理由說明它們相似。

師：的確是這樣，圖中沒有一對三角形是一定相似的。那我們該如何解決呢？

生5：我們可以作平行線構(gòu)造相似的條件。

圖2

師：是的。平行線可直接或間接得到比例線段。下面我們就過D作DG∥AB交CE于G（如圖2），會得到哪些比例線段呢？

師：這個結(jié)論對不對呢？我們一起來分析。因為DG∥EB，所以△CDG△CBE，這是根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論2，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，∠CGD的對邊是CD，∠CGD的對應(yīng)角∠CEB的對邊是CB，即可得。因為，所以。你們看，D是BC的中點的條件不就發(fā)揮了作用嗎？不過我們要求的并不是這個已知條件怎么用上呢？其中的兩個比例前項AE與DG之間有何關(guān)聯(lián)？

生8：因為DG∥AE，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論2可知△AEF△DGF，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得。

師：完全正確。從剛才的學(xué)習(xí)中我們看到，在作出輔助線之前，已知與未知之間并無明顯聯(lián)系，但作了DG之后，情況完全變了，就好像在已知之間架起了一座橋，加強了它們之間的聯(lián)系，最終獲解。看來作輔助線是關(guān)鍵。下面我再給出一種輔助線的作法（如圖3），你們能夠求出的值嗎？

圖3

學(xué)生動筆求解。教師指名匯報。

師：思路清晰，邏輯嚴密，很好。那DH與△BCE有什么關(guān)系呢？

生：DH是△BCE的中位線。

師：兩種輔助線的作法都是作平行線，這樣的平行線有什么共同點嗎？

生11：都是經(jīng)過圖中的某個交點作某條線段的平行線。

師：觀察很細致，但是所作的平行線能否成為連接已知與未知的橋梁和紐帶才是最重要的。接下來請同學(xué)們嘗試作輔助線再求解。

學(xué)生紛紛動筆求解，大致有以下幾種輔助線的作法。

1.過B作BK∥CE，交AD的延長線于K（如圖4）。

2.過C作CL∥AB，交AD的延長線于L（如圖5）。

3.過E作EM∥AD，交BC于M（如圖6）。

圖4

圖5

圖6

師總結(jié)：以上方法都是可行的，值得提出的是，本題都是經(jīng)過某一交點作某一線段的平行線，但由于輔助線作法的不同，其求解的難易程度也是有很大差異的，有時甚至無法求解。本題的解法還有好幾種，只要你大膽嘗試、小心求證，一定會有新的收獲。本題中的輔助線盡管都是作的平行線，但這并不意味著作平行線是這類題作輔助線的唯一方法，但它的確是一種最基本、最重要的方法。

這是一道經(jīng)典的習(xí)題。由于涉及的知識和方法較多，要想達到預(yù)期目標，難度不小。案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意找出解題的突破口，當兩線段的比值不能直接求出，怎樣通過作輔助線構(gòu)成比例線段，將已知線段比轉(zhuǎn)化為所求線段比，讓學(xué)生對解決求兩線段比值的問題有了比較清晰的思路。

數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海，在解題教學(xué)中，教師的選題要精當，要選取那些有代表性、典型性、針對性、輻射性強的習(xí)題，講深講透，使學(xué)生能夠舉一反三、觸類旁通。習(xí)題課教學(xué)更重要的是通過解題培養(yǎng)學(xué)生的思維。因此，教師在平時要注意積累，才能在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)典型習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生歸納解題規(guī)律，有效地培養(yǎng)學(xué)生的解題技能和思維能力。

（作者單位：洞口縣五中）