安徽省定遠縣第二初級中學(xué) (郵編：233200)

近五年安徽中考二次函數(shù)試題的考查特點

安徽省定遠縣第二初級中學(xué)曹曉肆(郵編：233200)

1 考點分析

二次函數(shù)及其圖象是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，也是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系的紐帶，高中階段我們會繼續(xù)深入地學(xué)習(xí)它.據(jù)初中生的反饋，關(guān)于二次函數(shù)及其圖象的抽象度高，綜合性強，因此學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)難度大，且其內(nèi)容在中考中占有較大的比重.二次函數(shù)型試題能夠較好地考查學(xué)生的函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，也能較全面地反映學(xué)生的綜合能力，因此，二次函數(shù)在安徽省中考中既是重點，也是熱點.安徽省中考數(shù)學(xué)命題既重點考查二次函數(shù)及其圖象的有關(guān)基礎(chǔ)知識，同時以二次函數(shù)為背景的代數(shù)綜合題也是每年必考題之一.因此，在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，關(guān)注這一熱點顯得尤為重要.為了更好地搞好中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，我們研究了近五年安徽省中考數(shù)學(xué)試題，將2012～2016年安徽省近五年中考中二次函數(shù)考點總結(jié)如下：

年份題號(分值)考查內(nèi)容20129(5)、23(14)二次函數(shù)與切線，二次函數(shù)、一元二次方程與不等式的綜合應(yīng)用201316(10)、22(12)二次函數(shù)解析式的確定，利用二次函數(shù)解決實際問題201412(5)、22(12)二次函數(shù)與平均增長率，二次函數(shù)知識的綜合與拓展201510(5)、22(12)二次函數(shù)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值201622(12)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題

由此可見，多數(shù)年份對二次函數(shù)的考查都是一道小題和一道大題，并且大題常常作為壓軸題，考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力，區(qū)分度較高.

2 歷年真題剖析

2.1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1 (2012年第9題)如圖1，A點在半徑為2的⊙O上，過線段OA上的一點P作直線l，與⊙O過A點的切線交于點B，且∠APB=60°，設(shè)OP=x，則△APB的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )

解析因為AB切⊙O于點A，所以∠PAB=90°.在Rt△PAB中，PA=2-x，∠APB=60°，利用∠APB的正切把AB表示出來，從而建立起y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，其對稱軸為x=2，且0≤x<2.故選D.評析本題雖是選擇題，但考查了直線與圓相切相交、銳角三角函數(shù)和二次函數(shù)的解析式與圖形三個部分的內(nèi)容，可謂小題不小.同時也深入考查了數(shù)形結(jié)合的思想，通過建立函數(shù)解析式方能確定函數(shù)類型及其圖象特征，所以正確建立函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵所在.例2 (2016年第22題)如圖2，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點A(2,4)與B(6,0)．

(1)求a、b的值；

(2)點C是該二次函數(shù)圖象上A、B兩點之間的一動點，橫坐標為x(2

解析(1)要求a與b的值，只要把兩點坐標代入,即可得到關(guān)于a與b的二元一次方程組，從而求得a與b的值．

(2)本題是一個常規(guī)題，要求S關(guān)于x的函數(shù)表達式，需要把四邊形OACB分割成三個三角形，即過A作x軸的垂線，垂足為D，連接CD，過C作CE垂直AD，把四邊形分成△OAD、△CAD、△BCD從而得到S關(guān)于x的函數(shù)表達式為S=-x2+8x，并求得函數(shù)的最大值為16．

評析(1)求字母的值就是要解關(guān)于該字母的方程或方程組，本題只要把坐標代入即可得到二元一次方程組，把問題轉(zhuǎn)化為解方程組；(2)根據(jù)題意，建立二次函數(shù)模型，從而把所求問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的相關(guān)問題．本題關(guān)鍵是如何把四邊形分割成易表示的圖形，再建立函數(shù)關(guān)系式，從而把問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題．例3 (2014年第22題)若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．(1)請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點A(1，1)，若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達式，并求出當0≤x≤3時，y2的最大值．

解(1)設(shè)頂點為(h，k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x-h)2+k，把a、b、c的值分別代入，所以兩個函數(shù)y=2(x-3)2+4與y=3(x-3)2+4是“同簇二次函數(shù)”．

(2)因為y1的圖象經(jīng)過點A(1，1)，把A點代入,即可求出m1=m2=1．所以y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1．從而y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8．又y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，對比系數(shù)可以解出a、b的值．故y2=5x2-10x+5=5(x-1)2．

①當0≤x≤1時，最大值為5，②當1≤x≤3時，x=3，y2取最大值20，

綜上所述，當0≤x≤3時，y2的最大值為20．

評析(1)只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達式即可．(2)由y1的圖象經(jīng)過點A(1，1)可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達式，然后將函數(shù)y2的表達式轉(zhuǎn)化為頂點式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題．本題綜合考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、最值、二次函數(shù)一般式與頂點式等，也考查了分類討論的思想和閱讀理解能力．而對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵．2.2二次函數(shù)的解析式及其應(yīng)用例4 (2015年第10題)

如圖4，一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象相交于P、Q兩點，則函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的圖象可能為( )

評析一次函數(shù)與二次函數(shù)交于第一象限兩點，因此方程ax2+bx+c=x有兩個不等的正根，即ax2+(b-1)x+c=0有兩個不等正根，則函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的圖象與x軸正半軸有兩個交點，因此選A．

本題要注意函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)換，即兩函數(shù)圖象交點的橫坐標轉(zhuǎn)化為方程的根，再將方程的根轉(zhuǎn)化為所求函數(shù)與x軸交點的橫坐標問題，這就要求能準確理解圖象的坐標含義，特別是交點的含義．

例5 (2012年第23題)如圖，排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從點O正上方2米的點A處發(fā)出把球看成點，其運行的高度y(米)與運行的水平距離x(米)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h，已知球網(wǎng)與點O的水平距離為9米，高度為2.43米，球場的邊界距點O的水平距離為18米．

(1)當h=2.6時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

(2)當h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由．

(3)若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界,則h的取值范圍是多少？

解(1)把x=0，y=2及h=2.6代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h，可得

評析本題是二次函數(shù)頂點式的應(yīng)用，根據(jù)所給條件，利用待定系數(shù)法，確定二次函數(shù)解析式后，再據(jù)給定的變量值求出其他變量值，從而解決問題.例6 (2013年第9題)已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1，-1)，且經(jīng)過原點(0，0)，求該函數(shù)的解析式．分析利用二次函數(shù)的頂點式，因為函數(shù)圖象經(jīng)過原點(0，0)，解得二次項系數(shù)a=1，求得該函數(shù)解析式為y=(x-1)2-1．評析本題利用二次函數(shù)的頂點式求其解析式，屬簡單問題．求二次函數(shù)解析式最常用的方法是待定系數(shù)法，根據(jù)題目的特點，選擇恰當?shù)男问剑话阌腥缦聨追N情況：

(1)已知拋物線上三點的坐標，選用一般式；

(2)已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般選用頂點式；

(3)已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩點式；

(4)已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

2．3 二次函數(shù)的實際應(yīng)用

例7 (2013年第22題)某大學(xué)生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在x天銷售的相關(guān)信息如表所示．

銷售量p(件)p=50-x銷售單價q(元/件)當1≤x≤20時，q=30+12x當21≤x≤40時，q=20+525x

(1)請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？

(2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？

分析(1)把q=35分別代入1≤x≤20及21≤x≤40時的解析式，解得x=10或x=25．

(2)分1≤x≤20及21≤x≤40兩種情況，分別寫出y關(guān)于x的解析式．

(3)分1≤x≤20及21≤x≤40兩種情況，分別計算出y1的最大值612，y2的最大值725，因為y1

評析本題以實際問題為背景，將反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合進行考查，同時考查分類討論的思想和分段函數(shù).解答中需要考生知道:利潤=銷售收入-銷售成本這一常識知識.熟練掌握二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)及最值的求法是解答本題的關(guān)鍵.本題作為全卷的第22題(倒數(shù)第2題)，難度不算大．

例8 (2015年第22題)為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面ym2．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；

(2)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

分析(1)根據(jù)三個矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE=2BE，設(shè)BE=a，則有AE=2a，表示出a與2a，進而表示出y與x的關(guān)系式，并求出x的范圍即可；

(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時x的值即可．

評析試題以圍成矩形區(qū)域的面積作為角度切入，源于教材，又高于教材．

在課本題的基礎(chǔ)上加以變化延伸，體現(xiàn)了“立足基礎(chǔ)，滲透思想，突出能力，著重創(chuàng)新”的課改理念，具有較好的教學(xué)導(dǎo)向性.本題從考查的角度看是考查學(xué)生會根據(jù)實際問題列出二次函數(shù)解析式，并求面積最大值，情境設(shè)置看似平凡，但內(nèi)涵豐富，頗具創(chuàng)意；針對二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用這個初中數(shù)學(xué)課程的重點內(nèi)容；從思想的角度看本題涉及的數(shù)學(xué)思想主要有：一是數(shù)學(xué)建模的思想，主要體現(xiàn)在要把實際問題抽象轉(zhuǎn)化為方程模型、函數(shù)模型的過程；二是轉(zhuǎn)化與化歸思想，主要體現(xiàn)在第一問求函數(shù)解析式的過程中，也即是把數(shù)學(xué)問題在已知和未知當中將“未知”逐步轉(zhuǎn)化為“已知”的過程；三是數(shù)形結(jié)合思想，以實際問題為背景，融合幾何直觀，把數(shù)式計算和幾何關(guān)系很好地結(jié)合起來．因此，這道中考題是一個很好的函數(shù)應(yīng)用題，值得關(guān)注和重視．

3 復(fù)習(xí)建議

二次函數(shù)是中考數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，分值約占總分的10%～15%，題型既有低檔的填空題和選擇題，又有中檔的解答題，更有壓軸的綜合題.近幾年中考試卷中還出現(xiàn)了設(shè)計新穎、貼近生活、反映時代特征的閱讀理解題、開放探索題、函數(shù)應(yīng)用題，這部分試題包括了初中代數(shù)的所有數(shù)學(xué)思想和方法，全面地考查學(xué)生的計算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和創(chuàng)造能力.針對中考命題趨勢，在復(fù)習(xí)時應(yīng)首先理解二次函數(shù)的概念，掌握其性質(zhì)和圖象，還應(yīng)注重其應(yīng)用以及二次函數(shù)與幾何圖形的聯(lián)系，此外對各種函數(shù)的綜合應(yīng)用還應(yīng)多加練習(xí).

歡 迎 訂 閱

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》

全國優(yōu)秀科技期刊 中國期刊方陣雙效期刊

郵發(fā)代號 26—7 全國各地郵局均可訂閱

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》始終堅持質(zhì)量第一，堅持全心全意為推動教學(xué)改革，為提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量服務(wù)的辦刊方針。緊扣中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際，突出“新穎、實用、指導(dǎo)、資料”八字特色，主要欄目有聚焦新課程、教學(xué)參考、解題方法、復(fù)習(xí)考試、新題點評、初數(shù)研究、錯在哪里等，內(nèi)容詳實，印刷精美。

本刊為雙月刊，每逢雙月15日出版。從2017年第一期起頁碼由原來的64頁增加到80頁，開本仍為大16開。每期定價10元，全年60元。郵發(fā)代號 26—7，全國郵局(所)均可訂閱，也可直接向編輯部訂購，我們將竭誠為您服務(wù)。

編輯部地址：合肥市蓮花路1688號合肥師范學(xué)院

郵編：230601

電話：0551—62836265

電子信箱：zsjxhf@sina.com

網(wǎng)址：http://zxsxjx.hfnu.edu.cn

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)QQ群號：193766043

2017-03-06)