毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學院理學院，河南 鄭州 450015)

基于一種新型趨近律的分數(shù)階Duffling不確定系統(tǒng)的自適應滑模同步

毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學院理學院，河南 鄭州 450015)

基于一種新型趨近律研究了分數(shù)階不確定Duffling系統(tǒng)的自適應滑模同步控制問題，利用自適應滑模方法設計了滑模函數(shù)和控制器，得到了主從系統(tǒng)取得自適應滑模混沌同步的充分條件。結果表明：選取適當?shù)目刂破饕约盎：瘮?shù)下，主從系統(tǒng)取得滑模混沌同步，給出了嚴格的推理過程和數(shù)學證明，最后仿真算例表明該方法有效。

分數(shù)階Duffling系統(tǒng)； 自適應滑模；混沌同步

Mandelbrot曾指出在自然界中存在著大量的分數(shù)維[1-2]，采用分數(shù)階對系統(tǒng)進行建模能更好的揭示對象的行為和本質(zhì)。1995年，Oustaloup并設計了第一代分數(shù)階控制器，研究和對比分析表明分數(shù)階控制器有更好的魯棒性等優(yōu)點。分數(shù)階滑模結合了分數(shù)階微積分和滑?？刂频碾p重優(yōu)點，成為非線性控制的重要方法，并在各個領域也得到了廣泛應用[3-9]。文獻[10]設計了一類分數(shù)階不確定動力系統(tǒng)的終端滑?？刂茊栴}，文獻[11]研究了一類不確定系統(tǒng)的自適應滑模終端混沌同步控制問題。本文基于一種新型趨近律研究了分數(shù)階不確定Duffling系統(tǒng)的自適應滑模同步控制問題， 得到了主從系統(tǒng)取得自適應滑?；煦缤降某浞謼l件。結果表明：選取適當?shù)目刂破饕约盎：瘮?shù)下，主從系同能取得滑?；煦缤健７抡嫠憷砻髟摲椒ㄓ行?。

1 滑模趨近律的設計

利用新型冪次函數(shù)fal(x,β,δ)[12]設計趨近律，函數(shù)定義如下：

(1)

其中β>0，表示冪次函數(shù)的指數(shù)，0<δ<1,δ為fal(x,β,δ)在原點附近正負對稱線段的區(qū)間長度，由定義1可知，當x的絕對值小于設定的δ時，x的增益δβ-1較大，反之，增益較小。本文設計如下新型滑模趨近律：

(2)

2 系統(tǒng)描述與預備知識

定義1Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為[13]

n-1<α

考慮分數(shù)階Duffling混沌系統(tǒng)：

(3)

式中，a,b,c均為系統(tǒng)參數(shù)，ω表示余弦函數(shù)的頻率幅值。當a=-1，b=0.25,c=0.5,α=0.873時出現(xiàn)混沌吸引子。以上述系統(tǒng)作為主系統(tǒng)，設計從系統(tǒng)為如下系統(tǒng)：

(4)

(5)

假設

為正常數(shù)。

說明 雙曲正弦函數(shù)的反函數(shù)為

引理1 對任意的x均有，函數(shù)

以下分情況討論：x≥0時，h(x)≥0顯然成立。

當x<0時，

h′(x)<0

由函數(shù)的單調(diào)性不難得到在(-∞,0]上h(x)遞減，從而

h(x)>h(0)=0

3 主要結果

定理1 在假設1下，設計控制器

由于

從而根據(jù)分數(shù)階微積分理論，不難得到

Δf(y)+d(t)+u(t)]+

-εs·fal(s,β,δ)-ks·arsh(s)+g(t)s≤

因ε>0,k>0,s≠0時，由函數(shù)fal(s,β,δ)和引理1不難得到，εsfal(s,β,δ)>0,并且ksarsh(s)>0，函數(shù)fal(s,β,δ)對自變量s有顯著放大作用，

作為分數(shù)階Duffling系統(tǒng)的特例，以下考慮整數(shù)階Duffling混沌系統(tǒng)：

(6)

以上述系統(tǒng)作為主系統(tǒng)，設計從系統(tǒng)為如下系統(tǒng)：

(7)

(8)

因此不難將定理1在特殊情形下的結論平推，得到如下推論：

推論1 在假設1下，設計控制器

上式求導得到：

Δf(y) +d(t) +u(t)] +

-εs·fal(s,β,δ)-ks·arsh(s)+g(t)s≤

以下證明部分同定理1，略。

4 數(shù)值仿真

利用龍格庫塔法進行數(shù)值仿真，系統(tǒng)參數(shù)

a=-1,b=0.25,c=0.5,ω=1,α=0.873

定理1中選取

Δf=-0.05siny1,d(t)=0.2cost,

β=0.5,δ=0.02,γ=15,ε=15

系統(tǒng)初始值設置為：

(x1(0),x2(0))=(0.1,0.2),

(y1(0),y2(0))=(0.5,-0.6)，

圖1 定理1中系統(tǒng)的誤差曲線Fig.1 The systems errors of theorem1

5 結 論

文中基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分數(shù)階微積分利用自適應滑模方法研究了分數(shù)階Duffling系統(tǒng)的一種新型趨近律的自適應滑模同步問題，研究表明：設計適當?shù)幕：瘮?shù)和控制器可以實現(xiàn)主從系統(tǒng)滑模混沌同步。同時，仿真算例也表明了方法的有效性.

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Self-adaptive sliding mode synchronization of fractional-order uncertainty Duffling systems based on a new reaching law

MAO Beixing

(College of Science, Zhengzhou University of Aeronautics, Zhengzhou 450015, China)

The problem of self-adaptive sliding mode chaos synchronization of fractional-order uncertainty duffling systems based on a new reaching law is studied in the paper. The sliding mode functions and controllers are given out using self-adaptive sliding mode approach and got the sufficient conditions for the master-slave systems getting sliding mode synchronization . It is proved that master-slave systems are sliding model chaos synchronization under proper controllers and sliding mode surface. The strict deduce and proof in mathematics are given out in the paper. Numerical simulations examples of chaotic system verify the effectiveness of the proposed method.

fractional-order Duffling systems; self-adaptive sliding mode ;chaos synchronization

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.04.011

2017-03-11 基金項目：國家自然科學青年基金(NSFC11501525)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目(2013GGJS-142)

毛北行 (1976年生)，男；研究方向：復雜網(wǎng)絡與混沌同步；E-mail：bxmao329@163.com

O482.4

A

0529-6579(2017)04-0064-04