肖 丹，黃玉清

(西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽 621010)

改進(jìn)的各向異性擴散圖像去噪算法

肖 丹，黃玉清

(西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽 621010)

圖像去噪是圖像處理中的重要環(huán)節(jié)，經(jīng)典的圖像去噪算法，如中值濾波、高斯濾波和加權(quán)平均濾波等，去噪效果都不是很理想。傳統(tǒng)方法在去除噪聲的同時，會使圖像的邊緣也變得模糊。偏微分方程(PDE)是近年比較流行的圖像處理方法，它具有各向異性的特點，在去除噪聲的同時，能很好地保持圖像的邊緣。基于現(xiàn)有算法，提出了一種改進(jìn)的去噪算法。將傳統(tǒng)P-M算子中的固定邊緣閾值改為隨梯度模變化的自適應(yīng)閾值，并結(jié)合圖像結(jié)構(gòu)張量構(gòu)造一個擴散函數(shù)。在圖像平坦區(qū)，改進(jìn)的P-M模型具有各向同性的特點，有利于平滑噪聲；而在圖像邊緣處，該模型只沿切線方向擴散，有利于保護(hù)圖像細(xì)節(jié)。試驗表明，改進(jìn)的P-M模型能很好地改善圖像去噪效果，同時也能很好地保持圖像的邊緣。

圖像去噪； 偏微分方程(PDE)； 各向異性； P-M模型； 邊緣閾值； 結(jié)構(gòu)張量； 擴散函數(shù)

0 引言

圖像去噪是圖像處理的重要環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)的去噪方法有很多，如中值濾波、高斯濾波和加權(quán)平均濾波等[1]。這些傳統(tǒng)的濾波方法主要是去除圖像的高頻成分，而圖像的邊緣也屬于高頻區(qū)域，所以對圖像噪聲濾除時會使圖像的細(xì)節(jié)變得模糊。近年來，偏微分方程(partial differential equation，PDE)在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。該方法通過擴散系數(shù)的作用，使模型自動在圖像邊緣處和其他平坦區(qū)產(chǎn)生不同的平滑作用，因此能夠在去除噪聲的同時，很好地保留圖像的邊緣。

偏微分方程中，波動方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程最早使用在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中[2]。熱傳導(dǎo)方程在1990年被Perona和Malik推廣到非線性領(lǐng)域，建立了P-M模型[3]。該模型是基于熱擴散方程的各向異性擴散模型，它對非線性擴散方程的數(shù)值方法和理論研究起到了積極的推動作用，但試驗研究表明，P-M模型也存在缺陷，具有一定的局限性[4-5]。對于圖像細(xì)節(jié)特征比較復(fù)雜的圖像，P-M模型在去除噪聲時，圖像會出現(xiàn)“分塊狀”，因此有許多學(xué)者對P-M模型進(jìn)行了改進(jìn)。為了更好地區(qū)分圖像的邊緣區(qū)域，有的學(xué)者引入了結(jié)構(gòu)張量[6-7]用于分析圖像局部結(jié)構(gòu)，提出了基于結(jié)構(gòu)張量的異性擴散系數(shù)[8]。除此之外，有的學(xué)者對P-M模型中的邊緣閾值進(jìn)行修改。這些改進(jìn)雖然都取得了較好的效果，但仍然存在一些問題。

本文通過分析P-M擴散系數(shù)，對其進(jìn)行改進(jìn)，并引用結(jié)構(gòu)張量作為擴散系數(shù)的自變量。同時引入隨梯度模變化的邊緣閾值；在P-M各向異性擴散的基礎(chǔ)上，使其再自適應(yīng)地選取擴散系數(shù)。試驗結(jié)果表明，在同樣的測試條件下，改進(jìn)后的方法所得到的峰值性噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)更高，且對應(yīng)的均方根誤差(root-mean-square error，RMSE)更小，同時所需要的迭代次數(shù)也更少。

1 P-M模型的擴散函數(shù)

1990年，Perona和Malik提出了保護(hù)邊緣的非線性各向異性擴散方程(P-M擴散方程):

(1)

式中:u0(x,y)為原始圖像；|u|為梯度模,|u|用來區(qū)分該區(qū)域是平坦區(qū)域還是邊緣區(qū)域，在平坦區(qū)，|u|的值比較小，而在邊緣區(qū)，值比較大；f(|u|)為擴散系數(shù)函數(shù)，它的值表示擴散的強度，需要滿足的條件是f(0)=1,limx→∞f(x)=0，且f(|u|)∈(0,1)。

基于以上條件，提出了如下兩個擴散系數(shù)函數(shù):

f1(|u|)=

(2)

f2(|u|)=exp-

(3)

2 改進(jìn)的P-M模型圖像去噪

P-M模型雖然能夠兼顧噪聲的消除和保留邊緣，但也存在一定的問題:①當(dāng)處理噪聲圖像時，噪聲點的梯度較大、擴散系數(shù)較小，不能完全消除噪聲，帶噪聲的邊緣也會被破壞；②模型本身在數(shù)學(xué)上是病態(tài)的，不能保證解的存在性和唯一性[2]。這些問題會使得處理后的圖像出現(xiàn)“階梯”效應(yīng)[11-12]。因此本文對P-M模型的擴散系數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。

通過坐標(biāo)變換，可將P-M模型改寫成以下的形式:

f(|u|)uζζ

(4)

式中:uηη和uζζ為u在η和ζ方向上的二階導(dǎo)數(shù)。

(5)

(6)

式中:ux和uy分別為u在x和y方向上的偏導(dǎo)數(shù)。

為解決P-M模型解的不適定性，將P-M模型改寫為:

(7)

對于擴散函數(shù)f(x)，要求在平坦區(qū)，f(x)趨于0.5，切線方向和梯度方向具有同等擴散；而在邊緣區(qū)域，f(x)趨于0，只沿著切線方向擴散，因此采用了以下擴散函數(shù)[13]:

(8)

由于圖像的梯度不能很好地獲得圖像的局部信息[14]，而結(jié)構(gòu)張量能獲得更豐富的信息，所以引入結(jié)構(gòu)張量[6-7]作為擴散函數(shù)的自變量，結(jié)構(gòu)張量一般是由海森矩陣所得到的，即:

(9)

而J的兩個特征值分別為:

(10)

(11)

得到結(jié)構(gòu)張量|I1-I2|，從而將此代入到引用的擴散函數(shù)中。

由于擴散函數(shù)中k為固定的閾值，但當(dāng)圖像中噪聲幅度比較大時，噪聲也會產(chǎn)生較大的梯度值，將無法區(qū)分邊緣和噪聲，會使濾波性能降低，所以將閾值k改為隨著梯度|u|變換的函數(shù)[15]，即:

k(|u|)=kmexp[?/1+|u|]

(12)

式中:km為迭代穩(wěn)定時的邊緣閾值，km=3；?為常量。

(13)

3 試驗結(jié)果及分析

為了驗證本文改進(jìn)方法的有效性，本文選取了Pepper圖像和House圖像作為測試圖像，分別對均值濾波、高斯濾波、維納濾波、熱擴散、P-M模型和本文改進(jìn)的P-M模型進(jìn)行比較，對測試圖像分別加入標(biāo)準(zhǔn)差δ為30和20的噪聲。

比較幾種方法的去噪效果可知，本文的方法比其他方法的效果要好，本文方法在抑制噪聲的同時也很好地保留了圖像的細(xì)節(jié)。

表1是在不同方法下對兩種性能指標(biāo)測試的試驗數(shù)據(jù)。根據(jù)表1可以看出，采用本文方法降低了RMSE值，提高了PSNR值。當(dāng)噪聲越大時，該方法的效果更佳，并且改進(jìn)后算法的運行時間比傳統(tǒng)方法的運行時間更少。

表1 試驗數(shù)據(jù)

表2是后三種方法對達(dá)到相同的精確度所需要的迭代次數(shù)。由表2可以看出，本文方法所需要的迭代次數(shù)比P-M模型和熱擴散所需要的次數(shù)少很多。

表2 迭代次數(shù)比較

4 結(jié)束語

本文在P-M模型的基礎(chǔ)上，將P-M模型中的邊緣固定閾值改為隨著梯度模變化的函數(shù)，并將結(jié)構(gòu)張量引入到擴散函數(shù)中。該方法在去除噪聲的同時，保留了圖像的細(xì)節(jié)。根據(jù)試驗結(jié)果的比較，相對傳統(tǒng)的濾波方法和P-M模型，本文方法的效果更加有效。

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Improved Anisotropic Diffusion Image Denoising Algorithm

XIAO Dan，HUANG Yuqing
(School of Information Engineering,Southwest University of Science and Technology,Mianyang 621010,China)

Image denoising is an important part of image processing,the denosing effect of classic image denoising algorithms,such as median filtering,Gaussian filtering,weighted average filtering,etc.,is not very ideal.With traditional methods,while removing noise,the edges of image may also become blurred. In recent years,partial differential equation (PDE) is a popular image processing method，and it has the characteristics of anisotropy,and it can well keep the edge while removing noise.An improved denoising algorithm is proposed based on the existing algorithms.The fixed threshold value in the traditional P-M operator is changed into an adaptive threshold,which is changing with the change of the gradient mode,and combining with the image structure tensor,a diffusion function featuring adaptive characteristics is constructed; it is isotropic in flat zone of the image,and conducive to smooth the noise while at the edge of the image,the model only diffuses along the tangential direction,and it is conducive to protect the image details.The tests show that the improved P-M model can improve the image denoising effect,meanwhile can also well keep the edge of the image.

Image denoising; Partial differential equation (PDE); Anisotropy; P-M model; Edge threshold; Structure tensor; Diffusion function

國家自然科學(xué)基金資助項目(61401379)

肖丹(1993—)，女，在讀碩士研究生，主要研究方向為視覺圖像處理、目標(biāo)檢測與跟蹤。E-mail:xd930922@163.com。 黃玉清(通信作者)，女，碩士，教授，主要研究方向為無線控制及無線通信技術(shù)、圖像處理與機器視覺、智能技術(shù)應(yīng)用。 E-mail:hyq_851@163.com。

TH7;TP391

A

10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201707001

修改稿收到日期:2017-03-27