周 勝 田 羿

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)，廣東 中山 528454)

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橫看成嶺側(cè)成峰
——一道求軌跡方程考題的多角度探究

周 勝 田 羿

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)，廣東 中山 528454)

平面解析幾何的核心就是用方程的思想研究曲線,用曲線的性質(zhì)研究方程.軌跡問題正是體現(xiàn)這一思想的重要表現(xiàn)形式.解析幾何中求動點的軌跡方程問題是一個綜合問題,涉及函數(shù)、方程、三角、平面幾何等基礎(chǔ)知識,是高考數(shù)學(xué)考查的重點內(nèi)容之一.本文從不同角度探究了一道解析幾何軌跡問題的七種解法,希望同學(xué)們能從中熟悉基本方法，拓寬解題思路，又能培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.

軌跡方程;斜率;參數(shù)法;交軌法;點差法

中山市高一年級2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷第20題如下：

如圖，圓x2+y2=8內(nèi)有一點P(-1,2)，AB為過點P傾斜角為α的弦.

(2)當(dāng)弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程；

(3)求過點P的弦AB的中點的軌跡方程.

本文對該題第(3)問求軌跡方程的問題進(jìn)行了多角度探究與總結(jié)，得到以下7種解決方案，與大家一起分享.

解法一 (參數(shù)法)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則直線AB的方程為

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，弦AB中點M(x,y)，則有：

點評 聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線相交問題的基本方法.基本模式為：聯(lián)立消元計算Δ值設(shè)出點的坐標(biāo)韋達(dá)定理代入化簡運算求解問題.但往往由于涉及字母較多，計算量大，運算技巧強，使得許多學(xué)生“易想難算”，望而生畏，產(chǎn)生恐懼心里，因此，對學(xué)生而言是一項艱巨的考驗.

解法二：(交軌法) 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則直線AB的方程為

y-2=k(x+1)，即y=k(x+1)+2

設(shè)弦AB中點M(x,y)，則有OM⊥AB(O為坐標(biāo)原點)，所以O(shè)M所在直線方程為：

點評 交軌法是解析幾何中求動點軌跡方程的常用方法.選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示兩動曲線的方程，將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.這種方法與解法一的想法類似，但是與解法一相比大大減少了化簡過程中的計算量.

解法三：(直接法) 設(shè)弦AB中點M(x,y)，由圓的性質(zhì)知OM⊥AB

點評 用直接法求軌跡方程就是根據(jù)軌跡的條件，能夠直接找到動點坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到所求的軌跡方程. 有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.

解法五：(幾何法) 設(shè)弦AB中點M(x,y).

當(dāng)O,P,M三點不共線時，連接OP,OM，則△OMP為直角三角形.由勾股定理得：OP2=OM2+MP2,

即 5=x2+y2+(x+1)2+(y-2)2,

當(dāng)O,P,M三點共線時，弦AB中點M與坐標(biāo)原點重合，此時M(0,0)也滿足上述方程.

點評 此解法充分利用直角三角形中三條邊滿足勾股定理，把邊長滿足的等量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程問題，使學(xué)生思路開闊，熟練掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)思維的靈活性.這種解法與解法五類似，區(qū)別在于使用不同的方式轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系.

解法六：(定義法)設(shè)弦AB中點M(x,y)

當(dāng)O,P,M三點共線時，弦AB中點M與坐標(biāo)原點重合，此時M(0,0)也滿足上述方程.

點評 若動點在運動時滿足的條件符合某種已知曲線的定義，則可以設(shè)出其軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用待定系數(shù)法求出其軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為定義法.此解法充分利用幾何圖形的性質(zhì)及特點，巧妙地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡化運算.這種解決問題的思想凸顯解析幾何的核心問題之一——幾何問題.

兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0.

中點M的坐標(biāo)為(-1,0)，也滿足方程

點評 點差法是解決圓錐曲線中“中點弦”問題的常用方法.在求解直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標(biāo)時，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，再作差，然后將中點和斜率整體代入，即可得到相應(yīng)的方程.設(shè)而不求和整體消元是解析法的重要思想和方法，可以簡化很多繁瑣的運算.

[1]謝全苗.試論數(shù)學(xué)解題的思維策略[J].中國數(shù)學(xué)教育:高中版,2008(9)：40-42.

[2]趙思林.一道全國高考數(shù)學(xué)試題的多角度探究[J].數(shù)學(xué)通報,2009(11):25-30.

[3]呂水庚.一道高考試題的解法探究及教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2011(10)：29-32.

[4]龔玉珍.例談動點軌跡方程的求法[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究,2012(13)：127-128.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

周勝(1981.10-)，男，漢族，廣東省中山市，碩士，中教一級，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

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