宋朝霞，張 琦

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

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帶有奇異項Kirchhoff型方程正解的存在性

宋朝霞，張 琦

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

考慮帶有奇異項的Kirchhoff型方程，以獲得該方程正解的存在性。首先，利用嵌入定理與范數(shù)的弱下半連續(xù)性，證明能量泛函可以達到全局極小值。其次，利用單調(diào)收斂定理，證明全局極小值為正。最后，利用極小極大值方法，得到該方程正解的存在性結(jié)果。

Kirchhoff型方程；奇異性；極小極大值方法；存在性

0 引言

考慮如下帶有奇異項的Kirchhoff型方程：

(1)

其中：Ω?3為一個光滑的有界區(qū)域；γ∈(0,1)；λ,μ≥0；p∈(0,5]；q∈(0,3)且a,b≥0,a+b>0是參數(shù)。此外，系數(shù)h∈L6/(5+γ)(Ω)且對于幾乎每個x∈Ω有h(x)>0。

Kirchhoff型方程在有界區(qū)域或無界區(qū)域已經(jīng)被廣泛研究,并得到了許多經(jīng)典的結(jié)果[1-5]。特別是文獻[2]通過變分方法和Pohozaev恒等式，得到?jīng)]有緊性條件Kirchhoff型方程正的基態(tài)解的結(jié)果。然而對于奇異的Kirchhoff型方程的研究[6-10]較少。文獻[6-7]主要考慮在λ=0,μ≥0的情況下,利用變分方法和Nehari流形研究方程(1)解的存在性和多解性。文獻[8]利用極小極大值方法得到方程(1)在λ≥0,μ=0時解的存在性和唯一性。本文主要考慮在λ,μ≥0時方程(1)正解的存在性。

1 預(yù)備知識

在研究方程(1)的主要結(jié)果之前，引入一些基本定義[11]。

Lp(Ω)的范數(shù)表示為：

方程(1)對應(yīng)的能量泛函為：

由于奇異項的存在，泛函J不滿足Fréchet可微，因此不能直接利用臨界點理論得到解的存在性。

(2)

定理1 假設(shè)a,b≥0,a+b>0，γ∈(0,1),λ,μ≥0,p∈(0,5],q∈(0,3)，h∈L6/(5+γ)(Ω)且對于幾乎每個x∈Ω有h(x)>0,則方程(1)存在正解,并且這個解是全局極小解。

證明 由柯西(Cauchy)中值定理[12]可知，對任意的s∈(0,∞)，存在ξ∈(0,s)使得：

故F/G在(0,∞)是遞減的，這個結(jié)論改善了文獻[13]中的引理A.1。

假設(shè)a0,b0≥0,γ∈(0,1)。定義函數(shù)F:(0,∞)→(0,∞),

證明 當(dāng)a0=b0=0時，F(xiàn)=0，結(jié)論顯然成立。下面假設(shè)a0,b0≥0,a0+b0>0，則:

f(t):=F′(t)=(a0+b0t)-γb0,t∈(0,∞),

易知，f在(0,∞)上是遞減的,由引理1可知，F(xiàn)(t)/t在(0,∞)上也是遞減的。

此外，由洛必達法則可得：

當(dāng)a0=0,b0>0時,該式等于∞。

由于γ∈(0,1),p∈(0,5],q∈(0,3)且對于幾乎每個x∈Ω有h(x)>0,則可以得到當(dāng)正數(shù)t充分小時,J(tu)<0,因此m<0。

(3)

(4)

此外，由式(3)可知：

(5)

利用范數(shù)的弱下半連續(xù)性、式(4)和式(5)可得：

則J(u0)=m。

2 主要結(jié)果的證明

(6)

對于幾乎每個x∈Ω，定義

(7)

(8)

對幾乎每個x∈Ω有u0(x)>0。若假設(shè)結(jié)論不成立,則存在E?Ω使得m(E)>0且對所有的x∈E有u0(x)=0，則：

該式與式(8)矛盾。

事實上，定義函數(shù)φ:→為φ(t)=J(tu0)，則φ在t=1時達到極小值，即

(9)

Ω+={x∈Ω:u0(x)+εv(x)≥0},Ω-={x∈Ω:u0(x)+εv(x)<0}，

則：

l0∫Ω-u0·。

(10)

選取ε=1/n,則Ω-?{x∈Ω:u0(x)≤0}∪{x∈Ω:v(x)=-∞}∪En且當(dāng)n→∞有m(Ω-)=m(En)→0。在式(10)中令ε=1/n→0,有：

由v的任意性可知:此不等式對-v也成立，因此，u0是方程(1)的解。此外，由引理3可知:u0是全局極小解。證畢。

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國家自然科學(xué)基金項目(11301313,11571209);山西省高等學(xué)?？萍紕?chuàng)新基金項目(2015101,2016106)

宋朝霞(1989-),女,山西大同人,碩士生；張琦(1980-),女,山西臨猗人,講師,博士，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為非線性泛函分析.

2016-09-01

1672-6871(2017)03-0091-04

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.03.019

O177.91；O175.2

A