云南省大理市大理大學(xué) (郵編：671003)

撲克牌為背景的條件概率

云南省大理市大理大學(xué)王雨佳王彭德(郵編：671003)

條件概率是高中人教新課標 A 版選修2-3 上的知識點，內(nèi)容簡單,但學(xué)生理解困難.縱觀全國和各省份的近幾年高考數(shù)學(xué)試卷，條件概率越來越受到命題者的青睞.諸如2012年安徽數(shù)學(xué)(理)17題，2015年北京數(shù)學(xué)(文)17題都直接或間接考查條件概率，所以條件概率在平時的教學(xué)中是一個值得研究的課題.統(tǒng)計與概率是一門源于生活，又用于生活的應(yīng)用學(xué)科，生活中諸如拋硬幣、擲骰子、抽取撲克牌的游戲，其中蘊含著豐富的概率問題，以撲克牌為背景來研究條件概率，有助于學(xué)生進一步了解條件概率.下面以撲克牌中的問題來說明條件概率的計算.

1 條件概率

問題1從一副撲克牌中(52張，去掉大小王)，每次從中抽取一張,作不放回抽取，求第一次取到紅桃的條件下,第二次取到非紅桃的概率.解設(shè)Ai={第i次抽到紅桃}，i=1,2.

公式法，樣本空間Ω中共有52個樣本點，其中39張非紅桃，13張紅桃，

由條件概率公式得

在求條件概率時，通過條件縮減樣本空間，利用定義求解，可比公式法更為簡捷.

2 積事件的概率

通過條件概率的計算公式，我們可得到積事件概率的公式，即乘法公式,

問題2從一副撲克牌中(52張，去掉大小王)，每次抽取一張進行不放回抽取，

(1)接連取兩次，求第一次取到紅桃，第二次取到非紅桃的概率；

(2)接連取3次，求第三次才取到非紅桃的概率.

解記Ai={第i次抽到的是紅桃}，i=1,2，3

(1)事實上這是一個積事件的概率，而不是條件概率.

而

由乘法公式得，

(2)“第三次才取到非紅桃”可表示為“第1、2次取到紅桃，第3次取到非紅桃”.

3 復(fù)雜事件的概率

在實際中有時計算一個事件的概率較為復(fù)雜，我們可將一個復(fù)雜事件的概率計算問題轉(zhuǎn)化為在不同情況、不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件概率求和問題.

問題3從一副撲克牌(52張)中，每次取一張撲克牌，接連取兩次，作不放回抽取.

(1)求第2次取到紅桃的概率.

(2)已知第二次取到的是紅桃，求第一次取到非紅桃的概率.

解設(shè)Ai={第i次抽到紅桃}，i=1,2，

(1)事實上，第2次取到紅桃的可能性受到第1次取牌結(jié)果的影響，第1次可能取到紅桃，也可能取到非紅桃，因此第2次取到紅桃可表示為兩個互斥的積事件的和，則

以上計算方法是大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計中全概率公式的體現(xiàn)，它提供了計算復(fù)雜事件概率的一種有效途徑，使一個復(fù)雜事件的概率計算問題化繁為簡.

4 條件概率在分布列中的應(yīng)用

離散型隨機變量的概率分布列、數(shù)學(xué)期望、方差是高考數(shù)學(xué)命題的熱點和重點，其中有的題型(2012年安徽數(shù)學(xué)(理)17題)也涉及到條件概率和乘法公式的應(yīng)用.

問題4一副撲克牌共有13張紅桃，其中3張有人頭像，10張有數(shù)字，假定3張有人頭像的牌是相同的，10張有數(shù)字的牌也是相同的，每次從紅桃中一張一張地取牌，X表示直到取得數(shù)字牌為止所需的取牌次數(shù)，

(1)作不放回抽取，求隨機變量X的分布律.

(2)每次取出一張牌后，總以一張有數(shù)字的撲克牌放回，求隨機變量X的分布律.

解設(shè)Ai={第i次抽到的是有人頭像的牌}，i=1,2,3,4.

(1)顯然隨機變量X的可能取值是1、2、3、4.

因此隨機變量X的分布律為

X1234P101352651431286

(2) 隨機變量X的可能取值是1、2、3、4，

因此隨機變量X的分布律為

X1234P10133316972219762197

1 王彭德.撲克牌中的概率[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2003(11)

2 陳玄令.談條件概率與積事件概率的區(qū)別[J].渤海大學(xué)學(xué)報，2004(1)

3 楊明正.對一道高考概率題的解析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013(1)

2017-04-12)