一個(gè)三角形三內(nèi)角半角余切和不等式的加強(qiáng)
——兼擂題(110)的解答

1 背景

在△ABC中，有Kooistra不等式[1]：

(1)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí).

1992年，馬統(tǒng)一把這個(gè)不等式加強(qiáng)為[2]：

(2)

其中R、r分別為△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑.

在(2)的形式的啟發(fā)下，周才凱[3]與宋慶[4]分別進(jìn)一步證明了更強(qiáng)的結(jié)果：

(3)

(4)

(5)

上述不等式即為擂題(110).

2 擂題(110)的證明

只需證

通分后只需證：

∑x5(y+z)+6x2y2z2-xyz∑x2(y+z)-2∑x3y3=

(x+y+z)[∑x4(y+z)+2xyz∑xy-∑x3(y2+z2)-2xyz∑x2]≥0，

即證

∑x4(y+z)+2xyz∑xy-∑x3(y2+z2)-2xyz∑x2≥0，

用增量法，不妨設(shè)x≥y≥z，記x=y+u,y=z+v,u、v≥0.

上式展開(kāi)為：

9z2u2v+2z3v2+2z2v5+2z5u5+4z2u3+2v5u2+3v2u3+2u4z+u4v+2z5vu+8v2u2z+8zu3v+3z2v2u.

因?yàn)樯鲜稣归_(kāi)式系數(shù)全為正，命題得證.

證法2 (山東，張樹(shù)勝)設(shè)R、r分別是△ABC中的外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，則

證畢.

注意到Euler不等式R≥2r,有

從而欲證不等式獲證.

3 評(píng)注

(點(diǎn)評(píng)人，郭要紅，2017年5月23日)到目前為止，共收到擂題(110)解答7份，所有解答均是正確的.按時(shí)間順序，作者依次是萬(wàn)惠華(上海，2017年4月19日)，黎建平(四川武勝縣，2017年4月20日)，張樹(shù)勝(山東龍口經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)孫家學(xué)校，2017年4月21日)，董林(山東高青縣教學(xué)研究室，2017年4月24日)，嚴(yán)復(fù)卓(甘肅省武威市第十八中學(xué)，2017年4月26日)，令標(biāo)(安徽省當(dāng)涂縣青山中學(xué)，2017年4月26日)，易桂如(2017年5月20日). 我們刊登其中有代表性的三種風(fēng)格不同的解答. 本擂題的獲獎(jiǎng)?wù)呤侨f(wàn)惠華老師.

1 [荷蘭]O.Bottema等著. 幾何不等式[M]. 單墫，譯. 北京：北京大學(xué)出版社，1991

2 馬統(tǒng)一. 兩個(gè)不等式的加強(qiáng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)(蘇州) 1992(7)：13-14

3 周才凱. 一個(gè)三角形不等式的加強(qiáng)及其它[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué))1993(2)：28-29

4 宋慶. 一個(gè)三角形不等式的再加強(qiáng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)(蘇州) 1992(11)：36

5 陳計(jì). 談一個(gè)三角不等式的加強(qiáng)及其它[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué))1993(7)：29-30

6 郭要紅. 一個(gè)Finsler-Hadwiger型不等式的加強(qiáng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2017，56(1): 60-61

有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(111)

文武光華數(shù)學(xué)工作室褚小光田開(kāi)斌潘成華

題設(shè)Q是△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)足∠QBC=∠QCA=∠QAB=α,P是△ABC所在平面上任意一點(diǎn),記BC=a,CA=b,AB=c.求證

第一位正確解答者將獲得獎(jiǎng)金100元.

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