周 勝 田 羿
(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué),廣東 中山 528454)
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橫看成嶺側(cè)成峰
——一道求軌跡方程考題的多角度探究
周 勝 田 羿
(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué),廣東 中山 528454)
平面解析幾何的核心就是用方程的思想研究曲線,用曲線的性質(zhì)研究方程.軌跡問題正是體現(xiàn)這一思想的重要表現(xiàn)形式.解析幾何中求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題是一個(gè)綜合問題,涉及函數(shù)、方程、三角、平面幾何等基礎(chǔ)知識(shí),是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本文從不同角度探究了一道解析幾何軌跡問題的七種解法,希望同學(xué)們能從中熟悉基本方法,拓寬解題思路,又能培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.
軌跡方程;斜率;參數(shù)法;交軌法;點(diǎn)差法
中山市高一年級(jí)2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷第20題如下:
如圖,圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(-1,2),AB為過點(diǎn)P傾斜角為α的弦.
(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),寫出直線AB的方程;
(3)求過點(diǎn)P的弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.
本文對(duì)該題第(3)問求軌跡方程的問題進(jìn)行了多角度探究與總結(jié),得到以下7種解決方案,與大家一起分享.
解法一 (參數(shù)法)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則直線AB的方程為
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點(diǎn)M(x,y),則有:
點(diǎn)評(píng) 聯(lián)立方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線相交問題的基本方法.基本模式為:聯(lián)立消元計(jì)算Δ值設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)運(yùn)算求解問題.但往往由于涉及字母較多,計(jì)算量大,運(yùn)算技巧強(qiáng),使得許多學(xué)生“易想難算”,望而生畏,產(chǎn)生恐懼心里,因此,對(duì)學(xué)生而言是一項(xiàng)艱巨的考驗(yàn).
解法二:(交軌法) 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則直線AB的方程為
y-2=k(x+1),即y=k(x+1)+2
設(shè)弦AB中點(diǎn)M(x,y),則有OM⊥AB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以O(shè)M所在直線方程為:
點(diǎn)評(píng) 交軌法是解析幾何中求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法.選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示兩動(dòng)曲線的方程,將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去,得到不含參數(shù)的方程,即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.這種方法與解法一的想法類似,但是與解法一相比大大減少了化簡(jiǎn)過程中的計(jì)算量.
解法三:(直接法) 設(shè)弦AB中點(diǎn)M(x,y),由圓的性質(zhì)知OM⊥AB
點(diǎn)評(píng) 用直接法求軌跡方程就是根據(jù)軌跡的條件,能夠直接找到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到所求的軌跡方程. 有時(shí)動(dòng)點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯,這時(shí)可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等,從而分析出其數(shù)量的關(guān)系,這種借助幾何定理的方法是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法.
解法五:(幾何法) 設(shè)弦AB中點(diǎn)M(x,y).
當(dāng)O,P,M三點(diǎn)不共線時(shí),連接OP,OM,則△OMP為直角三角形.由勾股定理得:OP2=OM2+MP2,
即 5=x2+y2+(x+1)2+(y-2)2,
當(dāng)O,P,M三點(diǎn)共線時(shí),弦AB中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,此時(shí)M(0,0)也滿足上述方程.
點(diǎn)評(píng) 此解法充分利用直角三角形中三條邊滿足勾股定理,把邊長(zhǎng)滿足的等量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程問題,使學(xué)生思路開闊,熟練掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,從而培養(yǎng)思維的靈活性.這種解法與解法五類似,區(qū)別在于使用不同的方式轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系.
解法六:(定義法)設(shè)弦AB中點(diǎn)M(x,y)
當(dāng)O,P,M三點(diǎn)共線時(shí),弦AB中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,此時(shí)M(0,0)也滿足上述方程.
點(diǎn)評(píng) 若動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足的條件符合某種已知曲線的定義,則可以設(shè)出其軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后利用待定系數(shù)法求出其軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為定義法.此解法充分利用幾何圖形的性質(zhì)及特點(diǎn),巧妙地進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.這種解決問題的思想凸顯解析幾何的核心問題之一——幾何問題.
兩式相減得:(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0.
中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,0),也滿足方程
點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)差法是解決圓錐曲線中“中點(diǎn)弦”問題的常用方法.在求解直線與圓錐曲線相交被截的線段中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),利用直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn),并把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程,再作差,然后將中點(diǎn)和斜率整體代入,即可得到相應(yīng)的方程.設(shè)而不求和整體消元是解析法的重要思想和方法,可以簡(jiǎn)化很多繁瑣的運(yùn)算.
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[責(zé)任編輯:楊惠民]
2017-05-01
周勝(1981.10-),男,漢族,廣東省中山市,碩士,中教一級(jí),從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.
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1008-0333(2017)16-0013-03